沪教版（上海）数学高三上册-16.5 二项式系数与杨辉三角形 课件（62张PPT）

二项式系数与杨辉三角形
Binomial Coefficients & Pascal’s Triangle
上海市位育中学
龚菲
知识回顾
二项式定理（Binomial Theorem）
存款份
二项式系数(Binomial Coefficients)
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龚菲
杨辉三角形的构成
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龚菲
杨辉三角形的构成
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杨辉
三角形
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背景介绍
1623年，法国的Pascal，
13岁，Pascal’s Triangle
与组合数建立关系。
1050年，北宋的贾宪，
《释锁算书》，贾宪三角。
1261年，南宋的杨辉，
《详解九章算法》，
“开方作法本源”图。
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高尔顿板
龚菲
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高尔顿板模拟演示
龚菲
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高尔顿板与杨辉三角形
龚菲
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
二项式系数与杨辉三角形
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龚菲
杨辉三角形的特征
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龚菲
杨辉三角形的特征
性质1：
左右斜边上都是1
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龚菲
二项式系数的性质1
性质1：
左右斜边上都是1
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龚菲
二项式系数的性质1
性质1：
????0=????????=1
?
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龚菲
杨辉三角形的特征
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龚菲
杨辉三角形的特征
性质2：
左右次斜边上
是连续整数
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龚菲
二项式系数的性质2
性质2：
左右次斜边上
是连续整数
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龚菲
二项式系数的性质2
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龚菲
二项式系数的性质2
性质2：
????1=?????????1=????
?
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龚菲
杨辉三角形的特征
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龚菲
杨辉三角形的特征
性质3：
左右对称性
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龚菲
二项式系数的性质3
性质3：
左右对称性
二项式系数的性质3
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龚菲
二项式系数的性质3
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龚菲
性质3：????????=?????????????
?
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龚菲
杨辉三角形的特征
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杨辉三角形的特征
龚菲
性质4：
每个数等于它上方两数之和
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二项式系数的性质4
性质4：
每个数等于它上方两数之和
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二项式系数的性质4
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龚菲
二项式系数的性质4
性质4：
?????????1+????????
=????+1????
?
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如何构成杨辉三角形？
存款份
运用二项式定理。
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二项式系数的性质1
性质1：
左右斜边上都是1
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二项式系数的性质2
性质2：
左右次斜边上
是连续整数
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二项式系数的性质3
性质3：
左右对称性
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二项式系数的性质4
性质4：
每个数等于它上方两数之和
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二项式系数的性质
存款份
性质1：
????0=????????=1
?
性质2：
?????????1=?????????1=????
?
性质4：
??????????1+????????=????+1????
?
性质3：
????????=?????????????
?
理论证明
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二项式系数的性质的理论证明
性质1：
????0=????????=1
?
证明：
????0=????!0!?????0!=????!????!=1
?
?????????=????!????!?????????!=????!????!=1
?
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二项式系数的性质的理论证明
????1=????!1!?????1!=?????????1!?????1!=n
?
性质2：
????1=?????????1=????
?
?????????1=????!?????1!?????????+1!=?????????1!?????1!=n
?
证明：
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二项式系数的性质的理论证明
????????=????!????!?????????!=????!?????????!?????????+????!=?????????????
?
性质3：
????????=?????????????
?
证明：
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二项式系数的性质的理论证明
性质4：
?????????1+????????=????+1????
?
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杨辉三角形(Pascal’s Triangle)
横看成岭侧成峰
远近高低各不同
+ + + + + +
+ + + + +
+ + + +
+ + +
+ +
+
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龚菲
横向和
1
2
4
8
16
32
64
=
=
=
=
=
=
=
20
?
=
=
=
=
=
=
=
21
?
22
?
23
?
24
?
25
?
26
?
第一行
第三行
第五行

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横向和
2????
?
第????+1行
?
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横向和
性质5：
????0+????1+????2+…+?????????1+????????=2????
?
请理论证明性质5
提示2：在????+????????中选取合适的????和????的值。
?
提示1：运用二项式定理展开。
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龚菲
斜线和（一）
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龚菲
斜线和（一）
+
?
=
+
?
+
?
+
?
=
+
?
+
?
=
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斜线和（一）
+
?
+
?
+
?
=
+
?
+
?
+
?
=
…
?
+
?
性质6：
????????+????+1????+????+2????+…+?????1????=????????+1
?
龚菲
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斜线和（二）
性质6：
????????+????+1????+????+2????+…+?????1????=????????+1
?
????0
?
性质7：
龚菲
设????=1，????=5
?
10
?
+????+11
?
+????+22
?
+…+
?
?????1??????????1
?
=??????????????1
?
+21
?
+32
?
+43
?
=53
?
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斜线和（二）
????0+????+11+????+22+…+?????1??????????1=??????????????1
?
性质7：
龚菲
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龚菲
斜线和（二）
+
?
+
?
+
?
=
10+21+32+43=53
?
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龚菲
斜线和（二）
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Fibonnaci数列
????1=1，????2=1
?
????1=1????????????????????5=5
????2=1???????????????????6=8
????3=2???????????????????7=13
????4=3???????????????????8=21
?
龚菲
????????=?????????1+?????????2??????≥3
?
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龚菲
斜线和（三）
1
=
?
1
2
3
5
8
13
21
=
?
=
?
=
?
=
?
=
?
=
?
=
?
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世事
洞明
皆数学
处处
留心
是学问
有心人