沪教版（上海）数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 (3)（38张PPT）

8.3平面向量分解定理
一、学习目标
1．根据已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会向量分解；
2．理解和掌握平面向量的分解定理；
3．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量。
二、学习重点及难点
平面向量分解定理的的探究；
分解唯一性的证明。
复习
：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2 。
思考：拉力OF与拉力F1和 F2 的关系
问题：前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
复习
根据下面正交分解示意图，并完成填空
复习
从上例正交分解可以看出在平面直角坐标系中，任意向量可以分解成坐标轴正方向上单位向量的线性组合，且分解唯一。
思考：如果 是平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的给定一个非零向量，那么 与 之间有什么关系呢？
活动步骤：
a.以小组为单位，每一位同学一个图，上面有两个不平行向量 和 ;
b.每个同学先独立作图;
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同？并得出结论。
学习活动1
给定平面内的两个不平行向量 ，对于给定的非零向量 是否能分解成 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
活动目的：
学习活动1---动手操作
将三个向量的起点移到同一点：
O
C
O
A
C
将三个向量的起点移到同一点：
学习活动1---动手操作
B
O
A
C
将三个向量的起点移到同一点：
学习活动1---动手操作
B
O
A
M
C
将三个向量的起点移到同一点：
学习活动1---动手操作
B
N
O
A
M
C
将三个向量的起点移到同一点：
学习活动1---动手操作
N
O
A
M
B
C
学习活动1---动手操作
N
O
A
M
B
C
学习活动1---活动结果
结论：可以分解，且分解的长度和方向唯一的。
思考：对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量 是否也可以得到同样的结论呢？
活动步骤：
a.以小组为单位，各小组的任务不一样，上面有两个不平行向量 和 ;
b.每个小组共同思考并完成作图;
c.各小组展示其成果并得出结论。
学习活动2
思考：对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量 是否也可以得到同样的结论呢？
活动目的：
通过小组之间的动手操作，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.?
学习活动2---动手操作
B
O
O
A
B
C
A
C
学习活动2---动手操作
B
O
O
A
B
C
A
C
B'
学习活动2---动手操作
B'
O
A
M
B
C
B
O
A
C
学习活动2---动手操作
B'
O
A
M
B
N
C
B
O
A
C
学习活动2---动手操作
B
M
B'
O
O
A
M
B
N
C
A
C
A'
学习活动2---动手操作
B
N
M
B'
O
O
A
M
B
N
C
A
C
A'
学习活动2---动手操作
O
A
B
C
学习活动2---动手操作
A'
O
A
B
C
学习活动2---动手操作
O
A
B
B'
C
A'
学习活动2---动手操作
M
A'
O
A
B
B'
C
学习活动2---动手操作
N
M
A'
O
A
B
B'
C
学习活动2---动手操作
可以分解，且分解的长度和方向唯一的。
思考：我们对以上两个实验加以概括，可以得出怎样的结论 ？
结论：平面内的任一非零向量 都可以表示为给定的两个不平行向量 的线性表示，即 ，且分解是唯一的。
学习活动2---活动结果
证明：（1）当 时，
（2）当 时，假设 ，则有

由于 不平行，故 ，即 。
平面向量定理唯一性证明
平面向量分解定理：
如果 是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使 ，我们把不平行的向量
叫做这一平面内所有向量的一组基（向量）。
注意：
（1）基底不共线；
（2）将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一， 是被 ， ， 唯一确定的数量。
例题分析
例1
例2．如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用 表示
A
B
C
D
思考题：
如图，已知 是不平行的两个向量， 是实数，且 ，用 表示 .
O
A
B
P
课堂小结
（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：基底 为两个不平行向量，向量 的任意性，实数对 的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
作业布置：完成学案后作业
谢谢指导