沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件（20张PPT）

对于空间任意一条直线 ，与直线 平行的
非零向量 叫做直线 的一个方向向量。
空间直线的方向向量
注：直线 有无穷多个方向向量，这些方向向
量是相互平行的
对于空间任意一条直线 ，与直线 平行的
非零向量 叫做直线 的一个方向向量。
注：直线 有无穷多个方向向量，这些方向向
量是相互平行的
例、已知所有棱长为1的正三棱锥A-BCD，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的值比较简单的方向向量。
例、 已知 =（2，2，1）， =（4，5，3）求平面
ABC的单位法向量.
对于非零的空间向量 ,如果它所在的直线与平面α垂直,那么向量 叫做平面α的一个法向量.
平面的法向量
注:(1)平面 有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的；
(2)平面 的法向量 与平面 内的所有向量都垂直
例、在放置于空间直角坐标系中的长方体 中，求下列平面的一个法向量：
（1）平面 ；
（2）平面 ；
（3）平面
法向量与方向向量的应用1：判断平行关系
基础命题1：两条直线平行与重合
基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内
基础命题3：两个平面平行或重合
方向向量互相平行
这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量
它们的法向量互相平行
Ex：如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形
，PD=DC，E是PC的中点，作 交
PB于点F，证明：（1）
（2）
推论：一条直线与一个平面垂直
这条直线的方向向量
平行于该平面的法向量
EX.如图，在长方体 中，
求证：平面 平面 .
A
B
D
C
D'
C'
B'
A'
法向量与方向向量的应用2：空间角的度量
空间两条直线所成的角：设空间直线a与b所成的角为
它们的一个方向向量分别为
的夹角为 ，根据空间
两条直线所成的角的定义，可知 是
Ex：正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是棱BC和AD的中点，求直线AE和FC所成角
Ex：四棱锥S-ABCD的高SO=3,底面是边长为2,∠ABC=600的菱形,F是SA的中点,E是SC的中点,求异面直线DF与BE所成角的大小.
x
z
y
空间直线与平面所成的角：当直线l与平面相交且不
垂直时，设它们所成的角为 是直线
l的一个方向向量， 是平面α的一个法向量，
的夹角为 ，那么 有如下关系：
二面角：设两个半平面所在的平面α1，α2的法向
量分别为 ，两个法向量的夹角为 ，二面角
的大小为 ，可以看出
Ex：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E，F分别是BC,CD的中点，求：
（1）直线A’D与平面EFD’B’所成角的大小；
（2）二面角B-B’E-F的大小。
Ex：已知正三棱柱 的所有棱长都是a，
M是棱 的中点，
求：（1）直线 与平面 所成角的大小
（2）二面角 的大小
Ex：已知正方体 的棱长为2，P、Q分别在BC、CD上运动，且 ，建立如图所示坐标系
（1）确定P、Q的位置，使得
（2）当 时，求二面角 的大小
中点
a
A
M
q
设A是平面α外任意一点， 是平面α过点A的法向量，点M是平面α内任意一点，向量 的夹角为θ，直线AM与平面α所成角为 。
法向量与方向向量的应用3：空间点到平面的距离
Ex:在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1.求：（1）顶点B’到平面D’AC的距离；（2）直线BC’到平面D’AC的距离。
B
A
C
C1
E
A1
B1
z
x
y
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面内任一点，试求过P点在上底面内引一条直线，使它和对角线A1C所成的角最小。
设向量A1P坐标（x,y,0）