苏科版九年级数学下册 6.1 --6.3 相似图形 同步测试题（word解析版）

6.1
图上距离与实际距离
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
已知线段、，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知，下列等式中正确的是（
）
A.：
B.：
C.：
D.：
?
3.
若，则下列与关系的叙述，哪一个是正确的（
）
A.为的倍
B.为的倍
C.为的倍
D.为的倍
?
4.
如果，且是和的比例中项，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
下列各式由变形错误得是（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
若，则下列等式中不正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?8.
有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为．经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
在比例尺为?的地图上，两个城市之间的距离为，则它们之间的实际距离约为（
）
A.??
B.??
C.??
D.?
?
10.
如果线段、、、满足，那么下列等式不一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?
11.
已知，，，则________．
?
12.
已知，则①________；②________．
?
13.
若，则________．若，则________．
?
14.
在的地图上，、两地的距离是，则这两地间的实际距离是________．
?
15.
若，则________；若，则________．
?
16.
和的比例中项是________；线段与的比例中项为________．
?
17.
已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．
?
18.
若，则的值为________．
?
19.
如果，，则与的比例中项是________．
?
20.
若，则________．
三、
解答题
（本题共计
8
小题
，每题
10
分
，共计80分
，
）
?21.
（1）已知、、、是成比例线段，其中，，，求线段的长．
（2）已知线段、、，，，线段是线段和的比例中项．求线段的长．
?
22.
已知，求的值．
?
23.
已知，求的值．
?
24.
若点在线段上，点在线段的延长线上，，．求线段的长．
?
25.
已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求的值．
?
26.
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
?
27.
如图，在中，，是的高，找出图中的一组比例线段，并说明理由．
?
28.
已知点是线段上的点，点是延长线上的点，且，已知，，求，的长．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
C
【解答】
解：∵
，
∴
，
故选：．
2.
【答案】
D
【解答】
解：∵
，
∴
：．
故选．
3.
【答案】
A
【解答】
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
为的倍．
故选．
4.
【答案】
B
【解答】
解：∵
，是和的比例中项，
即，
∴
．
故选．
5.
【答案】
C
【解答】
解：∵
，
∴
，故正确；
，故正确；
，故正确．
故选．
6.
【答案】
A
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
D
【解答】
解：∵
，
∴
设，.
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确．
故选.
8.
【答案】
C
【解答】
解：设草坪的实际面积是平方米，
则有，
解得．
故选．
9.
【答案】
C
【解答】
解：设它们之间的实际距离为，
根据题意得，?，
解得，
．
故选．
10.
【答案】
C
【解答】
解：、∵
，∴
，即，正确，不符合题意；
、∵
，∴
，即，正确，不符合题意；
、∵
，∴
，，∴
，错误，符合题意，
、∵
、、正确，∴
相除可得，正确，不符合题意；
故选．
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
11.
【答案】
【解答】
解：∵
，，，
∴
，，，
∴
，，，则：，
∴
．
故答案为：．
12.
【答案】
,
【解答】
解：∵
，
∴
∴
①，
②，
故答案为：；．
13.
【答案】
,
【解答】
解：∵
，
∴
，
解得；
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：；．
14.
【答案】
【解答】
解：设，两地的实际距离为，则：
，解得，
∴
两地间的实际距离是．
15.
【答案】
,
【解答】
解：∵
，
则；
∵
，
∴
．
则．
16.
【答案】
,
【解答】
解：设和的比例中项是，则：
，
∴
，
若是线段的时候，应舍去负数，是．
∴
和的比例中项是；线段与的比例中项为．
17.
【答案】
【解答】
解：若是、的比例中项，
即．则，
故答案为：
18.
【答案】
【解答】
解：由合比性质，得
．
故答案为：．
19.
【答案】
【解答】
∵
是、的比例中项，
∴
，
即，
∴
，
20.
【答案】
【解答】
解：设，
则，，，
∴
．
故答案为：．
三、
解答题
（本题共计
8
小题
，每题
10
分
，共计80分
）
21.
【答案】
解：（1）∵
、、、是成比例线段，
∴
，
∵
，，，
∴
；
（2）∵
线段是线段和的比例中项，，，
∴
，
解得：，
又∵
线段是正数，
∴
．
【解答】
解：（1）∵
、、、是成比例线段，
∴
，
∵
，，，
∴
；
（2）∵
线段是线段和的比例中项，，，
∴
，
解得：，
又∵
线段是正数，
∴
．
22.
【答案】
解：设?，
则，，，
所以，?．
【解答】
解：设?，
则，，，
所以，?．
23.
【答案】
解：由可知：
，，．
这几式相加可得：，
当时，有，
当时，有，，，．
故或．
【解答】
解：由可知：
，，．
这几式相加可得：，
当时，有，
当时，有，，，．
故或．
24.
【答案】
线段的长为．
【解答】
解：∵
，，
∴
，，
∴
，
25.
【答案】
解：设，则，，
所以，
解得，
所以，，.
∵
线段是线段，的比例中项，
∴
，
∴
，
∴
线段．
【解答】
解：设，则，，
所以，
解得，
所以，，.
∵
线段是线段，的比例中项，
∴
，
∴
，
∴
线段．
26.
【答案】
（1）解：∵
，
∴
设，，
∴
，
，
，
所以，的值是；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
的值是．
【解答】
（1）解：∵
，
∴
设，，
∴
，
，
，
所以，的值是；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
的值是．
27.
【答案】
解：，
理由：∵
，是的高，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【解答】
解：，
理由：∵
，是的高，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
28.
【答案】
解：∵
，，
∴
，
∵
，
∴
：，
解得：，
∴
．
【解答】
解：∵
，，
∴
，
∵
，
∴
：，
解得：，
∴
．
6.2黄金分割
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
据有关实验测定，当室温与人体正常体温的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约为精确到
A.
B.
C.
D.
如图，，点C在线段AB上，且满足；如图，以图中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为???
A.
B.
C.
D.
已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则有????????????????????
A.
B.
C.
D.
已知点P是线段AB的黄金分割点APPB，AB，那么AP的长是
A.
B.
C.
D.
大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为
A.
B.
C.
D.
如图，P是线段AB的黄金分割点，，若表示以AP为边正方形的面积，表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则、大小关系为
A.
B.
C.
D.
不能确定
如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且若表示以BC为边的正方形面积，表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则与的大小关系为
A.
B.
C.
D.
不能确定
二、填空题
如图，扇子的圆心角为，余下的圆心角为，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为，则x应为________．
如图，等腰中，，，BD平分交AC于点D，则的值等于______．
如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走______米报幕．
如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果那么CD的长度是______．
如图，已知线段，作，使；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为______．
点P在线段AB上，且设，则______cm．
三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在中，，，的平分线交AB于点D．
证明点D是AB边上的黄金分割点；
证明直线CD是的黄金分割点．
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求的面积．
如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
求AM，DM的长．
求证：．
根据的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
答案和解析
C
解：根据黄金比的值得：．
2.
C
解：由得，
，
，
因为CBDE为正方形，所以，
，
矩形AEDF的面积：．
3.
B
解：为线段AB的黄金分割点，且，
．
4.
A
解：由于P为线段的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则．
5.
B
解：为AB的黄金分割点，
，
．
6.
B
解：是线段AB的黄金分割点，且，
，
又表示以PA为一边的正方形的面积，表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，
，，
．
7.
B
解：是线段AB的黄金分割点，且，
，
又表示以BC为边的正方形面积，表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
，，
．
8.
135
解：根据题意得，，
而，
，
．
9.
解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
和都是顶角为的等腰三角形．
顶角为的等腰三角形为“黄金三角形”，
它的底与腰的比值为，
；
10.
解：点P为AB的黄金分割点，，
米，
米，
11.
解：点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
，
，
12.
解：：，则，
由勾股定理得，，
则，
，
13.
解：．
点为AB的黄金分割点，
，
．
14.
解：点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
，，．
平分，，
，，
．
，，
∽，
．
．
是AB边上的黄金分割点；
直线CD是的黄金分割线，理由如下：
设的边AB上的高为h，则
，，，
，．
是AB的黄金分割点，
，
．
是的黄金分割线．
15.
解：，E为BC的两个“黄金分割”点，
，，
，
，
，
作于H，如图，
，
，
，
在中，，
，E是边BC的两个“黄金分割”点，
，
，
．
16.
解：在中，，，
，
，
证明：，
，
点M是AD的黄金分割点理由如下：
，
，
点M是AD的黄金分割点．
6.3相似图形-
一、选择题
1、两个多边形相似的条件是(
)
A．对应角相等
B．对应边成比例
C．对应角相等或对应边成比例
D．对应角相等且对应边成比例
2、下列每组中的两个图形形状相同的是(
)
3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；
③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；
④平面镜中，你的形象与你本人是相似的．
其中正确的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、如图，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式成立的是(　　)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
5、已知A4纸的宽度为21
cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为(　　)
A．24.8
cm
B．26.7
cm
C．29.7
cm
D．无法确定
6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为(
)
A.
B.
C.
D.
7、下列3个矩形中，相似的是（　　）
①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cm
A．①②和③
B．①和②
C．①和③
D．②和③
8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是(
)
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，
那么较大的三角形的面积为(　
)
A．90
B．180
C．270
D．540
10、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是(
)
二、填空题
11、相似图形的
一定相同，
不一定相同
12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N＝125?，则∠Ｍ＝＿＿.
13、如图，在△ABC中，D是BC上一点．若△BAC∽△ADC，AC＝8，BC＝16，则DC的长为________．
14、若△ABC∽△A′B′C′，且＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________，△A′B′C′与△ABC的相似比是________．
15、若△ABC的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC相似的△A′B′C′的最短边的长为15，
则△A′B′C′最长边的长为________．
16、如图，在一个矩形纸片ABCD上剪去一个正方形ABEF，所余下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，那么原矩形中较长的边BC与较短的边AB的比值为________．
17、如图，在长8
cm、宽4
cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为_______cm.
18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______________．(填序号)
三、解答题
19、如图的相似四边形中，求未知边x，y的长度和∠α的大小．
20、如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．
求：(1)相似比；
(2)∠A和∠B′的度数；
(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．
21、一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）
如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）
如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
22、如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
6.3相似图形-苏科版九年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、两个多边形相似的条件是(D
)
A．对应角相等
B．对应边成比例
C．对应角相等或对应边成比例
D．对应角相等且对应边成比例
2、下列每组中的两个图形形状相同的是(
A
)
3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；
③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；
④平面镜中，你的形象与你本人是相似的．
其中正确的有(
D
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、如图，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式成立的是(　B　)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
5、已知A4纸的宽度为21
cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为(　C　)
A．24.8
cm
B．26.7
cm
C．29.7
cm
D．无法确定
【解析】
设A4纸的高度为x
cm，则对折后的矩形的高度为，
∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴＝，解得x＝21≈29.7
cm，
即A4纸的高度约为29.7
cm.
6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为(
A
)
A.
B.
C.
D.
7、下列3个矩形中，相似的是（　　）
①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cm
A．①②和③
B．①和②
C．①和③
D．②和③
解答：①与②中矩形长与宽的比分别为不相似；
①与③中矩形长与宽的比分别为相似；
②与③中矩形长与宽的比分别为不相似．
故选：C．
8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是(
B
)
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，
那么较大的三角形的面积为(　C
)
A．90
B．180
C．270
D．540
10、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是(
D
)
二、填空题
11、相似图形的
形状
一定相同，
大小
不一定相同
12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N＝125?，则∠Ｍ＝＿
125?＿.
13、如图，在△ABC中，D是BC上一点．若△BAC∽△ADC，AC＝8，BC＝16，则DC的长为________．
[解析]
因为△BAC∽△ADC，所以＝.因为AC＝8，BC＝16，所以16DC＝82，解得DC＝4.
14、若△ABC∽△A′B′C′，且＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________，△A′B′C′与△ABC的相似比是________．
[解析]
相似三角形的相似比与顺序有关，如△ABC与△A′B′C′的相似比是＝2∶1，
而△A′B′C′与△ABC的相似比则是＝1∶2.
15、若△ABC的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC相似的△A′B′C′的最短边的长为15，
则△A′B′C′最长边的长为__25______．
16、如图，在一个矩形纸片ABCD上剪去一个正方形ABEF，所余下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，那么原矩形中较长的边BC与较短的边AB的比值为___
_____．
17、如图，在长8
cm、宽4
cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为__2______cm.
18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______
①
③
④________．(填序号)
三、解答题
19、如图的相似四边形中，求未知边x，y的长度和∠α的大小．
答案：x＝31.5，y＝27，∠α＝83°
20、如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．
求：(1)相似比；
(2)∠A和∠B′的度数；
(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．
解：(1)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边，
∴＝，即相似比为.
(2)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.
又∵∠A′＝90°，∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°.
(3)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，
∴＝＝＝＝.由＝，AF＝4
cm，
得＝，
∴A′F′＝(cm)．
由＝，E′F′＝4
cm，得＝，
∴EF＝(cm)．
由＝，ED＝5
cm，得＝，
∴E′D′＝(cm)．
由＝，C′D′＝3
cm，得＝，
∴CD＝(cm)．
即CD＝
cm，EF＝
cm，
A′F′＝
cm，
E′D′＝
cm.
21、一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）
如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）
如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，，
∴DM?BC=AB?MN，即BC2=4，∴BC=，即它的另一边长为；
∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，
∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD?DF=2×1=2．
22、如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
解：(1)不相似．理由：由题意，得AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，
而≠，故矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似．
(2)若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，则＝或＝，
即＝或＝，解得x＝1.5或x＝9.
故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似．