上海市致远高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含答案

致远高中2020学年第一学期12月高二数学教学评估
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题满分54分）第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分．
1．椭圆false的焦距为________．
2．参数方程为false（false为参数）的曲线的焦点坐标为________．
3．抛物线false的焦点到准线的距离是________．
4．若双曲线false的一个焦点是false，则实数false_______．
5．方程false表示焦点在false轴上的双曲线，则false取值范围是________．
6．双曲线的方程为false，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为________．
7．点false，点false在曲线false上，则false的最小值为_________．
8．双曲线过false，且渐近线夹角为false，则双曲线的标准方程为________．
9．若顶点在原点的抛物线经过三个点false，false，false中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有________．
10．过false的焦点false，且斜率为false的直线交抛物线false于点false（false在false轴的上方），false为抛物线false的准线，点false在false上且false，则false到直线false的距离为________．
11．过抛物线false的焦点作两条互相垂直的弦false，false，四边形false面积的最小值为________．
12．已知椭圆false的中心在原点，焦点在false轴上，长轴长为4，且点false在椭圆false上．设false是椭圆false长轴上的一个动点，过false作方向向量false的直线false交椭圆false于false、false两点，则false为________．
二、选择题：（本大题满分20分，共有4小题，每小题5分）
13．已知曲线false和false的焦点分别为false、false，点false是false和false的一个交点，则false的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D.不能确定
14．设抛物线的顶点为false，焦点为false，准线为false，false是抛物线上异于false的一点，过false作false于false，则线段false的垂直平分线（ ）
A．经过点false B．平行于直线false C．垂直于直线false D．经过点false
15．在直角坐标平面内，false，false是两个定点，false是动点，若false，建立适当坐标系可得到点false的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
16．已知曲线false．下列结论错误的为（ ）
A．若false，则false是圆，其半径为false
B．若false，则false是椭圆，其焦点在false轴上
C．若false，则false是双曲线，其渐近线方程为false
D．若false，false，则false是两条直线
三、解答题（本大题满分76分）
17、（本题满分12分，第1小题满分8分，第2小题满分4分）
动点false到定点false与定直线false的距高之和为4．
（1）求点false的轨迹方程，（2）在坐标系中画出false的轨迹的大致图像（不用列表）；
18、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知椭圆false的左、右焦点分别为false，false，点false在椭圆false上且在第一象限内，false，直线false与椭圆false相交于另一点false．
（1）在false轴上任取一点false，直线false与false．相交于点false，求false的最小值；
（2）动点false在椭圆false上，“false到直线false距离”等于“false到直线false距离”的3倍，求点false的坐标．
19、（本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形false，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点false，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点false，false，抛物线与梯形下底的两个焊接点为false，false．已知梯形的高是40厘米，false、false两点间的距离为40厘米．
（1）以false为原点，梯形的上底所在直线为false轴，建立直角坐标系，求横梁false的长度；
（2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知双曲线false，经过点false的直线false与该双曲线交于false、false两点．
（1）若false与false轴垂直，且false，求false的值；
（2）若false，且false、false的横坐标之和为false，证明：false；
（3）设直线false与false轴交于点false，false，false，求证：false为定值．
21、（本题满分18分，每一个结论的讨论满分6分）
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线false就是其中之一（如图）．小明同学研究后得到3个结论：
结论①：曲线false恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．小明的研究思路：把方程整理成关于false的方程false，由于false有解，故判别式大于等于0，求出false的范围从而算出6个整数点．结论②：曲线false所围成的“心形”区域的面积小于3．小明的研究思路：计算以上定点围成的面积进行观察．
结论③：曲线false上任意一点到原点的距高都不超过false．
请你沿着小明的思路讨论结论①②是否正确，然后自己尝试研究结论③的正确性．
答案
1．false，false，∴false，∴false，∴焦距false
2．false由②得false仅入①得false，∴false，∴false．
3．false，∴false，即焦点到准线的距离是4．
4．false，false，∴false，∴false．
5．false，∴false，∴false．
6．false，false，∴false，∴false，∴false渐近线一条为false，即false，由距离公式false．
7．设false，false，false，∴当false时，false，false
8．
false，∴渐近线为false，当false时，false，∴点false在渐近线false上方，∴焦点在false轴上．
设false，渐近线为false，∴false，∴false，即false．
∴false，∴双曲线方程为false．
false，∴渐近线为false，当false时，false，点false在渐近线上（舍去）．
9．
令false，false，false，false若抛物线开口向上，设false，由图可能过false、false两点．∴false，∴false．
false若抛物线开口向右，则false，由图可能过false、false两点，false，∴false．
10．
false，∴false直线方程为false，false，∴false，false，∴false．
∴直线false的点法向式方程为false，即false，∴false到false的距离为false．
11．false设false方程为false，false，∴false，false，同理false．
∴false
false，
当且仅当false时等号成立．
12．特殊位置处计算得：false，
13___16 C D B A
17．解：（1）设false，由题意得false 4分
①：当false时，有false，化简得：false．
②：当false时，有false，化简得：false（二次函数）．综上所述：点false的轨迹方程为false如图 4分
18．【解析】（1）设false，false，则false，false，false，在false时取等号，所以false的最小值为false．
（2）因为椭圆false的左、右焦点分别为false、false，点false在椭圆false上且在第一象限内，false，则false，false，false．所以直线false．
设false，因为false，所以点false到直线false距离等于false到直线false距离的3倍．由此得false，
则false或false.
由false，得false，此方程无解；
由false得false，所以false或false．
代入直线false，对应分别得false或false．
因此点false的坐标为false或false．
19．【答案】解：（1）设梯形下底与false轴交于点false，抛物线的方程为：false，由题意false，得false，false． 4分
取false，即false，false，false．答：横梁false的长度约为false． 8分
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点，设false． 7分
false，
则false，即false． 10分
得false，false，false，false．
梯形周长为false． 14分
20．（1）由题意可知两交点false，false中在第一限象的点的坐标为false，代入方程false，得false，
即false，∴false．（4分）（2）此时双曲线false，直线false，斜率不存在时，false，不符合题意：（5分）直线false斜率存在时，false得false，设false，false，∴false得false即false，（7分）
∵false，false，∴false即false．（10分）
（3）显然直线false斜率存在，设直线false，点false、点false，
当false时，false，则false，false．（12分）
∵false，
∴false，false．（13分）
又∵点false在双曲线false上，
∴false，
化简得false，同理可得false．（14分）
故false、false是方程false的两根，则false为定值．（16分）
21．【解析】false得false，所以false可为的整数有0，false，1，从而曲线false恰好经过false，false，false，false，false，false六个整点，结论①正确．如图所示，易知false，false，false，false，四边形false的面积false，很明显“心形”区域的面积大于false，即“心形”区域的面积大于3，说法②错误．由false得false，解得false，所以曲线false上任意一点到原点的距离都不超过false．结论③正确．