苏科版九年级下册数学 7.5解直角三角形 同步练习（word解析版）

7.5解直角三角形
同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点，若tan∠DAB＝，则AD的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．8
4．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tanA的值是（　　）
A．1
B．
C．9
D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（　　）
A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
6．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），则tanα的值是（　　）
A．
B．
C．
D．2
7．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，且BE＝2AE，已知AD＝3，tan∠BCE＝，那么CE等于（　　）
A．2
B．3﹣2
C．5
D．4
8．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值等于（　　）
A．2
B．2+
C．1+
D．2
9．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是（　　）
A．m＝n
B．x＝m+n
C．x＞m+n
D．x2＝m2+n2
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝　
　．
12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，P为线段AB上一点，且CP＝，则sin∠PCA的值为　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　
　．
14．已知在△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且＝2，则△ABC的面积为　
　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为　
　．
三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B，a，c的值．
17．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
18．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为　
　．
【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．
参考答案
一．选择题
1．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
2．解：连接BC，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，
∴AB＝6，∠B＝45°，且DE⊥AB
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵tan∠DAB＝＝，
∴AE＝5DE，
∵AB＝AE+BE＝5DE+DE＝6DE＝6
∴DE＝，AE＝5
∴AD＝＝2
故选：C．
4．解：如图，过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE＝90°，
∴BE∥AC．
∵AB＝BD，
∴AC＝2BE．
又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故选：D．
5．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，CD平分∠ACB，
∴∠A＝30°，∠ACD＝45°，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠BDC＝75°，
故选：D．
6．解：过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，
∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），
∴OD＝4，CD＝2，
∴tanα＝，
故选：A．
7．解：∵tan∠BCE＝，
∴∠BCE＝30°，
∴∠B＝60°，
又∵在Rt△ABD中，AD＝3，
∴BD＝3，AB＝6，
∵BE＝2AE，
∴BE＝4，AE＝2，
在Rt△BEC中，BE＝4，∠BCE＝30°
∴CE＝4，
故选：D．
8．解：如图作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH，
设AH＝BH＝a，则AB＝a，BD＝a，BC＝CD＝a，CH＝a+a，
∵∠AHB＝∠DCB＝90°，
∴AH∥DC，
∴∠ACD＝∠CAH，
∴tan∠ACD＝tan∠CAH＝＝+1，
故选：C．
9．解：∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，
∴∠B＝∠C＝∠MAN＝45°，
∵∠CAB＝90°，
∴AC＝AB，
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，
则有AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3，
∵∠MCN＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠NAN′＝∠MAN．
在△MAN与△NAN′中，
，
∴△MAN≌△NCN′（SAS），
∴MN＝NN′．
由旋转性质可知，∠ACN′＝∠B＝45°，
∴∠NCN′＝∠ACN′+∠ACB＝90°，
∴NN'2＝NC2+N'C2，
即x2＝n2+m2，
故选：D．
10．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝＝＝3，
∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：过B点作BD⊥AC于点D，
∵cosA＝，
∴，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∴，
∵AB＝AC，
∴AC＝5x，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC＝，
∴，
故答案为：．
12．解：如图，作PD⊥AC于点D，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB＝＝4，
在Rt△CBP中，CP＝，BC＝3，
∴BP＝＝，
∴AP＝AB﹣BP＝，
∵sin∠A＝＝，
即＝，
∴PD＝，
∴sin∠PCA＝＝×＝．
故答案为：．
13．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠B，
∵sinB＝，
∴，
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴，
∵CD：AC＝1：3，
∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC+CE＝18x，
∴tan∠CAD＝，
故答案为
14．解：当△ABC是锐角三角形时，如图1，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝4，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝8；
当△ABC是钝角三角形时，如图2，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝12，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
综上，△ABC的面积为8或24，
故答案为8或24．
15．解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵AB＝AC＝13，cos∠ABC＝，
∴BE＝5，
由勾股定理可知：AE＝12，
∵AE⊥BC，
∴BE＝EC＝5，
∵D是AC的中点，DG∥AE，
∴DG是△AEC的中位线，
∴DG＝AE＝6，EG＝CE＝，
∴BG＝，
在Rt△BDG中，
tan∠DBC＝＝＝，
故答案为：
三．解答题
16．解：∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，
∴cos∠CAD＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a＝＝＝8，
即∠B＝30°，a＝8，c＝16．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB＝，BC＝10，
∴AB＝BC?cosB＝10×＝6．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8．
∵AE是BC边的高，
∴AC?AB＝BC?AE，即×8×6＝×10AE，
∴AE＝．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴AD＝BC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE＝，
∴sin∠ADB＝＝＝．
18．解：（1）如图1，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CPB，
∴tan∠ABE＝tan∠CPB，
∵∠AEB＝90°，
∴tan∠CPB＝tan∠ABE＝＝＝3，
故答案为3．
（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．
∵BC∥AE，BC＝AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠APD＝∠ECD．
∵△ECD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×3＝，
∴CE?DM＝，
∵CE＝，
∴DM＝，
∴sin∠APD＝sin∠ECD＝＝÷＝．