人教版数学八年级上册 第12章 12.3角平分线的性质同步测试题（一）（Word版 含解析）

角平分线的性质同步测试题（一）
一．选择题
1．下列作图语句正确的是（　　）
A．以点O为顶点作∠AOB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以A为圆心作弧
2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
6．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP＝4，则PQ的最小值为（　　）
A． B．4 C．2 D．
7．如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM＝3，N是OB上一个动点，线段PN的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D；如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若DP＝6，则PE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD＝PC；④AD+BC＝AB，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是　 　．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为　 　．
13．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝72°，∠ABC＝50°，并且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为　 　．
14．如图，已知△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为20、30、40，其三条角平分线交于点O，则S△AOB：S△AOC：S△BOC＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若AB＝10，BC＝8，BD＝5，则△ABD的面积为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
17．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
19．知识储备：
（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC＝BCAD．
比例的性质：若，则．
知识运用：
（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；
知识延展：
（3）如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误；
B、延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC＝BC不可能，错误；
C、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；
D、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误．
故选：C．
2．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BCEF＝×5×2＝5，
故选：C．
3．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，
故选：B．
4．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选：D．
5．【解答】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB＝CD，
所以此时点P满足S△PAB＝S△PCD．
组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
故选：D．
6．【解答】解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA＝PQ，
∵∠AOP＝∠MON＝30°，
∴OP＝2，
∴PQ＝2，
故选：C．
7．【解答】解：由垂线段最短可得PN⊥OB时，PN最短，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，
∴PN＝PM＝3，
即线段PN的最小值是3．
故选：B．
8．【解答】解：过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝2，
∴S△ABD＝ABDE＝×8×2＝8．
故选：C．
9．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴PE＝PD，
又PD＝6，
∴PE＝PD＝6．
故选：B．
10．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAP＝∠PAB，∠ABP＝∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴AP⊥BP，故结论①正确；
∵AP平分∠DAB，
∴点P到AD，AB的距离相等，
∵BP平分∠ABC，
∴点P到AB，BC的距离相等，
∴点P到AD，BC的距离相等，故结论②正确；
如图，延长AP，与BC的延长线交于点E．
在△APB和△EPB中，
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴AP＝EP．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECP，∠DAP＝∠E．
在△APD和△EPC中，
，
∴△APD≌△EPC（AAS），
∴PD＝PC，AD＝EC，故结论③正确；
∵AP＝EP，BP⊥AE，
∴BP是AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，
∵BE＝EC+BC，AD＝EC，
∴AD+BC＝AB，故结论④正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD＝5，AC＝4，∠C＝90°，
∴CD＝＝＝3，
∵AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝ABDE+ACDF，
∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴×20DE+×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得DE＝2cm．
故答案为：2cm．
13．【解答】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°
∠BAD+∠EAD＝180°
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中，
，
∴△ADE≌△ADG（HL），
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）
∴CD为∠ACF的平分线
∠ACB＝72°
∴∠DCA＝54°，
△ABC中，
∵∠ACB＝72°，∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣50°＝58°，
∴∠DAC＝＝61°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣61°﹣54°＝65°，
∴∠BDC＝180°﹣25°﹣54°﹣72°＝29°．
故答案为：29°．
14．【解答】解：先过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC于点D、E、F，
∵点O是三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BC＝20：30：40＝2：3：4．
故答案为：2：3：4．
15．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝ABDE＝×10×3＝15．
故答案为：15．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵P是△ABC角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝ABPD+BCPE+CAPF
＝（AB+BC+CA）PD
＝×20×2
＝20．
17．【解答】证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝ED，
而EF⊥AB，ED⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
18．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
19．【解答】2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
3．证明：由（1）知，
∴，
∵AB+AE＝BC+CE，
∴，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．