沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间向量在度量问题中的应用 课件（13张PPT）

空间向量在度量问题中的应用
空间向量的相关知识
1、平行垂直问题
（一）复习巩固
2、夹角问题
（结合图象，直观感觉）
作业回顾：若正三棱锥的侧棱两两垂直，则侧棱与底面所成角的大小为______
传统定义法
空间向量法
（二）例题引入
近几年上海高考数学卷中对立体几何的考查情况


例1、
如图，已知正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的

底面边长为
2
，侧棱长为
3
2
，点
E
在侧棱
AA
1

上，点
F
在侧棱
BB
1
上，且
AE
＝
2
2
，
BF
＝
2
.

求证：
CF
⊥
C
1
E.

方法一

证明

由已知可得

CC
1
＝
3
2
，
CE
＝
C
1
F
＝
2
2
＋
(
2
2
)
2
＝
2
3
，

EF
2
＝
AB
2
＋
(
AE
－
BF
)
2
，
EF
＝
C
1
E
＝
2
2
＋
(
2
)
2
＝
6
，

于是有
EF
2
＋
C
1
E
2
＝
C
1
F
2
，
CE
2
＋
C
1
E
2
＝
CC
2
1
，

所以
C
1
E
⊥
EF
，
C
1
E
⊥
CE
.

又
EF
∩
CE
＝
E
，所以
C
1
E
⊥
平面
CEF
.

又
CF
?
平面
CEF
，故
CF
⊥
C
1
E
.

（三）范例分析
方法二

建立如图所示的空间直角坐标系，

则由已知可得

C
(0,2,0)
,
C
1
(0,2,3
2
)
,
E
(0,0,2
2
)
,
F
(
3
,
1
,
2
)
．

证明
C
1
E
→
＝
(0
，－
2
，－
2
)
，

CF
→
＝
(
3
，－
1
，
2
)
，
C
1
E
→
·
CF
→
＝
0
＋
2
－
2
＝
0.

所以
CF
⊥
C
1
E
.








已知正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1
，点
P
在线段
BD
1

上，当
∠
APC
最大时，三棱锥
P
－
ABC
的体积为
____
__
．

例2、
(1)
证明

连结
BD
，设
AC
交
BD
于
O
，则
AC
⊥
BD
.

由题意知
SO
⊥
平面
ABCD
.

以
O
为坐标原点，
OB
→
，
OC
→
，
OS
→
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向，建立空间直角坐
标系如图．


如图所示，四棱锥
S
—
ABCD
的底面

是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
2

倍，
P
为侧棱
SD
上的点．
(1)
求证：
AC
⊥
SD
.

(2)
若
SD
⊥
平面
PAC
，则侧棱
SC
上是否存在一点
E
，使得
BE
∥
平面
PAC
.
若存在，求
SE
∶
EC
的值；若不存在，试说
明理由．

例3、
（四）课堂小结
1、 大部分立体几何题都可以采用向量法解决，向量法有效地降低了思维难度。
2、 空间向量法的步骤：
建系→求点(设点)→求向量→应用公式→作答。
3、 空间向量法侧重计算和传统定义法侧重理论，两者都需要一定的空间想象能力。
（五）巩固练习