初中数学青岛版九年级下册第五章5.1函数与它的表示法练习题
一、选择题
在地球某地，地表以下岩层的温度与所处深度之间的关系可以近似地用表达式来表示，当自变量x每增加1km时，因变量y的变化情况是
A.
减少
B.
增加
C.
减少
D.
增加
2018年10月，历时九年建设的港珠澳大桥正式通车，住在珠海的小亮一家，决定自驾去香港旅游，经港珠澳大桥去香港全程108千米，汽车行进速度v为110千米时，若用千米表示小亮家汽车行驶的路程，行驶时间用小时表示，下列说法正确的是
A.
s是自变量，t是因变量
B.
s是自变量，v是因变量
C.
t是自变量，s是因变量
D.
v是自变量，t是因变量
下列曲线不能表示y是x的函数的是
A.
B.
C.
D.
下列各图给出了变量y与x之间的函数是：
A.
B.
C.
D.
下列各曲线中不能表示y是x的函数是
A.
B.
C.
D.
对于关系式，下列说法错误的是???
A.
x是自变量，y是因变量
B.
x的数值可以取任意有理数和无理数
C.
y是变量，它的值与x无关
D.
y与x的关系还可以用列表法和图象法表示
某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了12L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x?km，油箱中剩油量为y
L，则y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围分别是
A.
B.
C.
D.
下面坐标平面中所反映的图象中，不是函数图象的是
A.
B.
C.
D.
下列关于x和y的变量中，，，其中y是x的函数的是???
A.
B.
C.
D.
下列式子中y是x的函数的有几个？
，，，，，．
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
二、填空题
已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
码
35
36
37
38
39
40
厘米
23
24
25
设鞋子的“码”数为x，长度为厘米，那么y与x之间的关系式是______．
函数之间的关系常用_______、_______、_______三种方法．
已知海拔每升高1千米，温度下降，某时刻A地温度为，高出地面x千米处的温度为，则y与x之间的函数关系为______．
周长为10cm的等腰三角形，腰长与底边长之间的函数关系式是____________。
等腰三角形的周长为12，底边y与腰x之间的函数关系式为写出关系式并写出自变量的取值范围_____________________________．
三、计算题
如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究和解答下列问题：
设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与表示第n个图形的关系式；
上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题中，共需要花多少钱购买瓷砖？
否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．
为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表：
汽车行驶时间
0
1
2
3
油箱剩余油量
100
94
88
82
根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；
汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？
该品牌汽车的油箱加满48L，若以的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？
四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
一面利用墙墙的最大可用长度为，用长为30m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为，面积为
若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
若要围成的花圃的面积为，则AB的长应为多少？
如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点点A在x轴负半轴上，且．
求直线AC的解析式．
如图2，边长为3的正方形DEFG，点G与点A重合，现将正方形以每秒1个单位的速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动，设正方形DEFG与重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
如图3，已知点，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当为等腰直角三角形时，求点M的坐标．
已知等腰三角形的周长是18cm，底边是腰长的函数．写出这个函数的关系式；
求出自变量的取值范围；
当为等边三角形时，求的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】分析
根据关系式解答即可．
本题考查用关系式表示的变量间关系，弄清关系式中自变量和因变量的关系是解题关键．
详解
解：由可知，
当自变量x每增加1km时，因变量，
所以，即因变量y增加．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：行驶的路程随行驶时间用t的变化而变化，
则t是自变量，s是因变量，
故选：C．
因为行驶的路程随行驶时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是行驶时间，因变量是行驶路程．
此题主要考查了函数定义，变量和常量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
3.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．函数就是在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】
解：A、B、D都符合函数的定义；
C、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不是函数关系．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．函数就是在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】
解：A、B、C中对于x的值y的值不是唯一的，因而不符合函数的定义；
?符合函数定义．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y有两个值与之对应关系，故B符合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；
D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意；
故选：B．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
6.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：A、x是自变量，y是因变量，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、x的数值可以取任意有理数和无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、y是变量，它的值与x有关，原说法错误，故此选项符合题意；
D、y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单．熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，求出每千米汽车的耗油量是解题关键．
首先求出汽车每千米耗油量，进而得出y与x之间的函数解析式．
【解答】
解：，由得．
由已知得汽车的行驶路程最远为500km，故自变量的取值范围为．
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数的定义可知y与自变量x是一一对应的，从而可以判断各个选项中的图象是否是函数图象，从而可以解答本题．
【解答】
解：根据函数的定义可得A，B，C都是函数图象，D选项当或时，x取一个值，y可能有两个值与之对应，故不是函数图象，故D选项不是函数图象．
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】本题主要考查的是函数概念及其表示方法，熟练掌握函数的概念是解题的关键首先根据函数的概念可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，依此，对各选项中的x进行取值，分析得到的y值是否唯一，若y值是唯一的，则y是x的函数，否则不是，据此即可确定函数的个数．
【解答】
解：可变形为：，x取一个值，y有唯一的值和它对应，符合题意；
，x取一个值，y有唯一的值和它对应，符合题意；
可变形为：，x取一个值，y可能有两个值与之对应，不符合题意．
?符合题意．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：，y不是x的函数；
，y是x的函数；
，y不是x的函数；
，y是x的函数；
，y是x的函数；
，y是x的函数．
故选：C．
直接利用函数的定义进而分析得出即可．
此题主要考查了函数的概念，正确把握函数的定义是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据鞋子的“码”数与长度之间的关系，通过表格数据得出相应的规律，从而得出答案．
考查函数的表示方法，理解变量之间的变化关系，得出规律性的代数式是正确解答的前提．
12.【答案】列表法；解析式法；图象法
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是函数的表示方法函数关系常用的三种表示方法是列表法，解析式法，图象法，由此解答即可．
【解答】
解：函数关系常用的三种表示方法是列表法，解析式法，图象法，
故答案为列表法；解析式法；图象法．
13.【答案】
【解析】解：依题意有：．
即y和x的函数关系式是．
故答案是：．
根据气温山脚的气温下降的气温列出函数解析式．
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．能够根据题意，找到所求量的等量关系：气温地面气温下降的气温是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的周长公式．根据底边长两腰长周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式．
【解答】
解：依题意，得，
即：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是函数的表示方法及函数自变量取值范围有关知识，根据题意列出函数关系式即可；根据三角形的三边关系定理得出；根据三角形的边长不能为负数和0得出，，求出符合以上条件的解集即可．
【解答】
解：底边y与腰长x之间的函数关系式是；
根据三角形的三边关系定理得：，即，，
，解得：，即自变量x的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】解：时，，
时，，
时，，
．
，
解得或舍去．
块
元
答：共需要花1604元购买瓷砖．
当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，
，
，
整理，可得
，
解得，
是整数，
不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
答：不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
【解析】设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，分别求出、2、3时，y的值各是多少，判断出y与表示第n个图形的关系式即可．
根据铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，列出一元二次方程，求出此时n的值是多少即可．
首先分别求出需要的白瓷砖、黑瓷砖的数量各是多少；然后根据总价单价数量，分别用黑瓷砖、白瓷砖每块的价格乘需要的黑瓷砖、白瓷砖的数量，求出共需要花多少钱购买瓷砖即可．
当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，所以，通过计算加以说明存在不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形即可．
此题主要考查了一元二次方程的求法和应用，图形的变化规律，以及函数值的求法，要熟练掌握．
17.【答案】解：；
当时，，
答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L；
答：该车最多能行驶800km；
【解析】由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；
求汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量即是求当时，Q的值；
贮满48L汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当时，t的值．
本题考查了一次函数的应用，关键是求函数关系式．注意贮满48L汽油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t的值．
18.【答案】解：由题意BC的长为；
；
如果要围成面积为的花圃，
即当时，；
解得，；
；
不合题意，应舍去，故，
答：如果要围成面积为的花圃，AB的长是7m．
【解析】【试题解析】
本题考查了函数的实际应用和一元二次方程的解法解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式，再解方程．
已知AB为，BC就为，然后根据长方形的面积长宽，得出y与x的函数关系式；
根据的函数关系式，将代入其中，求出x的值即可．
19.【答案】解：直线交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为、，
，则，则，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线AC的表达式为：；
如图2所示：
当时，左侧图，
正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点M处，
则点，则点，
，
当时，右侧图，
正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点G处，E、F交直线AC于点R、S，
同理可得：；
故：；
点M为线段AC上一动点，
经画图，当和分别为时，点M均不在线段AC上，
时，三角形QMN为等腰直角三角形，
过点M作y轴的平行线交x轴于点G，过点N作x轴的平行线交MG于点R、交y轴于点H，
设点M、N的坐标分别为、，
，，
，
，，
≌，
则，，
即：，，
解得：．
故点M的坐标为，；
当时，同理可得：点，；
综上，点M的坐标为：，或，．
【解析】【试题解析】
本题考查的是分段函数的解析式，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质、三角形全等等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
直线交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为、，，则，则，即可求解；
分、，两种情况分别求解即可；
证明≌，则，，即可求解．
20.【答案】解：由题意得，，
则；
由三角形的三边关系可知，，，
，，
解得，；
当为等边三角形时，，
作于D，
则，
，
的面积
【解析】【试题解析】
根据三角形的周长公式解答；
根据三角形的三边关系计算；
求出等边三角形的边长，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算．
本题考查的是等边三角形的性质、求函数关系式以及自变量的取值范围，掌握等边三角形的性质、三角形的三边关系是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章5.2反比例函数练习题
一、选择题
在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是
A.
B.
C.
D.
如图，点A在双曲线图象上，点B在双曲线上，且轴，若四边形OABC是菱形，，则K的值为
A.
B.
C.
D.
函数和在同一直角坐标系中的大致图象是???
A.
B.
C.
D.
若反比例函数的图象上有两点，，则m，n的关系是???
A.
B.
C.
D.
无法确定
在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是
A.
B.
C.
D.
已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
已知点，在反比例函数的图象上，若，且，那么与的大小关系是?
A.
B.
C.
D.
不确定
如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为??
A.
12
B.
4
C.
3
D.
6
下列图象中是反比例函数图象的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，点P在反比例函数的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则______．
点在双曲线上，则_____________?。
如图，A，B两点在双曲线上，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，已知，则____________
如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为，将线段OC绕点O顺时针旋转至线段OD，若反比例函数的图象经过A、D两点，则k值为____．
三、解答题
已知y是关于x的一次函数，下表列出了这个函数部分的对应值：
x
1
2
n
y
9
m
求这个一次函数的表达式．
求m，n的值．
已知点和点在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由．
为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为反比例函数的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，连接DE．
求k的值；
求直线DE的解析式．
如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．
分别求出直线AB及反比例函数的表达式；
求出点D的坐标；
利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，．
如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于C点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
求的面积；
直接写出不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得，解可得k的取值范围．
【解答】
解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得，
解得．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式，首先根据点A在双曲线上，
设A点坐标为，再利用含直角三角形的性质算出，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．
【解答】
解：因为点A在双曲线上，设A点坐标为，
因为四边形OABC是菱形，且，
所以，
可得B点坐标为，
可得：a，
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，
故选：B．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
4.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标代入函数解析式可分别求得m、n的值，比较其大小即可．
【解析】
解：
点、在反比例函数的图象上，
，，
，
故选A．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．
解答此题根据反比例函数的性质解答即可，先根据二象限的函数值大于四象限的函数值可得最大，然后再根据同一象限内，当时，y随x的增大而增大可得结论．
【解答】
解：在反比例函数图象上，，
，
对于反比例函数，在第二象限，y随x的增大而增大，
，
，
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数图象经过的象限即可得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】
解：A、一次函数图象应该过第一、二、四象限，
，，
，
反比例函数的图象经在二、四象限，
故A错误；
B、一次函数图象应该过第一、三、四象限，
，，
，
反比例函数的图象经在二、四象限，
故B错误；
C、一次函数图象应该过第一、二、三象限，
，，
，
反比例函数的图象经在一、三象限，故C错误；
D、一次函数图象应该过第二、三、四象限，
，，
，
反比例函数的图象经在一、三象限，
故D正确，
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：反比例函数的图象分别位于一、三象限，
，
解得，．
故选B．
根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，函数图象分别位于一、三象限；当时，函数图象分别位于二、四象限．
8.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．根据k的值判断此函数图象所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
【分析】
解：反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
，
点，两点位于同一象限，
，
．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：设矩形的对称中心为E，连接OA、OE，过E作垂足为F，
点E是矩形ABCD的对称中心，
，，
设，，
的面积为12，
，，
点，
，
，
即：，
故选D．
设点A的坐标，利用矩形的面积，表示矩形的边长，再根据对称中心表示E的坐标，由点A、E都在反比例函数的图象上，由反比例函数k的几何意义求解即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据图形性质表示点的坐标，再把点的坐标代入函数关系式是经常使用的方法．
10.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键．根据反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可．
【解答】
解：根据反比例函数的图象是双曲线，只有C正确．
故选C．
11.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，用到的知识点是过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，注意k的取值范围．根据矩形PBOA的面积为8，得出，再根据反比例函数的图象得出，从而求出k的值．
【解答】
解：矩形PBOA的面积为8，?
，
反比例函数?的图象在第二象限，
，?
．
12.【答案】6
【解析】
【试题解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
把点的坐标代入函数解析式计算即可．
【解答】
解：点在双曲线上，
，
故答案为：6．
13.【答案】6
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何的意义，反比例函数图象及性质有关知识，欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出?
【解答】
解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于，
．
故答案为6．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点D的坐标．
过点D作轴于H，设，由直角三角形的性质和旋转的性质可求点，点，可得，即可求解．
【解答】
解：如图，过点D作轴于H，
四边形ABOC是矩形，
，，
将线段OC绕点O顺时针旋转至线段OD，
，，
，
，，
设，
点，点
反比例函数的图象经过A、D两点，
，
或舍
点，
，
故答案为．
15.【答案】解：设，
当时，；时，．
据此列出方程组，
解得，
一次函数的解析式，
把代入，得到．
把代入得出，得出，解得：；
正比例函数的图象不可能经过第一象限，
理由：，
该一次函数y随x的增大而减小，
点和点在该一次函数图象上，
，
，
正比例函数的图象经过二、四象限，不经过第一象限．
【解析】略
16.【答案】解：设药物燃烧时y关于x的函数关系式为，
代入得，
，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为，
代入得
，
药物燃烧时y关于x的函数关系式为药物燃烧后y关于x的函数关系式为：
，
把代入，得：，
把代入，得：，
，
所以这次消毒是有效的．
【解析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
利用时分别代入求出答案．
17.【答案】解：四边形OABC为矩形，
轴，轴，
点B的坐标为点为BC的中点，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
当时，，则，
设直线DE的解析式为，
把，分别代入得，解得，
直线DE的解析式为．
【解析】先利用D点为BC的中点得到，再把点坐标代入可得到k的值；
由于B点的横坐标为4，则利用反比例函数解析式可确定，然后利用待定系数法求直线DE的解析式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
18.【答案】解：直线经过点，
，解得，
直线AB为；
点在反比例函数上，
，
反比例函数的表达式为；
解得或，
；
由图象可知：当时，．
【解析】根据待定系数法即求得；
解析式联立，解方程组即可求得D点的坐标；
根据题意即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为：
在反比例函数的图象上，
，
，是一次函数上的点，
解得：，
一次函数的解析式：，
令代入，
，
，
，
，
由图象可知：或，
【解析】将A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数解析式即可求出n的值．最后将A、B的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式．
求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出的面积．
即找出一次函数的图象位于反比例函数的图象上方时x的取值范围．
本题考查反比例函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数法求出两函数的解析式，本题属于中等题型．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章5.3二次函数练习题
一、选择题
已知函数：，其中是二次函数的有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
在下列函数中，是二次函数的是
A.
B.
C.
D.
下列函数的解析式中，一定为二次函数的是
A.
B.
C.
D.
下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是
A.
B.
C.
D.
函数是二次函数，则m的值为
A.
B.
0
C.
或1
D.
1
下列函数中是二次函数的有
；；；．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
若函数是关于x的二次函数，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A.
1，4，3
B.
0，4，3
C.
1，，3
D.
0，，3
若函数是二次函数，则m的值为
A.
3
B.
C.
D.
9
下列关于x的函数一定为二次函数的是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
若函数是二次函数，那么a不可以取???
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
如果函数是二次函数，那么m的值是???????
A.
B.
或3
C.
3
D.
1或
二、填空题
若是二次函数，则m的值是______．
已知函数是二次函数，则k满足______．
当__________时，函数是二次函数．
函数是抛物线，则??????????．
已知函数yx的图象是一条抛物线，则m__．
三、解答题
已知二次函数是常数．
当m为何值时，函数是一次函数？
当m为何值时，函数是二次函数？
下列函数是否为二次函数，如果是二次函数，请写出它的二次项系数a，一次项系数b和常数项c．
表达式
是否为二次函数
a
b
c
如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加x
cm，那么面积增加．
写出y与x的函数关系式；
上述函数是什么函数？
自变量x的取值范围是什么？
?已知函数．
若这个函数是一次函数，求m的值；
若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的定义有关知识，分别根据一次函数及二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【解答】
解：是一次函数；
是二次函数；是二次函数；不能确定a是否为0，则不是二次函数．
共2个二次函数．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的定义，形如是二次函数，要先化简再判断．根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】
解：没有条件，不一定是二次函数，故A错误；；
B.是三次函数，故B错误；
C.，不含二次项，故C错误；
D.?是二次函数，故D正确；
故选D．
3.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，?
是二次函数，注意二次函数都是整式．
根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】
解：A、化简得：不是二次函数，不合题意；
B、?
是二次函数，不合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、不是二次函数，不合题意；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：A、，是二次函数，所以A选项正确；
B、，最高次数是3，不是二次函数，所以B选项错误；
C、，右边不是整式，不是二次函数，所以D选项错误；
D、，最高次数是1，不是二次函数，所以D选项错误．
故选：A．
利用二次函数的定义分别分析得出即可．
此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
5.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
直接利用二次函数中自变量x的最高指数是2，且列式解答．
【解答】
解：函数是二次函数，
，，
解得：．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．一般地，如果b，c是常数，，那么y叫做x的二次函数．
根据定义的一般形式进行判断即可．
【解答】
解：中的不是整式，故此函数不是二次函数；
，是二次函数；
，是二次函数；
中的不是整式，故此函数不是二次函数；
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：函数是关于x的二次函数，
，
解得．
故选：D．
根据二次函数的定义列不等式求解即可．
本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的概念，根据二次函数的一般形式进行解答即可．
【解答】
解：二次函数，
二次项系数为1，一次项系数为，常数项为3．
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键．根据二次函数的定义使x的最高次数为2，且二次项系数即可．
【解答】
解：函数是二次函数，
，且，
解得：．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的定义，关键是掌握一个函数为二次函数成立的条件条件：二次函数成立的条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为根据二次函数的定义判断即可．
【解答】
解：A．中没有二次项，是一个一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.是一个二次函数，故本选项符合题意；
C.当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D.是一个三次函数，故本选项不符合题意；
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键根据二次函数的定义得，即可求出．
【解答】
解：函数是二次函数，
，
．
故选D．
12.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为根据x的次数为2，系数不为0即可解答即可．
【解答】
解：根据题意得：
解得：
，
故选A．
13.【答案】
【解析】解：是二次函数，
，，
解得：舍去，．
故答案为：．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
利用二次函数定义可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．
15.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解决问题要注意二次项系数不能等于0，这也是本题容易出错的地方．
解答此题根据二次函数的定义可得关于m的方程和不等式，然后解之即可．
【解答】
解：依题意可知，得或，
又，
当时，函数是二次函数，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【试题解析】
解：由是抛物线，得
，
解得，
故答案为：．
根据二次函数的定义列出式子求解即可．
本题考查二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为零是解题关键．
17.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质及定义的有关知识，根据二次函数的定义列式求解即可．
【解答】
解：函数的图象是一条抛物线，
函数是二次函数，
，
解得：．
故答案为3．
18.【答案】解：是一次函数，
且，
解得，
当时，此函数是一次函数；
是二次函数，
，
解得且．
当且时，此函数是二次函数．
【解析】本题考查了二次函数和一次函数的定义．
根据形如是一次函数，可得答案；
根据形如是二次函数，可得答案．
19.【答案】解：，故其不是二次函数，故填表如下：
【解析】本题主要考查二次函数的概念根据二次函数的定义判断，然后填入a，b，c的值即可．
20.【答案】解：由题意得，
即；
，
是x的二次函数；
自变量x的取值范围是．
【解析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，二次函数的定义，根据矩形的面积公式得到y与x的函数关系式是解题的关键．
矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽各增加xcm，得到的新矩形的长是，宽是，根据增加的面积新矩形的面积原矩形的面积即可得出y与x的函数关系式；
根据二次函数的定义即可求解；
根据x的实际意义即可解答．
21.【答案】解：依题意得
；
依题意得，
且．
【解析】【试题解析】
本题考查了一次函数的定义以及二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得关于方程的方程组，解方程组可得答案；
根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章二次函数的图像和性质练习题
一、选择题
抛物线的最值为
A.
B.
2
C.
D.
3
在同一坐标系内，函数和的图象大致如图
A.
B.
C.
D.
将二次函数的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是??
A.
B.
C.
D.
已知双曲线的图象如图所示，则函数与的图象大致是
A.
B.
C.
D.
二次函数的对称轴是
A.
直线
B.
直线
C.
直线
D.
直线
若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是?
A.
B.
C.
D.
在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是???
A.
B.
C.
D.
已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是
A.
B.
C.
D.
若将抛物线向左平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为
A.
B.
C.
D.
抛物线的对称轴为直线若关于x的方程为实数在的范围内有实数根，则t的取值范围是??
A.
B.
C.
D.
已知点，点在抛物线上，则，的大小关系是?
A.
B.
C.
D.
无法判断
二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是
A.
向左平移2个单位，向下平移2个单位
B.
向右平移2个单位，向上平移1个单位
C.
向右平移1个单位，向下平移1个单位
D.
向左平移1个单位，向上平移2个单位
二、填空题
已知经过的抛物线不经过第四象限，则a的取值范围是______若是整数，则a的值可以是__________．
已知?是二次函数，且当时，y随x増大而增大，则______．
二次函数图像的顶点坐标是__________．
已知二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则当时，y的值为______．
若二次函数的图象上有两点，，则a______填“”，“”或“”
三、解答题
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，点A的坐标为
求反比例函数和一次函数的解析式；
请直接写出不等式组的解集；
点是直线上的一个动点，且满足中的不等式组，过点P作轴交y轴于点Q，若的面积记为S，求S的最大值．
如图，抛物线的顶点A在直线l：上，点为抛物线上一点．
求a的值；
抛物线与y轴交于点B，试判断的形状．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接BC．
求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若，求点D的坐标；
已知，若是抛物线上一个动点其中，连接CE、CF、EF，求面积的最大值及此时点E的坐标．
若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
已知平面直角坐标系xOy中，抛物线．
若该抛物线经过原点，求m的值；
求证该抛物线的顶点在直线上；
若点，，当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的最值，熟练掌握利用顶点式解析式求最大或最小值是解题的关键．
将二次函数化为顶点式后，确定最值即可．
【解答】
解：，
所以该抛物线有最小值2，
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】
解：当时，函数开口向上，而过一、三、四象限，故选项C、D都不正确；
当时，函数开口向下，而过二、三、四象限，故选项A不正确，选项B正确；
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】
解：将二次函数的图象向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是，?
故选D．
4.【答案】A
【解析】【试题解析】
解：根据反比例函数的图象，，
当时，，开口向上，过原点，过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当时，，开口向下，过原点，过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
由反比例函数的图象可知，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查了反比例函数、二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
5.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的对称轴．根据题目中的函数解析式可以直接写出该函数的对称轴，从而可以解答本题．
【解答】
解：
该函数的对称轴是直线，
故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质和图象，掌握二次函数的性质和图象是解题的关键根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、以及对称轴，从而得到k的取值范围．
【解答】
解：二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小，
．
故选D．
7.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】
解：当时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
【解答】
解：二次函数，
该抛物线的开口向上，且对称轴是．
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，
．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键，根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】
解：抛物线向左平移5个单位长度得到的新抛物线的解析式为，
则新抛物线的顶点坐标为，
故选D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】
解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值2；
．
故选B．
11.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象上点的坐标特点，能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．
将点，点分别代入，求出相应的、，即可比较大小．
【解答】
解：点，点在抛物线上，
当时，，
当时，，
，
，
故选A．
12.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征有关知识，求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【解答】
解：平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
B.平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
C.平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意；
D.平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为把A点坐标代入可得到a、c的关系式为，利用条件可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再根据是整数，将c用代入，得出，由a的取值范围即可得出a的值．
【解答】
解：经过的抛物线，
，
，
抛物线不经过第四象限，
，
抛物线与x轴的交点在原点的左边或原点上，
设两交点为，，
，，
，
解得，，
所以a的取值范围为：；
是整数，
，
，
则是整数，
又，
当，是整数，
所以当，是整数．
故答案为
14.【答案】2
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的概念，二次函数的性质的有关知识，根据二次函数的概念以及二次函数的性质得到且进行求解即可．
【解答】
解：是二次函数，且当时，y随x増大而增大，
且，
解得．
故答案为2．
15.【答案】．
【解析】【试题解析】
解：，
其图象关于y轴对称，
其顶点坐标为．
故答案为：．
根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y轴对称，可得出其顶点坐标．
本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的图象关于y轴对称是解题的关键．
16.【答案】25
【解析】解：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
对称轴，解得，
，那么当时，函数y的值为25．
故答案为25．
因为当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把，可求出y的值．
本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键．
17.【答案】
【解析】解：二次函数数的对称轴是，开口向上，
点距离对称轴较近，距离对称轴较远，
．
故答案为：．
先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B距离对称轴的远近即可判断出与的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
18.【答案】解：把代入，
得
反比例函数解析式为；
将，代入，
得：
解得：
一次函数的解析式为，
联立解析式得
解得
，
由图像可得不等式组，即的解集为；
如图所示，则，
则，在PQ边上的高为，
，
，且抛物线的开口向下，
当时，S取得最大值，最大值为．
【解析】【试题解析】
本题是一次函数和反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质的运用等知识点．
利用待定系数法得出反比例函数解析式和一次函数解析式；
利用所求反比例函数解析式和一次函数解析式，求出交点B的坐标，结合函数图象可得答案；
设，知，在PQ边上的高为，根据三角形的面积公式得出S关于n的函数解析式，利用二次函数的性质求解可得．
19.【答案】解：点在抛物线
，
．
由，得顶点A为
顶点A在直线上，
当时，
，
；
是直角三角形；
由可知，，
，
，，，
，
，即是直角三角形．
【解析】首先求得抛物线的解析式，然后确定其顶点坐标，根据在直线上，代入求得a的值即可；
首先求得点B的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
本题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理逆定理等基础知识，综合性较强．
20.【答案】解：将点，代入，
得
解得，，
；
对称轴；
如图1：过点D作轴于G，作轴于H，
设点，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
；
如图2：过点E作轴于点Q，过点F作直线轴于R，
，，，
，
，
，
，
当时，面积有最大值，
此时；
存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设，，
四边形CMNB是平行四边形时，，，
，
，
；
四边形CNBM是平行四边形时，，，
，
，
；
四边形CNMB是平行四边形时，，，
，
，
；
综上所述：或或
【解析】【试题解析】
略
21.【答案】解：抛物线经过原点，
，
解得，；
，
该抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点直线直线上；
设直线AB的解析式为，
把点，代入得，解得，
直线AB的解析式为，
令，整理得，
，
解得，
此时对称轴为，故舍去；
把代入得，
，
解得或；
把代入得，
，
解得，
由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，或．
【解析】把代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可；
化成顶点式，求得顶点坐标，即可得到结论；
求得抛物线就A、B时的m的值，根据图象即可求得．
本题考查了二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与一元二次方程的关系，数形结合思想是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章5.5确定二次函数的表达式练习题
一、选择题
抛物线的顶点是
A.
B.
C.
D.
已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
若抛物线的顶点为点且抛物线经过点，那么抛物线解析式是
A.
B.
C.
D.
抛物线的顶点坐标是
A.
B.
C.
D.
将二次函数化为的形式为???
A.
B.
C.
D.
将二次函数的右边进行配方，正确的结果是
A.
B.
C.
D.
用配方法将化成的形式，则的值为
A.
5
B.
7
C.
D.
把二次函数yxx用配方法化成yaxhk的形式时，应为
A.
yx
B.
yx
C.
yx
D.
yx
将二次函数化为的形式为
A.
B.
C.
D.
已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A.
B.
C.
D.
将二次函数化成顶点式，变形正确的是???
A.
B.
C.
D.
如图，坐标平面上，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且若与的面积比为1：4，则k值为??
?????
A.
1
B.
?
C.
D.
二、填空题
抛物线经过，两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．
如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是______．
将二次函数化成的形式为???????????。
抛物线的顶点坐标是______________．
已知二次函数的图象经过原点，则________．
三、解答题
如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且．
求点C的坐标和此抛物线的解析式；
若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值；
点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
如图，抛物线经过，，三点。
求出抛物线的解析式；
在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使的面积最大，求点D的坐标；
是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以?P、M为顶点的三角形与相似若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，抛物线与x轴交于点和B两点，点在抛物线上．
直接写出B点坐标：___________，抛物线解析式为_________________一般式；
如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标；
如图2，直线与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若?求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的顶点式，顶点坐标是，对称轴是已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】
解：
解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
故选：B．
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．
设抛物线的解析式为，把点代入得出，求出a即可．
【解答】
解：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
经过点，
代入得：，
解得：，
即．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的顶点式，根据抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】
解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
一般式：a、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解得】
解：，即，
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：．
故选：A．
加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
本题考查了二次函数的三种形式，一般式：，顶点式：；两根式：
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的一般式与顶点式方程．二次函数的解析式有三种形式：一般式：a、b、c为常数；顶点式：；交点式与x轴：解答此题方程式可化成，即，据此计算．
【解答】
解：，
，
，
，，，
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：．
故选：C．
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
一般式：a、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
9.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
一般式：a、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解得】
解：，即，
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
【解答】
解：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
故选：B．
11.【答案】D
【解析】解：
，
故选：D．
利用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．?
【解答】
解：，
顶点，，
，
的面积，的面积，与的面积比为1：4，
，
解得：．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴是直线，
即顶点坐标为，
设，
把代入得：，
解得：，
即，
故答案为：．
先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，
点的坐标为：，B点的坐标为：，C点的坐标为：，
将A，B，C代入，
，
解得：，
二次函数解析式为：．
故答案为：．
根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】
解：
故本题答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线解析式的变形及性质．顶点式，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；顶点坐标为，对称轴为用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标．
【解答】
解：抛物线，
抛物线的顶点坐标是：，
故答案为．
17.【答案】7
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象点的坐标特征，二次函数的三种形式有关知识．
先把该二次函数展开成一般式，将、代入然后再进行解答．
【解答】
解：二次函数为
函数图象经过原点，
，
解得：．
故答案为7．
18.【答案】解：抛物线与x轴交于点和点，
，
，
，
，
解得：
所求抛物线解析式为：，；
如图2，连接BC，过点E作轴于点F，设，
，，，．
，
当时，最大，且最大值为；
抛物线的对称轴为，点P在抛物线的对称轴上，
设，
线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，
当时，
，，
如图3，过作对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
，
，在与中，
≌，
，，
，
代入得：，
解得：，舍去．
当时，要使，由图可知点与B点重合，
，
，
．
满足条件的点P的坐标为或．
【解析】本题主要考察了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积。数形结合思想，分类讨论及方程思想．
已知A，B坐标带入抛物线解析式，用待定系数法求出二次函数解析式；
?
如图2，连接BC，过E作轴与F，根据四边形，构建二次函数，利用其性质解即可；
由P在对称轴上，设出，如图，过作对称轴与你，由旋转的性质利用AAS得到
≌，由全等三角形对应边相等得到坐标，，带入抛物线解析式求出m的值，即可确定P的坐标．
19.【答案】解：该抛物线过点，，
将A与B代入解析式得：，
解得：
则此抛物线的解析式为；
如图，
当点D在抛物线上，且使的面积最大，
必有平行于直线AC的直线DE，且和抛物线只有一个交点；
，，
直线AC解析式为，
设直线DE解析式为------，
抛物线的解析式为-------；
联立化简得，，
，
，
，
，
存在，符合条件的点P为或或．
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，
当时，，，
又，
当时，∽，即，
解得：或舍去，
此时；
当时，∽，即，
解得：或均不合题意，舍去
当时，；
类似地可求出当时，；
当时，，
综上所述，符合条件的点P为或或．
【解析】【试题解析】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
把A与B坐标代入解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；
先判断出点D在平行于AC并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点D的坐标；
存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似，分类讨论：当时；当时；当时，分别求出P坐标即可．
20.【答案】解：?
；；
延长DC交x轴于点M，
，
，
，
过点C作于点Q，则，
点M坐标为，
直线DM的解析式为：，
由
得或舍，
点D坐标为，
?设直线CE解析式为：，则点，
?由得，
?
?
-------，
同理设直线CF的解析式为：，则点即-----，
由得
---------，
--------，
将代入得
又，
，
，
当时，?，
直线EF经过定点且定点坐标为?．
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数与一次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图象上点坐标的特征、待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式等知识，属于中考压轴题．
先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线与x轴交于点和B两点，可得B点坐标；再把，代入到中求解即可得到抛物线的解析式；
延长DC交x轴于点M，可得，过点C作于点Q，然后求出直线DM的解析式，接着联立直线DM的解析式和抛物线的解析式即可得出点D的坐标；
设直线CE解析式为：，然后联立直线CE解析式和抛物线的解析式可得，同理设直线CF的解析式为：，则，然后联立直线CF解析式和抛物线的解析式可得和，将代入并结合进行计算即可得出答案．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴交于点和B两点，
，
把，代入到得：
解得
抛物线解析式为．
故答案为；；
见答案．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章5.6二次函数的图像与一元二次方程练习题
一、选择题
若抛物线经过第四象限的点，则关于x的方程的根的情况是
A.
有两个大于1的不相等实数根
B.
有两个小于1的不相等实数根
C.
有一个大于1另一个小于1的实数根
D.
没有实数根
如图，是二次函数的图像的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：；；；；若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是???
A.
B.
C.
D.
已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是
A.
或
B.
或
C.
D.
二次函数的对称轴为若关于x的一元二次方程在的范围内有实数解，则n的取值范围是
A.
B.
C.
D.
将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则
A.
1
B.
C.
D.
如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点为；直线AB的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与x轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是
A.
B.
C.
D.
如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
；
；
当是等腰三角形时，a的值有2个；
当是直角三角形时，．
其中正确的有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A.
开口向下
B.
对称轴是直线
C.
顶点坐标是
D.
与x轴有两个交点
二次函数与x轴的一个交点为，则代数式的值为
A.
2018
B.
2019
C.
2020
D.
2021
已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的有
；方程的两个根是，；
；?当时，y随x的增大而减小．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
已知抛物线与直线，且，则x的取值范围________．
如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为____．
在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移是正整数个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为______．
如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则，x的范围是______．
三、解答题
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图所示，点分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为2．
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式
求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式
已知二次函数．
当时，请说明这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；
如图，若，求点C的坐标．
已知点为函数b为常数，且与图象的交点．
求t；
若函数的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
若，设当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的最小值．
如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为，C为抛物线与y轴的交点．
求抛物线的解析式；
若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点与点两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
直接写出B点的坐标；
求该二次函数的解析式；
若点是该二次函数图象上的一个动点其中，，连结PB，PD，BD，请问是否存在点P，使得的面积恰好等于的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
根据题意画出函数的图象，根据抛物线与x的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线经过第四象限的点，
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式从图像中获取有用的相关信息是解题的关键．
根据二次函数的性质和图象特征信息可解题．
【解答】
二次函数的图象开口向上，．
二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，．
二次函数图象的对称轴是直线，，
，，故正确；
，，故正确；
二次函数图象的对称轴为直线，且二次函数图象过点，
二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标是，
把代入，得，故错误；
关于直线的对称点为，
令，，
，
，
，故正确；
二次函数图象的对称轴为直线，
点关于对称轴对称的点的坐标是
根据当时，y随x的增大而增大及，得，故正确；
故选C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，此类题目确定与x轴另外一个交点是关键．
从函数的对称轴为，和函数与x轴一个交点是，可以求出函数与x轴另外一个交点，即可求解．
【解答】解：从抛物线图象看，函数的对称轴为，与x轴一个交点是，则另外一个交点为，
从图象看，当是，，
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：抛物线的对称轴，
，
则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标，
方程在的范围内有实数解，
当时，，
当时，，
又，
当时，在的范围内有解．
的取值范围是，
故选：C．
根据对称轴求出m的值，从而得到、6时的函数值，再根据一元二次方程在的范围内有解相当于与在x的范围内有交点解答．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程在的范围内有实数解，转化为函数与直线在的范围内有交点的问题进行解答．
5.【答案】D
【解析】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为，
当时，，
设方程的两个根为，，
则，，
平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
，
，
，
，
解得，，
故选：D．
根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与变化、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．
利用函数图象的性质即可求解．
【解答】
解：因为抛物线对称轴是直线，则，，故正确，符合题意；
抛物线开口向下，故，
对称轴在y轴右侧，故，
抛物线与y轴交于正半轴，故，
，
故错误，不符合题意；
从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
因为抛物线对称轴是：，，
所以抛物线与x轴的另一个交点是，
故错误，不符合题意；
由图象得：当时，有，故正确，符合题意；
故正确的有：；
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：二次函数的图象与x轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，故正确，
当时，，
，
，
，故错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，a的值有2个，故正确；
二次函数，
顶点，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，故错误．
故选：B．
由图象可得对称轴为直线，可得，可判断；将点A坐标代入解析式可得，可判断；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断；由直角三角形的性质和两点距离可求或，可判断，即可求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用的实数解的个数对D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：把代入得，
所以，
所以．
故选：C．
把代入得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
10.【答案】B
【解析】解：抛物线开口向下，，
对称轴在y轴右侧，，，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，，
，故错误；
抛物线与x轴的一个交点为，又对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
方程的两根是，，故正确；
对称轴为直线，，即，故正确；
由函数图象可得：当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小，故错误；
故选：B．
由函数图象可得抛物线开口向下，得到，又对称轴在y轴右侧，可得，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到，进而得到，结论错误；由抛物线与x轴的交点为及对称轴为，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为，进而得到方程的两根分别为和3，结论正确；由抛物线的对称轴为，利用对称轴公式得到，结论正确；由抛物线的对称轴为直线，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论错误．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数，a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
11.【答案】或
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，求出抛物线与直线的交点，根据图象找出抛物线位于一次函数图象的上方部分的x取值范围即可．
【解答】
解：抛物线与直线的图象如图所示：
根据函数图象可得：抛物线位于一次函数图象的上方部分的x取值范围为或．
故答案为或．
12.【答案】，．
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
关于x的方程的解为抛物线与直线交点的横坐标．
【解答】
解：抛物线与直线相交于点，，
关于x的方程的解为，．
故答案为，．
13.【答案】4
【解析】解：点和是抛物线上的两点，
，
解得，，
抛物线解析式为，
将抛物线的图象向上平移是正整数个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
的最小值是4，
故答案为：4．
根据点和是抛物线上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14.【答案】
【解析】解：抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，．
故答案为：．
由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴，可求出另一交点坐标，再观察函数图象可得出当时x的范围．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的对称性找出另一交点的坐标是解题的关键．
15.【答案】
解：根据题意可得：，；
则设抛物线的解析式为，
又点在抛物线上，
，解之得：
自变量范围：
设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM，
在中，
，，
，
在中，
，，
点C、E的坐标分别为，，
所以设直线CE的解析式为，
解得：
切线CE的解析式为?；
设过点，“蛋圆”切线的解析式为：，
由题意可知方程组只有一组解
即有两个相等实根，
，
过点D“蛋圆”切线的解析式．
【解析】【试题解析】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、二元二次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用转化的思想思考问题，把相切问题转化为方程组只有一组解的问题，属于中考常考题型．
易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．
先设出切线与x轴交于点利用直角三角形的性质求得EM的长，进而求得点E坐标，把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．
设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让根的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．
16.【答案】解：，
，
当时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
令，
解得，，
二次函数与x轴交于AB两点在B左侧，与y轴正半轴交于点C，
，，，
，
，
解得，
二次函数解析式为，
当时，，
点C的坐标为．
【解析】【试题解析】
本题主要考查了二次函数的综合问题，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．
当时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
根据抛物线，因式分解求出，，根据，可得，可得二次函数解析式为，令可得点C的坐标．
17.【答案】解：把代入得；
的图象与x轴只有一个交点，
，
或；
把代入得，，
，
对称轴为直线，
，
，
，
当时，的最大值为，
当时，，
，
，
当时，的值最小，
即的最小值．
【解析】把代入即可得到结论；
根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
把代入得，，得到的对称轴为直线，根据，得到对称轴的取值范围，当时，得到，当时，得到，即可得到结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
18.【答案】解：抛物线的对称轴为，A点的坐标为，点B的坐标为．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．
将代入，得，
点C的坐标为．
．
点B的坐标为，
．
设点P的坐标为，则点P到OC的距离为．
，
，即，解得．
当时，点P的坐标为；
当时，点P的坐标为．
点P的坐标为或．
【解析】由点A与点B关于直线对称可求得点B的坐标．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
设点P的坐标为，则点P到OC的距离为然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型．
19.【答案】解：把和代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，则，
由知，抛物线的解析式为；
存在．
，
抛物线的对称轴为直线，
．
由知，．
连接OP，如图，设，
，，
而的面积恰好等于的面积，
，
整理得，解得，舍去，
，
点坐标为
【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质．
利用待定系数法求抛物线的解析式，再确定；
利用可以得到答案；
连接OP，如图，设，利用得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学青岛版九年级下册第五章5.7二次函数的应用练习题
一、选择题
下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是
A.
长10米的铁丝折成长为y，宽为x的长方形
B.
压力一定时，压强y与受力面积x的关系
C.
人的体重y与身高x的关系
D.
斜边长为5的直角三角形的直角边y与x
如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是
A.
当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为3m
B.
小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C.
小球落地点距O点水平距离为7米
D.
斜坡的坡度为1：2
如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为、，且，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．若水面上升1m，水面宽为
A.
B.
C.
D.
如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A.
6
s
B.
4
s
C.
3
s
D.
2
s
为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为单位：，温度为单位：当时，y与t的函数关系是，则时该地区的最高温度是
A.
B.
C.
D.
向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系式为，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是????????????????????????????????????????
???
A.
第8秒
B.
第10秒
C.
第12秒
D.
第15秒
如图，是某复印店复印收费元与复印面数面的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费
A.
元
B.
元
C.
约元
D.
元
如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2
m时，水面宽4
m，水面下降，水面宽度增加
A.
1?m
B.
2
m
C.
3
m
D.
6
m
若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为
A.
3
s
B.
4
s
C.
5
s
D.
6
s
汽车在高速公路刹车后滑行的距离米与行驶的时间秒的函数关系式是，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是???
A.
6米
B.
12米
C.
96米
D.
108米
二、填空题
如图，在中，，，，点D是BC边上异于点B，C的一动点，将沿AB翻折得到，将沿AC翻折得到，连接，则四边形的面积最大值为________．
如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙墙的长度超过10米，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______．
汽车在急刹车时刹车距离与时间的函数解析式为，当遇到紧急情况时，司机急刹车，汽车要滑行________m才能停下来．
把一根长30cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是______．
航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为单位：英尺，对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为____秒．
三、解答题
某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少？
若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
某商场试销一种成本为60元件的T恤，规定试销期间的单价不低于成本单价，且获利不高于，经试销发现，销售量件与售价元件符合一次函数，且当时，，当时，．
求一次函数的解析式；
若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售价x之间的函数解析式，并求出销售单价定为多少元件时，商场获得最大利润，最大利润是多少？
“武汉加油中国加油”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂有10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后其中x为整数，每条生产线每天可生产口罩y个．
直接写出y与x之间的函数关系式；
若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元件．
如图，设第个生产周期设备售价z万元件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式写出x的范围．
设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式在的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？利润收入成本
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
若设该种品脚玩具上x元元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【试题解析】
略
2.【答案】A
【解析】解：当时，，
整理得，
解得，，，
当小球抛出高度达到时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，A错误，符合题意；
，
则抛物线的对称轴为，
当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
坡度可以根据一次函数图象上点的坐标来判定，
斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意．
故选：A．
求出当时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的应用、一次函数的应用，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：过点P作于H，如图．
设，
在中，
，
．
在中，
，
，
，
，
，，
点P的坐标为；
若水面上升1m后到达BC位置，如图，
过点，的抛物线的解析式可设为，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
当时，，
解得，，
．
故选：A．
若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出时x的值，就可解决问题．
本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数、或或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，比较简单．
由小球高度h与运动时间t的关系式，令，解得的两值之差便是所要求得的结果．
【解答】
解：由小球高度h与运动时间t的关系式．
令，
解得：，
，
小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：，
当时有最大值，
时该地区的最高温度是，
故选：D．
首先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可．
本题考查了二次函数的应用的知识，解题的关键是正确的确定二次函数的最值，难度中等．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的应用，二次函数的性质有关知识，由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，可得时，炮弹所在高度最高，进而可解．
【解答】
解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，
则时，炮弹所在高度最高，又10与最近，
故选B．
7.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．设AB的解析式为，由待定系数法求出其解析式就可以得出结论．
【解答】
解：设AB的解析式为，把，；，代入，得
，
解得，
的解析式为．
超过100面的部分，每面收费为元．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2m，抛物线顶点C坐标为，
通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标，得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度为6m，比原先的宽度增加了2m．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用，关键是理解掌握当时，小球落地，根据关系式，令即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令得
，
，
解得舍去，，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是运用二次函数的最值解决问题．求出滑行的最大时间，进而求解．
【解答】
解：，
时，汽车静止，此时滑行了108米，
当时，，
故汽车静止前2秒内滑行的距离是米，
故选B．
11.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，梯形的面积公式，二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质求最值问题是本题的关键．
由折叠的性质可得：，，，，由直角三角形的性质可求，D
，由面积公式可得四边形的面积，由二次函数的性质可求解．
【解答】
解：如图所示：过点作，垂足为E．
设，则．
由翻折的性质可知：，，，，
在中，，
，，
四边形的面积，
当时，四边形的面积有最大值，最大值为，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：设平行于墙的一边为米，则垂直于墙的一边为x米，
根据题意得：，
故答案为：
根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．
此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．
13.【答案】20
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，难度中等．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解答】
解：依题意：该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了20m．
故汽车要滑行20米才能停下来．
故答案为20．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的应用有关知识，设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个等边三角形的边长为，设两个三角形的面积和为y，根据等边三角形的性质结合三角形的面积公式即可得出y关于x的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】
解：设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个
等边三角形的边长为，
设两个三角形的面积和为y，
根据题意得：
，
当时，y取最小值，值为．
故答案为．
15.【答案】30
【解析】解：依题意，得：，
解得：，，
整个过程中能体会到失重感觉的时间为秒．
故答案为：30．
代入可求出t值，两个t值做差后即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，代入求出两个t值是解题的关键．
16.【答案】解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
由题意得：，
，故当时，w随x的增大而增大，而，
当时，w有最大值，此时，，
故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；
由题意得：，
解得：，
又，
则y的最小值为，
每天的销售量最少应为20件．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
将点、代入一次函数表达式，即可求解；
由题意得，即可求解；
由题意得，解不等式即可得到结论．
17.【答案】解：单价不低于成本单价，又获利不得高于，
的取值范围是，
由题意得：
．
一次函数的解析式为：；
，
抛物线开口向下，
当时，w随x的增大而增大，
而，
当时，．
答：当销售价定为84元件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
【解析】【试题解析】
本题考查的是一次函数的应用要运用了一次函数及二次函数的性质在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．
可用待定系数法来确定一次函数的解析式；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
18.【答案】解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：；
与x之间的函数关系式为，且x为整数；
由题意得：
?，
整理得：，
解得：，，
尽可能投入少，
舍去．
答：应该增加5条生产线．
，
，开口向下，
当时，w最大，
又为整数，
当或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【解析】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；
先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
19.【答案】解：由图可知，当时，，
当时，z是关于x的一次函数，设，
则
解得：
，
关于x的函数解析式为．
设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
当时，，
由一次函数的性质可知，当时，万元；
当时，
，
当时，万元．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【解析】分别得出当时和当时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，当时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；当时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取中较大的最大值即可．
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意得：；
，
，
对称轴为，
当时，元
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．
【解析】利用销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量总利润进而求出即可；
利用每件玩具的利润乘以销量总利润得出函数关系式，进而求出最值即可．
此题主要考查了二次函数的应用，得出w与x的函数关系式是解题关键．
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