人教版数学八年级上册第十四章整式的乘除与因式分解 课件 14．3　因式分解 第2课时　用平方差公式分解因式）共25张ppt

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第十四章　整式的乘法与因式分解
14．3　因式分解
第2课时　用平方差公式分解因式
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
精彩回放
1．平方差公式：a2－b2＝___________________．即两个数的平方差，等于_________________________________________．
2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都_________________为止．
(a＋b)(a－b)
这两个数的和与这两个数的差的积
不能再分解
基础检测
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2
-
b2
=
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式=[(x+p)+(x+q)
]
[(x+p)-(x+q)
]
a
b
例题精讲
方法总结：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
利用平方差公式分解因式
1．(3分)(2017·金华)分解因式：x2－4＝___________________．
2．(3分)(长沙中考)分解因式：x2y－4y＝_______________________．
(x＋2)(x－2)
y(x－2)(x＋2)
同步练习
3
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝(a
＋
b
＋
2a)(a＋b
－
2a)
＝(3a＋b)
(b－a)；
(2)原式＝
(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)
4．(12分)分解因式：
(1)x3y2－4x；
解：原式＝x(xy＋2)(xy－2)
(2)36－x2；
解：原式＝(6＋x)(6－x)
(3)－1＋25x2；
解：原式＝(5x＋1)(5x－1)
(4)4(x＋2y)2－9(x－y)2.
解：原式＝(5x＋y)(－x＋7y)
5
分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
6
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4；
(2)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
1．(4分)(洛阳期末)下列各式中不能用平方差公式分解因式的是(
)
A．－x2＋y2
B．－1－m2
C．a2－9b2
D．4m2－1
2．(4分)分解因式x3－xy2，正确的结果是(
)
A．(x＋xy)(x－xy)
B．x(x2－y2)
C．x(x－y)2
D．x(x＋y)(x－y)
D
B
6
选择题
3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2
B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
D
4.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
6.
若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
A
5．(4分)下列因式分解中正确的是(
)
A．－4x2－1＝(4x＋1)(4x－1)
B．－m2＋9＝(m＋3)(m－3)
C．x4－16＝(x2－4)(x2＋4)
D．4－(2m－n)2＝(2＋2m－n)(2－2m＋n)
D
7
已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：
在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
8
计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：
较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
9．(6分)利用因式分解计算：
(1)50.12－49.92；
解：原式＝(50.1＋49.9)×(50.1－49.9)＝20
(2)3.14×562－3.14×442.
解：原式＝3.14×(562－442)＝3.14×(56＋44)(56－44)＝3
768
10
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：
解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
11.
(1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为
992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3)
×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
12、选择题(每小题4分，共12分)
1．(三门峡月考)若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于(
)
A．11
B．22
C．11或22
D．11的倍数
2．已知a，b，c是△ABC的三边，则(a－c)2－b2的值为(
)
A．正数
B．负数
C．非正数
D．非负数
A
B
13.
把下列各式分解因式：
(1)
16a2-9b2=_________________;
(2)
(a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3)
9xy3-36x3y=_________________;
(4)
-a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.
4
13．观察下列等式：42－12＝3×5；52－22＝3×7；62－32＝3×9；72－42＝3×11……则第n个(n是正整数)等式为______________________________．
6
(n＋3)2－n2＝3(2n＋3)
15.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
三、解答题(共40分)
16．(16分)将下列各多项式分解因式：
(1)(x＋2y)2－y2；
解：原式＝(x＋3y)(x＋y)
(2)x2(a－1)＋y2(1－a)；
解：原式＝(a－1)(x＋y)(x－y)
(3)－(x＋1)2＋9(x－2)2；
解：原式＝(4x－5)(2x－7)
(4)(7x2＋2y2)2－(2x2＋7y2)2.
解：原式＝45(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
【综合运用】
17．(14分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2
020这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
解：(1)这两个数是神秘数．理由：∵28＝82－62，2020＝5062－5042，∴28，2
020是“神秘数”
(2)是4的倍数．理由：∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，∵k为非负整数，∴4(2k＋1)是4的倍数
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