高中数学人教A版必修5第二章2.1数列的概念及简单表示 课件（35张PPT）

2.1数列的概念
与简单表示法(1)
--数列及其通项公式
学习目标
1.进一步理解数列的概念；理解数列与函数的关系.
2.理解数列的通项公式和解析式的关系，会用通项公式求某一项；会由数列前几项归纳数列的一个通项公式
数列丰厚的背景资源
1、公元3000年前的古埃及“把10斗大麦分给10个人，使每相邻的两个人大麦相差1/8斗”。
2、儿歌《青蛙跳》：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴。四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，….. .”
3、古代诗文：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共计三百八十一，请问尖头几盏灯”
4、一尺之锤，日取其半，万世不竭；
5、找规律：1，1，2，3，5，（），13, ….
问题1：数列的含义是什么？
(1)数列：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 表示，
第2项用 表示，
…，
第n项用 表示，
…，
数列的一般形式可以写成：
…，
…，
简记作：
第一种表示法——列举法
问题1解析：数列的概念
其中右下标n表示项的位置序号。
{
}
注意：
表示一个数列.
项，
表示第
n
n
a
n
a
例如，数列
简记为：
例如，数列1，2，3，4，5，6，…
简记为：
例如，数列2，4，6，8，10，12，…
简记为：
例如，数列1，3，5，7，9，11，…
简记为：
例如，数列1，10，100，1000，…
简记为：
例如，数列1，-1，1，-1，1，-1，…
简记为：
例如，数列5，10，15，20，25，…
简记为：
数列与集合这两个概念有何异同？
相同点:
项和元素都是确定的；
不同点:
(1)重复性：数列中的数可重复，集合中的元素不能重复
⑶范围：数列中项是数；集合不一定。
⑵有序性：数列中的数有序，而集合中的元素无序。
思考
(2)相同数列：根据数列的定义知数列是按一定次序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。
如：数列（1）－1，1，－1，1，···
改为 数列（1’）1，－1，1，－1，···
它们不是同一数列。
数列（2）4，5，6，7，8，9，10。
改为数列（2’）10，9，8，7，6，5，4。它们不是同一数列。
数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列
项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1
开始依次增加时，对应的函数值按次
序排出就是数列，这就是数列的实质。
问题：数列的项与序号有何对应关系？
问题2：数列与函数有何关系？
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.
项数n 1 2 3 4 ……64
项an 1 2 22 23 …… 263

（自变量）
（函数值）
问题2解析：数列与函数关系
（1）数列是一种特殊的函数
可以认为：
数列和函数的关系：
1.数列是函数；
2.数列的定义域是 或正整数集；
3.函数值有序。
对比函数，数列有哪些表示方法？
数列的列举法
数列的通项公式
数列的图像
（2）数列的表示法
如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
注意：1.数列的通项公式是an 关于n的函数解析式，定义域为N+或其有限子集｛1，2，3，…n｝；
第二种表示——解析法
数列的通项公式
y=f（x）
an
n
？
函数值
自变量
2.并不是所有的数列都有通项公式，
有些数列的通项公式不唯一.
an
O
n
1 2 3 4 5 6 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
数列图象
是一些点
an=n+3的图象
数列的图象表示——
第三种表示法
数列的图象
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
0
O 1 2 3 4 5 6 7 n
an
1
?
?
这些点是
孤立的！
an=1/n的图象
数列 的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
1、按项数n的取值范围分:
有穷数列和无穷数列
2、按项与项之间的大小关系来分:
递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
3、按任一项的绝对值是否都小于某一正数来分:
有界数列、无界数列
数列的分类
4、周期数列:
数列的项逐渐减小 ——递减数列
（1）1，1/2，1/3，…，1/n，…
（2）1，3，5， …，2n-1， …
数列的项逐渐增大——递增数列
分类举例：
（4）2，2，2，2， …
（3）-1，2，-3，4，-5，…
摆动数列
常数列
（5）0，1，0，1， …
周期数列
写出正方形数列的一个通项公式
1
16
9
4
问题3解析：观察归纳项与项数的对应关系
问题3：数列中的归纳思想
(1).
解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
分析：1.项与项数的关系(函数关系：项用项数表示)；
2.抓不变量和变量，变量和项数关系.
课堂训练
(2).
解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：
解：此数列的前四项的分子都是序号的2倍，分母都是序号的2倍的平方减去1，所以通项公式是：
(4).写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
强化训练：
(1)、数列1，0，1，0，···的通项公式是?
由前几项归纳通项公式不唯一！
强化训练：
(2)、 写出下列数列的通项公式：
（1）9，99，999，9999；
（2）0.9，0.99，0.999，0.9999.
思考：
（1）7，77，777，7777；
（2）0.7，0.77，0.777，0.7777.
2. 数列 2，4，6，8，… 的通项公式是：
1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的通项公式是：
(n≤7)
类型一：写出数列的一个通项公式
二、课堂展示
3. 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解(1):
(1)的数列就是0，-1，0，-1也可以写为
根据数列 的通项公式，写出它的前5项。
解：(1) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
解：(2) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
类型二：由数列通项公式写出前几项
1.已知无穷数列7，4，3， …， ，…
（1）求这个数列的第10项；
（2） 是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）有没有等于序号的 的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由。
类型三：数列通项公式应用
2
2
三、课堂小结
1.数列:按一定的次序排列的一列数叫做数列。
2.数列与函数关系。
3.数列的三种表示方法。
4.数列中的归纳思想。
四、布置作业
1.固学案；
2.预习第二课时。