28.2.1解直角三角形 同步测试（含解析）

28.2.1解直角三角形
同步测试
一．选择题
1．在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，则cosC的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AB＝10，则直角边BC的长是（　　）
A．10sin40°
B．10cos40°
C．10tan40°
D．
3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么sinα的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tanB＝，则BC的值为（　　）
A．4
B．
C．
D．7
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是（　　）
A．12
B．18
C．24
D．36
9．已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么等腰三角形的腰长等于（　　）
A．6或3
B．6或12﹣2
C．12﹣2
D．3或12﹣2
10．在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b．且a、b、c满足：a2﹣8b＝﹣23，b2﹣10c＝﹣34，c2﹣6a＝7，则2sinA+sinB＝（　　）
A．1
B．
C．2
D．
二．填空题
11．如图，△ABC中，AC＝BC，AB＝8，点E、F分别在BC、AC边上，BE＝CF，连接EF，若tan（∠A﹣∠CEF）＝，则线段EF的长为　
　．
12．已知，△ABC中，AC＝a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC＝），则AC边上的高线长是　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　
　．
14．如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD＝，BD＝，则CD＝　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝2DE，则cos∠BAD的值为　
　．
三．解答题
16．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
18．在△ABC中，AD是边BC上的高，点D在线段BC上，且有tan∠BAD+tan∠CAD＝，BC＝5，AC＝．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）求cosB×sinC；
（Ⅲ）求△ABC中AB上的中线长．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵sinA＝＝，
∴设BD＝4k，AB＝5k，
∴AD＝＝3k，
∵AB＝AC＝5k，
∴CD＝2k，
∴BC＝＝2k，
∴cosC＝＝＝，
故选：D．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosB＝，
BC＝10cos40°．
故选：B．
3．解：设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
4．解：如图，作AH⊥x轴于H．
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：D．
5．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴tanB＝tan∠DAC＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝4，CD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+＝，
故选：B．
6．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
7．解：在Rt△AED中，∵sinA＝＝，
∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，
∵AD：DB＝3：2，
∴DB＝10k，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝15k，AC＝20k，
∴EC＝AC﹣AE＝8k，
∴tan∠CEB＝＝，
故选：D．
8．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝12cm，
∴AC＝6cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝6cm．
故S△ACF＝×6×6＝18（cm2）．
故选：B．
9．解：设腰长为a，底边长为b
（1）如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得＝，则b＝a
又∵2a+b＝20，
∴a＝6．
（2）如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高BE，
设AB＝AC＝3x，则AE＝2x，EC＝x，
∴BE＝x，BC＝x，
∴6x+x＝20，
∴x＝，
∴AB＝3x＝12﹣2
故选：B．
10．解：∵a2﹣8b＝﹣23，b2﹣10c＝﹣34，c2﹣6a＝7，
∴a2﹣8b+b2﹣10c+c2﹣6a＝﹣50，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴这个三角形的形状是直角三角形，
∴2sinA+sinB＝2，
故选：C．
二．填空题
11．解：过F点作FM∥BC，过点B作BM∥EF，BM，FM相交于点M，连接AM，如图，
∴四边形BMFE是平行四边形，
∴EF＝BM，
∵FM∥BC，
∴∠AFM＝∠C，
∵AC＝BC，BE＝CF，
∴AF＝CE，
在△MAF和△FEC中，，
∴△MAF≌△FEC（SAS），
∴∠MAF＝∠FEC，
∵BM∥EF，
∴∠MBC＝∠FEC＝∠MAF，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠MAB＝∠MBA，
∵，
∴tan∠MAB＝tan∠MBA＝，
过点M作MN⊥AB于点N，则有，
BN＝AB＝×8＝4，
又，
∴MN＝3，
由勾股定理得，BM＝5，
∴EF＝BM＝5
故答案为：5．
12．解：①当∠B是锐角时，如图1中，作AH⊥BC于H，BD⊥AC于D．
在Rt△ACH中，cos∠C＝＝
∴CH＝a，AH＝＝＝a，
∵∠ABH＝45°，∠AHB＝90°，
∴AH＝BH＝a，
∴BC＝a，
∵S△ABC＝?BD?AC＝?BC?AH，
∴BD＝＝a．
②当∠BC是钝角时，如图2中，作AH⊥BC于H，BD⊥AC交AC的延长线于D．
同法可得：CH＝a，AH＝a，
∴BC＝CH﹣BH＝a，
∴BD＝＝a，
综上所述，AC边上的高为a或a．
故答案为a或a．
13．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠B，
∵sinB＝，
∴，
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴，
∵CD：AC＝1：3，
∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC+CE＝18x，
∴tan∠CAD＝，
故答案为
14．解：如图，连接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延长线于E，作CM⊥DA交DA的延长线于M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠DBE＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣2∠ACD＝120°﹣2（60°﹣∠BCD）＝2∠BCD，
又∵∠DBE＝∠BDC+∠BCD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC，
∴BD＝BA＝BC＝AC＝，
∴△ADC的外接圆的圆心是点B，
∴∠ADC＝∠ABC＝30°，
∵BD＝BA，BH⊥AD，
∴∠ABH＝∠DBH，
∵∠ABD＝2∠ACD，
∴∠BDH＝∠ACD，
∴tan∠DBH＝tan∠ACD＝＝，
设DH＝2k，BH＝5k，
∴（2k）2+（5k）2＝37，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴DH＝AH＝2，
设CM＝x，则DM＝x，CD＝2x，
∴AM＝x﹣4，
在Rt△ACM中，∵AC2＝AM2+CM2，
∴37＝（x﹣4）2+x2，
解得x＝（舍弃）或，
∴CM＝，
∴CD＝2x＝11，
故答案为11．
15．解：取AD的中点G，连接BG，如图所示：
则AG＝DG，AD＝2AG，
∵AD＝2DE，
∴DE＝AG，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，
∴∠C＝∠BAG，
∵∠C＝∠E，
∴∠BAG＝∠E，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（SAS），
∴BG＝AD＝2DE＝2DG，
∴BD＝＝＝DG，
∴AB＝＝＝DG，
∴cos∠BAD＝＝＝；
故答案为：．
三．解答题
16．解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴sin75°＝，
解得，sin75°＝；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD＝＝＝AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴sinC＝，
即AD＝AC?sinC＝AC×＝AC，
∴AC＝AD＝sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα＝＝BE，cosα＝＝AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．
17．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE?cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
18．解：（Ⅰ）如图1所示：
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴tan∠BAD+tan∠CAD＝+＝＝，
∵BC＝5，
∴AD＝3；
（Ⅱ）∵AD⊥BC，AD＝3，AC＝．
∴sinC＝＝＝，CD＝＝＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵cosB＝＝，
∴cosB×sinC＝×＝；
（Ⅲ）CE为△ABC中AB上的中线，作CF⊥AB于F，如图2所示：
∵△ABC的面积＝AB×CF＝BC×AD，AB＝BC＝5，
∴CF＝AD＝3，AF＝＝1，
∵CE是△ABC中AB上的中线，
∴AE＝AB＝，
∴EF＝AE﹣AF＝，
∴CE＝＝＝，
即△ABC中AB上的中线长为．