苏科版九年级下册数学 6.5相似三角形的性质 同步练习（word含解析）

6.5相似三角形的性质
同步练习
一．选择题
1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B．若AD＝2，BD＝3，则AC等于
（　　）
A．5
B．6
C．
D．
3．如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE＝，S△BCE＝，则BC＝（　　）
A．4
B．8
C．5
D．10
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE＝，∠AED＝∠B，则CE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（　　）
A．16：81
B．4：9
C．9：4
D．2：3
7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（　　）
A．
B．2
C．2
D．5
8．在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝4，CD＝2，则CE＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC中，DE∥AC，AE、DC交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
二．填空题
11．如图，已如AB＝AC＝DE，D为BC延长线上一点，过D作DE⊥BC于E交AC于F，若AB＝m，AF＝n，则AE+EF　
　（用含m，n的式子表示）．
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AD，点E为AB的中点，DE交AC于点F．若AB＝，AC＝，BC＝1，则AF的长为　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为　
　．
14．如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC＝20cm，高AD＝12cm，则内接正方形的边长EF＝　
　cm．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是　
　．（填写所有正确结论的序号）
三．解答题
16．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB＝8，AD＝6，AE＝12，求BC的长．
17．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．
18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G．
（1）求证：△AFD∽△GAD；
（2）如果DF2＝CF?CD，求证：BE＝CH．
参考答案
一．选择题
1．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴＝＝，＝（）2＝，
∴选项C正确，选项D错误，
∵无法确定，的值，故选项A，B错误，
故选：C．
2．解：在△ADC和△ACB中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB?AD，
∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，
∴AC2＝5×2＝10，
∵AC＞0，
∴AC＝，
故选：D．
3．解：过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，
设BC＝4x，则AC＝3x，
∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
又S△BCE＝，S△ADE＝，
∴AD＝BC＝x，
∴CD＝2x，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF＝FC，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得，EF＝x，
则×4x×x＝，
解得，x＝2，
则BC＝4x＝8，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴AF＝＝，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
故选：B．
5．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△BAE∽△CED，
∴＝，
∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE＝，
∴＝，
∴CE＝，
故选：C．
6．解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
∴两个相似三角形的面积之比为4：9时，
这两个相似三角形的对应边之比是2：3．
故选：D．
7．解：∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，
∴DE＝＝＝4，
∵S△FDG：S△EDG＝2：3，
∴FG：EG＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BEG，
∴＝＝，
∴DF＝2，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∴EF＝＝＝2．
故选：B．
8．解：∵∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DA＝DB，
在AC上截取AF＝BC＝4，如图，
在△ADF和△BCD中
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，
而∠DCF＝60°，
∴△DCF为等边三角形，
∴CF＝CD＝2，
∴AC＝AF+CF＝4+2＝6，
∵∠CBE＝∠CAD，∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BC：AC＝CE：CD，即4：6＝CE：2，
∴CE＝．
故选：D．
9．解：∵DE∥AC
∴＝，而AD是否等于BC不清楚，故A错误；
∵DE∥AC
∴△DEF∽△ACF
∴＝，而FC未必等于FE，故B错误；
∵DE∥AC
∴△BDE∽△BAC
∴＝
故C正确；
∵△DEF∽△ACF
∴＝，无法得知的值是否等于，故D错误．
综上，只有C正确．
故选：C．
10．解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，
∴△ADE≌△EFG≌△GHB，
∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，
∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，
∵FE∥HG∥BC，
∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，
∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，
∵QE∥MG，
∴△AEQ∽△AGM，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S1＝S2，
∵MG∥CB，
∴△AGM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S3＝S2，
∵S1+S3＝30，
∴S2+S2＝30，
∴S2＝12．
故选：D．
二．填空题
11．解：过F点作FH∥AB交BD于H，
∴△DFH∽△DEB，∠B＝∠FHC，
设AE＝x，EF＝y，则x2+y2＝n2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠FHC＝∠ACB，
∴FH＝FC＝m﹣n，
∵△DFH∽△DEB，
∴＝，
∵AB＝AC＝DE，AB＝m，AF＝n，
∴＝，
∴m（m﹣n）＝（m﹣EF）（m﹣AE），
即m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+AE×EF，
∵DE⊥BC，
∴∠DEA＝90°，
∴n2＝AE2+EF2，
∵（AE+EF）2＝AE2+2AE×EF+EF2＝n2+2AE×EF，
∴AE×EF＝[（AE+EF）2﹣n2]，
∴m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+[（AE+EF）2﹣n2]，
∴（AE+EF）2﹣2m（AE+EF）+2mn﹣n2＝0，
（AE+EF﹣n）（AE+EF﹣2m+n）＝0，
∴AE+EF＝n，AE+EF＝2m﹣n，
∵AE+EF＝n时，AE+EF＝（n2﹣n2）＝0，不合题意舍去，
∴AE+EF＝2m﹣n．
故答案为：＝2m﹣n．
12．解：在△ACB中，AB＝，AC＝，BC＝1，
∴（）2＝（）2+12，
∴△ACB是直角三角形，即∠ACB＝90°，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴＝，即＝，
解得AD＝，
∵点E为AB的中点，
∴AE＝CE＝AB＝，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠CAD，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴△FCE∽△FAD（AA），
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝．
故答案为：．
13．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝（cm）．
由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝tcm，BQ＝tcm，
∴BP＝（﹣t）cm，BQ＝tcm，
当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：
∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，
∴∠C＝∠BQ1P1，
又∵∠B＝∠B，
∴△BQ1P1∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝；
②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：
∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，
∴∠C＝∠BP2Q2，
又∵∠B＝∠B，
∴△BP2Q2∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝．
故答案为：或．
14．解：设EF＝xcm，则HG＝MD＝xcm，
∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
∵BC＝20cm，高AD＝12cm，
∴AM＝（12﹣x）cm，
∴，
解得x＝7.5，
即EF的长为7.5cm，
故答案为：7.5．
15．解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．
故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝，
∴＝＝2，
＝＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，
∴CE＝CD﹣ED＝，
∴＝，
∴4CE＝5ED．
故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④．
三．解答题
16．解：（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠CAB，
∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE，
∴，
即，
∴BC＝16．
17．（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，
∴BC＝BE＝，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF＝．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠BAE＝∠DAF，
又∵∠D＝∠D，
∴△AFD∽△GAD．
（2）证明：∵DF2＝CF?CD，
∴＝，
∵AD∥BH，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝CD，
∴CH＝DF，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴BE＝CH．