沪教版（上海）数学高三上册-15.3 锥体的体积(1) 课件（18张PPT）

15.5-2锥体的体积(1)
1.祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
复习
棱柱的体积等于它的底面积s和高h的积。
V棱柱= sh
2.棱柱体积
“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．
棱锥体积公式及其探索思路？
问题
实验：用三棱锥盛满黄沙，倒入等底等高三棱柱容器中。倒几次能把三棱柱容器倒满？
思考：若三棱锥O-ABC换成等底等高的三棱锥P-DEF,结果是否一样呢？
等底面积等高的两个三棱锥的体积相等
公式推导
推导1
=
=
=
α
s
h
s
h
S1
S2
h1
h1
β
公式推导
等底等高的两个三棱锥的体积相等
推导1
+
祖暅原理
推导2
三棱锥的体积如何求出？
公式推导
推导2
那么怎样研究三棱锥的体积呢？
回忆直角三角形面积公式探求过程：
补
割
回忆组合图形面积公式探求过程：
+
割
补
先补后割与先割后补是处理几何问题常用的方法（即割补法）。能否将上述思维方法迁移到求三棱锥的体积上来？
公式推导
A
B
C
A′
B′
C′
显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h .
∴V三棱柱 = S h
h
S
演示
公式推导
1
2
3
A
B
C
A′
B′
C′
显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h .
∴V三棱柱 = S h
公式推导
1
2
3
A
B
C
A′
B′
C′
显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h .
∴V三棱柱 = S h
1
2
A
B
B′
C
A′
B′
3
C
A′
C′
B′
3
C
A′
C′
B′
3
C
A′
C′
B′
3
C
A′
′
公式推导
显然此三棱柱的底面积为 S ,高为 h .
∴V三棱柱 = S h
1
A
B
C
A′
B′
3
C
A′
C′
B
B′
C
A′
2
B
B′
C
A′
2
B
B′
C
A′
2
B
C
A′
B
B′
C
A′
2
公式推导
A
1
B
C
A′
B
B′
C
A′
2
B
B′
C
A′
2
B
B′
C
A′
2
B
C
A′
B
B′
C
A′
2
B′
3
C
A′
C′
公式推导
分析.∵ S △ A’AB （面1） = S △ A’B’B （面2） (底 )
即 V1= V2
同理可证 V2= V3 ( 怎证 ? )
C点到面 A’AB （面1）的距离等于C点到面 A’B’B（面2）的距离（高）
(用 S△B B’ C （面4） = S△ C’ B’ C （面3） 可证 )
∴ V1= V2= V3
∴ V三棱锥C - A’ AB= V三棱锥C -A’B’B
因此 V1= V2= V3 = V三 棱柱
= Sh
1
2
3
A
B
C
A′
B′
C′
h
S
即 V三棱锥A’-- ABC = S h
公式推导
4
定理:
三棱锥 V三棱锥=
Sh (底面积为S ，高为 h)
推导3
三棱锥的体积问题已经解决了，那么一般棱锥的体积如何呢？
公式推导
四棱锥的体积？N棱锥的体积？
A
0
D
B
C
P
公式应用
例1、求棱长都为a的正四棱锥的体积 。
在棱长为a的正方体 中，
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求三棱锥 的体积；
例2：
公式应用
解：
课堂小结
知识方面
本节课学习了利用祖暅原理、割补法获得了棱锥的体积公式，并初步体会棱锥体积公式的应用；
思维能力方面
体会到联想、类比、猜想、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。
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