高中数学人教A版选修1-1第三章3.3.1函数的单调性与导数 课件（29张PPT）

3.3.1 函数的单调性与导数
3.3导数在研究函数中的应用
（4）对数函数的导数:
（5）指数函数的导数:

（3）三角函数 ：
（1）常函数：(C)/ ? 0，(c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式：
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
G 称为单调区间.
G = ( a , b )
二、复习引入:
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念；这个区间是定义域的子集.
(3)单调区间：针对自变量x而言的.
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1观察：
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
①运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地，
②从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地,
(1)
(2)
观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
一次函数
二次函数
三次函数
反比例函数
y = x2
x
y
O
y = x3
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y = x
x
y
O
y = x2
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减.
常数函数
P90思考？
例1 、 已知导函数 的下列信息:
当1 < x < 4 时，
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数 的图象的大致形状.
解：当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上， 函数 图象的大致形状如右图所示.
x
y
O
1
4
临近点
临近点
例2 、 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解：(1) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递增.
(2) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
例2 、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间：
解：(3) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递减.
(4) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递减.
当 , 即 时, 函数 单调递增;
例3 、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图象（A）上.
h
t
O
h
t
O
h
t
O
(1)
(2)
(3)
(4)
思考：一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图，函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)；
(2)解不等式f’(x)>0或f’(x)<0；
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）.
证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)；
(2)确认f’(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论.
练习：P93
1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
练习：P93
2、函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象 的大致形状
练习：P93
3、讨论二次函数 的单调区间.
解:
由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是
由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是
练习：P93
4、求证: 函数 在 内是减函数.
解:
由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.
题型一 利用导数求参数的取值范围
解：由已知得
因为函数在（0，1]上单调递增，
本题用到一个重要的转化：
最值定理
练习：
题型二 方程根的问题：
例3、求证：方程 只有一个根.
题型三 构造函数证明不等式
作业：已知函数f(x)=ax?+3x?-x+1在R
上是减函数，求a的取值范围.
P98 习题3.3 A组1、2
B组 1（1）（2）（3）（4）