沪教版（上海）数学高二上册-8.4 平面向量在三角证明中的应用 课件（13张PPT）

平面向量在三角证明中的应用
一、利用平面向量证明三角公式
【例1】两角差的余弦公式的证明
-1
1
1
-1
α -β
B
A
y
x
o
β
α
∵
【例2】余弦定理
B
A
C
a
b
c
O是
的重心
P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
证明:
∵G是△ABC的重心
即
由此可得
（反之亦然（证略））
【例3】
【例3】
三、平面向量在三角形计算中的应用
【例3】
【课后作业】
5.设向量 =(4cos α,sin α), =(sin β,4cos β),
=(cos β,-4sin β).
(1)若 与 -2 垂直，求tan(α+β)的值.
(2)求| + |的最大值.
(3)若tan αtan β=16,求证： ∥ .
【解析】(1)因为b-2c=(sin β-2cos β,4cos β+8sin β),
a与b-2c垂直，
所以4cos α(sin β-2cos β)+sin α(4cos β+8sin β)=0,
即sin αcos β+cos αsin β
=2(cos αcos β-sin αsin β),
所以sin(α+β)=2cos(α+β),
所以tan(α+β)=2.
(2)因为b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),
所以|b+c|=
所以当sin 2β=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为
(3)因为tan αtan β=16,
所以
即sin αsin β=16cos αcos β,
所以(4cos α)·(4cos β)=sin αsin β,
即a=(4cos α,sin α)与b=(sin β,4cos β)共线，
所以a∥b.