人教版九年级下册 单元卷（八） 锐角三角函数 习题课件（37张PPT）

单元卷(八)　锐角三角函数
测试范围：第二十八章
选择题
填空题
附加题
解答题
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．若2sinA＝ ，则锐角∠A的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．75°
B
选择题
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下一栏目
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝ ，则AC等于( ) A．18 B．2 C. D.
B
选择题
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下一栏目
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边
AC的长，则下列按键顺序正确的是( )
D
选择题
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下一栏目
4．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值( ) A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
A
选择题
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下一栏目
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得AB的长为3米，楼梯斜坡BC的坡度比是
1∶2，则该楼梯的斜坡BC的长为( ) A．3米 B．6米 C．3米 D．3米
D
选择题
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下一栏目
6．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的形
状是( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
C
选择题
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下一栏目
7．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝ ，则tanα＝( ) A. B. C. D.
C
选择题
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下一栏目
8．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图，其中AD⊥DB，原传送带AB
与地面DB的夹角为30°，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送
带与地面的夹角，使其由30°改为45°，原传送带AB长为8 m，则新传送
带AC的长度为( ) A．4 m B．4 m C．6 m D．无法计算
B
选择题
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下一栏目
9．如图，在△ABC中，sinB＝ ，cosC＝ ，AC＝5，则△ABC的面积为( ) A．13 B．14 C．21 D．10.5
D
选择题
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下一栏目
10．小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为
1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，
此时看灯顶端O的仰角为60°( ≈1.732)，则灯顶端O到地面的距离约
为( ) A．3.2米 B．4.1米 C．4.7米 D．5.4米
B
选择题
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二、填空题(每小题3分，共24分) 11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝ ，那么AC＝ .
9
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填空题
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12．已知sin(α－15°)＝ ，则α＝ .
45°
上一栏目
填空题
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下一栏目
13．如图，在正方形网格中，cos∠CAB＝ .
上一栏目
填空题
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14．某水库堤坝的横断面如图所示，经测量知tanA＝ ，堤坝高BC＝50 m，
则AB＝ m.
100
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填空题
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15．如图，一艘船以40 n mile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯
塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5 h，到达B处，测得灯塔P在船
的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为 n mile.(结果保留根号)
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填空题
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16．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝1，CD＝8，AC⊥CD，
若sin∠ACB＝ ，则cos∠ADC＝ .
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填空题
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17．如图，AB为 O的直径，D为AB上一点，且AB＝5AD，CD⊥AB，垂足为
D，C在圆上，设∠COD＝α，则sin ＝ .
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填空题
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18．若三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，则称这个三角形为“好
玩三角形”．在△ABC中，AB＝AC，若△ABC是好玩三角形，则tanB＝
.
2或
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填空题
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三、解答题(共66分) 19．(8分)计算： (1) ＋tan60°； (2)sin260°＋cos245°－ tan45°.
解：原式＝ ＋ ＝ .
解：原式＝( )2＋( )2－×1 ＝ － .
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解答题
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20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，
BD＝10 ，AB＝20.求∠A的度数．
解：∵在Rt△BDC中， ∠BDC＝45°，BD＝10， ∴BC＝BD?sin∠BDC＝10 × ＝10. ∵∠C＝90°，AB＝20， ∴sin∠A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A＝30°.
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解答题
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21．(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝ ，
求sinB＋cosB的值．
解：在Rt△ACD中， ∵∠ADC＝90°，∴tanA＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8. 在Rt△BCD中， ∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝ ＝10， ∴sinB＝ ＝ ，cosB＝ ＝ ， ∴sinB＋cosB＝ ＋ ＝ .
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解答题
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22.(10分)某同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC
＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，某款手机长度为17 cm，宽为8 cm，该
同学能否将该手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(提示：sin50°≈0.8，
cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)
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解：该同学能将手机放入卡槽AB内． 理由：如下作AD⊥BC于点D. ∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC?sin50°≈20×0.8＝16 (cm)， CD＝AC?cos50°≈20×0.6＝12 (cm)． ∵BC＝18 cm， ∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 (cm)， ∴AB＝ ＝ ＝ (cm)． ∵17＝ ＜ ， ∴该同学能将该手机放入卡槽AB内．
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23．(10分)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ . (1)求BC的长；
解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵cosC＝ ，∴∠C＝45°. 在Rt△ACE中， ∵CE＝AC?cosC＝1，∴AE＝CE＝1. 在Rt△ABE中， ∵tanB＝ ，即 ＝ ， ∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.
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(2)求sin∠ADC的值．
∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE， ∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝ .
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24．(10分)如图1是全国最大的瓷碗造型建筑，坐落于江西景德镇，整体造型
概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为
了计算该建筑物横断面(瓷碗横断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，
她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为
45°，而后沿着一段坡度为0.44的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，
PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距
离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：
sin40°≈0.64，tan40°≈0.84)
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解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，则四边形PMNH是矩形， ∴PM＝HN，PH＝MN. 由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°. 在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH. 设该瓷碗建筑物的高度DH为x米，则PH＝DH＝MN＝x米．
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在Rt△PQM中，∵tan∠PQM＝ ＝0.44，QM＝20米， ∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8(米)， ∴DN＝DH＋HN＝(x＋8.8)米，QN＝QM＋MN＝(x＋20)米． 在Rt△DQN中，tan∠DQN＝ ，∴ ≈0.84，解得x≈50. 答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．
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25．(12分)一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向
上，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上． (1)求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里；(结果保留根号)
解：过点B作BC⊥AP于点C， ∵∠CAM＝60°，∴∠BAC＝30°， ∴BC＝ AB＝20，AC＝AB?cos30°＝20 . ∵∠PBD＝90°－15°＝75°，∠ABC＝90°－30°＝60°， ∴∠CBP＝180°－75°－60°＝45°， ∴PC＝BC＝20，∴AP＝AC＋PC＝20＋20 . ∵PD⊥AD，∠PAD＝30°，∴PD＝ AP＝10＋10 . 答：灯塔P到轮船航线的距离PD是(10＋10)海里．
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(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快
艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每
小时航行多少海里．(结果保留到个位，参考数据： ≈1.73)
设轮船每小时航行x海里， 在Rt△ADP中，AD＝AP?cos30°＝ ×(20＋20)＝30＋10， ∴BD＝AD－AB＝30＋10－40＝10－10， 由题可列方程 + ＝ ，解得x＝60－20 . 经检验，x＝60－20 是原方程的解，∴x＝60－20≈60－20×1.73＝25.4≈25. 答：轮船每小时航行25海里．
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附加题(20分) 当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A．2sin(α＋30°)＝sinα＋
B．2sin(α＋30°)＝2sinα＋
C．2sin(α＋30°)＝ sinα＋cosα (1)正确的选项是 ；
C
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附加题
(2)如图1，在△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明(1)中
的结论；
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D. ∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，∴∠ACD＝α＋30°， ∴在△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝sin(α＋30°)． ∵在△ABD中， ∠ADB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2sin(α＋30°)．
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附加题
过点C作CE⊥AB于点E， ∴在△CEA中， CE＝sinα，AE＝cosα， ∴在△BEC中， EB＝ CE＝ sinα， ∴AB＝AE＋BE＝cosα＋ sinα， ∴AB＝2sin(α＋30°)＝ sinα＋cosα.
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附加题
(3)两块分别含45°角和30°角的直角三角板ABD和BCD按如图2所示的方式
放置在同一平面内，BD＝8 ，求△ADC的面积．
由上面证明的等式易得sin(α＋30°)＝ . 过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G. ∵△ABD和△BCD是分别含45°角和30°角的直角
三角形，BD＝8 ， ∴∠ADG＝75°，AD＝8，CD＝4 . ∵sin75°＝sin(45°＋30°)＝ ＝ ， ∴在△ADG中， AG＝AD·sin∠ADG＝8×sin75°＝2 ＋2 ， ∴S△ADC＝ CD·AG＝ ×4 ×(2 ＋2 )＝8 ＋8.
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附加题
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