人教版七年级数学下册：5.1.2垂线 课件 (共26张PPT)

5.1.2 垂线
入水姿势
两条直线相交
一般情况
对顶角：相等
邻补角：互补
特殊情况
复习：
B
A
C
D
O
1
2
3
4
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
垂直是相交的一种特殊形式
）
α
a
b
b
b
b
b
α
观察与思考
1.垂直定义：当α =90°时,a与b互相垂直两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b
a
O
由垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
一、垂直的定义
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
十字路口的两条道路
围棋盘的横线和竖线
铅垂线和水平线
b
a
O
A
B
C
D
O
A
B
O
A
M
B
N
图1
图4
图3
图2
C
A
1）图形：
O
B
2）文字：AB、ＣＤ互相垂直, 垂足为O
3）符号：ＡＢ⊥ＣＤ或ＣＤ⊥ＡＢ
若要强调垂足，
则记为：ＡＢ⊥ＣＤ, 垂足为O
2.垂直的表示：
D
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
②性质：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
3.垂直的书写形式：
练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C） 有三个角相等 （D）有四个角相等
（E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补（G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
A C D F G
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
是 .
C
D
A
B
O
E
1
2
切记：要证垂直必先想到直角（90°）
联想数学
练习2：
OE⊥AB
A
C
E
B
D
O
1
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）
∵ ∠BOD= ∠1=55°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
（对顶角相等）
问题：
这样画ｌ的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画线、
ｌ
O
如图，已知直线 ｌ,作ｌ的垂线。
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
ｌ
A
如图，已知直线 ｌ和ｌ上的一点A ,作ｌ的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
1.垂线的画法：
ｌ
A
如图，已知直线 ｌ 和ｌ外的一点A ,作ｌ的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线ｌ的垂线.
请同学们画一下
1.垂线的画法：
结论:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l 上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条?
注意:
（1）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性。
（2）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外。
(3)过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质（1）
①过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）.

A B C D
C
练习3.
合作学习
答：垂线段ＰＯ最短．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
也可简单地说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
问：图中点Ｐ到直线 l 的距离是什么？
在直线l上任意选取点A1，A2,A3，……，B1，B2，B3，……，分别与直线l外一点P连接，所成的线段PA1、PA2、PA3、……，PB1、PB2、PB3、……中，哪一条线段最短？
l
P
A1
A2
O
B3
B2
B1
Ａ３
点到直线的距离的概念
直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离。
A
P
B
Q
如图，点P到直线AB的距离就是垂线段PQ的长度
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
垂直
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定义)
C
D
A
B
O
E
1
2
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 。

例2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= 。
（A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
A
B
O
C
D
E
D
E
E
E
注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.
②、
练习5、 点O是直线AB上的一点， OC是射线，OE平分∠AOC， OF平分∠BOC，试确定OE与OF的位置关系．并说明理由．
A
B
O
C
E
F
1
2
1、垂直的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移；四、画
小结：

垂直定义：垂直是相交的一种特殊形式，两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。