沪教版（上海）数学高二上册-8.2 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件（26张PPT）

平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
1.理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.能够运用定义和运算性质解决相关问题．
预习提纲：
1.物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？
2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？
3.向量的数量积是如何定义的？如何表示？
有哪些性质？
4.如何理解投影？它是一个向量还是一个数？
看课本P103到P104
问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角。
位移S
O
A
F
θ
一、向量数量积的物理背景
两个非零向量 和 ，作 ，
与 反向
O
A
B
O
A
与 同向
O
A
B
B
则 叫做向量 和 的夹角．
记作
与 垂直，
O
A
B
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的
二、两个向量的夹角
如图,等边三角形ABC中,求：
（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；
（2）AB与BC的夹角________．
A
B
C
通过平移
变成共起点！
练习
D
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
三、向量　与　的数量积的概念
注意：
数量积
a · b =| a || b |cos?
?
?
?
注意公式变形，知三求一.

?
“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”
?
一种新的运算
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
探究：
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
a · b =| a || b |cos?
变式一
的夹角
与
求
，
，
，
b
a
b
a
b
a
2
8
4
|
|
4
|
|
=
·
=
=
O
A
B
b
a
?
向量数量积的
几何意义
数量积 a · b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos ?的乘积.
四、投影的概念
投影的作图:
A
O
⑤
A
O
B
| b |cos ?= ??b?
| b |cos ??0
| b |cos ??0
| b |cos ???b?
| b |cos ??0
O
A
a
B
b
θ
O
A
a
B
b
θ
O
A
a
B
b
θ
B1
B1
B
向量数量积的性质
b
a
b
a
^
?
=
·
0
)
1
(
a
a
a
a
a
a
·
=
=
·
|
|
|
|
特别地
2
或
|
||
|
)
3
(
b
a
b
a
?
·
|
||
|
|
||
|
)
2
(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
-
=
·
=
·
反向时，
与
当
；
同向时，
与
当
平面向量的数量积的运算律：
其中，
是任意三个向量，
注：
O
N
M
证明运算律(3)
向量 、 、 在上的投影的数量分别是OM、MN、 ON,
则
= ON
= (OM + MN)
= OM + MN
=
例 2：求证：
例3、
的夹角为
解:
夹角的范围
运算律
性 质
数量积
(3) (a＋b) ·c =
a·c＋b·c
a·a=|a|2
（简写 a2 = |a|2）
重点知识回顾:
(2)
(1) a ·b= b · a
(交换律)
(分配律)
1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意义
2.掌握平面向量的数量积的概念
3.掌握平面向量的数量积的运算律
4.理解数量积的运算是不同于实数运算
的一种新的运算，注意它们的区别；
5.会用数量积的运算解决一些基本问题
课堂小结
检测：
是非零向量
与
1.已知：
b
a
(√)
(× )
(× )
(√)
(√)
的结果还是一个向量
b
a
·
)
1
(
(× )
2
|
|
)
2
(
a
a
a
=
·
|
||
|
|
|
)
3
(
b
a
b
a
=
·
b
a
b
a
^
?
=
·
0
)
4
(
0
)
5
(
=
·
?
^
b
a
b
a
|
||
|
//
)
6
(
b
a
b
a
b
a
=
·
?
2、判断下列说法的正误，并说明理由
错误
正确
正确
同向时，48
反向时，-48
.
8
|
|
6
|
3.|
b
a
b
a
b
a
·
=
=
求
平行，
与
，
，
作业：