2020-2021学年江西省宜春中学高二上学期期中数学试卷（理科） （Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年江西省宜春中学高二上学期期中数学试卷（理科） （Word版含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-28 00:00:00 | ||
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文档简介
2020-2021学年江西省宜春中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．下列结论正确的选项为（ ）
A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是圆锥
D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．直线l过点P（0，），且倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．2x﹣y+3＝0 B．x﹣y+＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+y﹣＝0
4．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养低于乙
B．乙的六大素养中逻辑推理最差
C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
5．已知如表所示数据的回归直线方程为＝4x﹣4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 12 a 23
A．15 B．16 C．17 D．18
6．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
8．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8．
则可以判定数学成绩优秀同学为（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
10．若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B．8π C．9π D．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（共4小题）.
13．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相平行，则k的值 ．
14．无论m取何实数，直线l：mx﹣y+3+2m＝0恒过定点 ．
15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的中位数为m，则m＝ ．
16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为 ．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案城在答题卡上对应题号指定框内。
17．（10分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2an（n∈N），求{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为2，求边长a的值．
19．（12分）矩形ABCD中，AB＝2AD，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得DB＝DC．
（1）若E为BD的中点，证明：CE∥平面ADP；
（2）证明：平面ADP⊥平面ABCP．
20．（12分）2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV﹣4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月20日 2月20日 3月20日 4月20日 5月20日 6月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：＝＝，＝）
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1的中点．
（1）求证：A1A⊥AB；
（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值．
22．（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
解：总体由男生和女生组成，比例为500：500＝1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
2．下列结论正确的选项为（ ）
A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是圆锥
D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
解：对于A，如图所示：
三棱锥A﹣BCD，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形，选项A正确；
对于B，把两个相同的斜平行六面体叠放，得出的几何体不是棱柱，所以选项B错误；
对于C，直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是两个圆锥的组合体，所以选项C错误；
对于D，圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，所以选项D错误．
故选：A．
3．直线l过点P（0，），且倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．2x﹣y+3＝0 B．x﹣y+＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+y﹣＝0
解：设直线x﹣y+3＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ＝，θ＝，
∴要求的直线的倾斜角为，斜率k＝，
∴要求的直线过（0，），其方程为：y﹣＝x，
即x﹣y+＝0，
故选：B．
4．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养低于乙
B．乙的六大素养中逻辑推理最差
C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
解：对于A，甲的数据分析素养为3分，乙为5分，故A正确；
对于B，乙的六大素养中逻辑推理为5分，不是最差，故B错误；
对于C，甲的数学建模素养为3分，逻辑推理素养为4分，故C正确；
对于D，乙的六大素养整体平均水平为，甲为，故D正确．
故选：B．
5．已知如表所示数据的回归直线方程为＝4x﹣4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 12 a 23
A．15 B．16 C．17 D．18
解：，
，
∴样本中心点的坐标为（4，），
代入＝4x﹣4，得，解得a＝15．
故选：A．
6．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：因为 ，
且若△A′B′C′的面积为 ×2××＝，
那么△ABC的面积为
故选：A．
7．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
解：取AD中点G，连结EG，FG，
∵在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，
∴EG∥CD，GF∥AB，
∴∠FEG是EF与CD所成的角（或所成角的补角），
∵CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，
∴EG＝CD＝3，GF＝＝，GF⊥EF，
∴∠FEG＝30°，
∴EF与CD所成的角为30°．
故选：D．
8．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2的距离为（ ）
A． B． C． D．
解：直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，
若l1∥l2，则a2﹣16＝0，解得a＝±4，
①当a＝4时，直线l1∥和直线l2重合．
②当a＝﹣4时，直线l1为：﹣4x+2y﹣1＝0，直线l2为﹣4x+2y﹣3＝0，
所以平行线间的距离d＝，
故选：A．
9．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8．
则可以判定数学成绩优秀同学为（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
解：在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，
所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，
故甲同学数学成绩优秀，故①成立；
在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，
可以找到很多反例，如：118，119，125，128，145，
故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；
在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8
设x1＜x2＜x3＜x4，
则丙的方差为[（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2+（135﹣128）2]＝19.8，
∴（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2＝50，
∴（x1﹣128）2≤50，
得|x1﹣128|≤5，∴x1≥128﹣5＞120，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立．
∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．
故选：C．
10．若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
解：如图所示：曲线y＝3﹣，
即 （x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，
可得＝2，
∴b＝1+2，或b＝1﹣2．
结合图象可得1﹣2≤b≤3，
故选：C．
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B．8π C．9π D．
解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，
设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，
依题意，
∴球的半径，
∴该几何体外接球的表面积为．
故选：D．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，
∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，
∴D1P∥平面EFGHQR，
易知平面ACD1∥平面EFGHQR，
∴P∈AC，
且当P与O重合时，BP最短，
此时△PBB1的面积最小，
＝，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每不题5分，共20分
13．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相平行，则k的值 ﹣2 ．
解：∵向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），
∴k+＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
2﹣＝（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
∵k+与2﹣互相平行，
∴，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．无论m取何实数，直线l：mx﹣y+3+2m＝0恒过定点 （﹣2，3） ．
解：由mx﹣y+3+2m＝0，得m（x+2）﹣y+3＝0，
联立，得，
∴l恒过定点（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的中位数为m，则m＝ 3000 ．
解：由频率分布直方图知，0.00015×2000+0.00020×2000＝0.7，
所以中位数m在[2000，4000）内，
由0.00015×2000+0.00020×（m﹣2000）＝0.5，
解得m＝3000．
故答案为：3000．
16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为 ．
解：如图，建立空间直角坐标系，设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0），
则＝（0，1，），＝（x，y，﹣）．
由于AM⊥MP，所以（0，1，）?（x，y，﹣）＝0，
即y＝，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案城在答题卡上对应题号指定框内。
17．（10分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2an（n∈N），求{bn}的前n项和Sn．
解：（1）等比数列{an}的公比设为q，
由a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项，可得2a2＝a1+a3﹣1，
即为2q＝1+q2﹣1，解得q＝2（0舍去），
则an＝2n﹣1；
（2）bn＝log2an＝log22n﹣1＝n﹣1，
则{bn}为首项为0，公差为1的等差数列，
则Sn＝n（n﹣1）．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为2，求边长a的值．
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，设＝k，
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
代入ccosB+bcosC＝3acosB，
可得k（sinCcosB+sinBcosC）＝3ksinAcosB，
所以sin（C+B）＝3sinAcosB，sin（C+B）＝sinA，
化简得sinA＝3sinAcosB，
因为A，B∈（0，π），sinA＞0，sinB＞0，
所以cosB＝；
（2）由（1）可知，sinB＞0，sinB＝＝，
又S△ABC＝acsinB，
所以a?2?＝2，解得a＝3．
19．（12分）矩形ABCD中，AB＝2AD，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得DB＝DC．
（1）若E为BD的中点，证明：CE∥平面ADP；
（2）证明：平面ADP⊥平面ABCP．
【解答】证明：（1）取AD的中点Q，连接PQ、EQ，
∵点E为BD的中点，
∴QE∥AB，QE＝AB，
∵矩形ABCD，且P为线段DC的中点，
∴PC∥AB，PC＝AB，
∴QE∥PC，QE＝PC，
∴四边形CPQE为平行四边形，
∴CE∥PQ，
又CE?平面ADP，PQ?平面ADP，
∴CE∥平面ADP．
（2）分别取BC、AP的中点M、N，则MN⊥BC，
∵DB＝DC，
∴DM⊥BC，
又MN∩DM＝M，MN、DM?平面DMN，
∴BC⊥平面DMN，
∴BC⊥DN，
∵AB＝2AD，P为线段DC的中点，
∴AD＝PD，
∴DN⊥PA，
又PA、BC?平面ABCP，且PA与BC相交，
∴DN⊥平面ABCP，
∵DN?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面ABCP．
20．（12分）2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV﹣4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月20日 2月20日 3月20日 4月20日 5月20日 6月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：＝＝，＝）
解：（1）由表中2月至5月份的数据，
得＝（11+13+12+8）＝＝11，＝（25+29+26+16）＝＝24，
故有（xi﹣）（yi﹣）＝0×1+2×5+1×2+（﹣3）×（﹣8）＝36，
（xi﹣）2＝02+22+12+（﹣3）2＝14，
由参考公式得＝，由＝得＝﹣，
即y关于x的线性回归方程＝x+＝x﹣．
（2）由1月份数据得当x＝10时，＝×10﹣＝．
|﹣22|＝＜2，
由6月份数据得当x＝6时，＝×6﹣＝．
|﹣22|＝＜2，
则该小组所得线性回归方程是理想的．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1的中点．
（1）求证：A1A⊥AB；
（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值．
解：（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，
∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B，
∵CO⊥平面ABB1A1，∴以O为原点，OA1为x轴，OA为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝，则A1（1，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，0），
∵?＝1﹣1＝0，∴A1A⊥AB．
（2）解：C（0，0，1），C1（1，﹣1，1），D（1，﹣，），O（0，0，0），
＝（1，﹣，），＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），
设平面A1ACC1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
设直线OD与平面A1ACC1所成角为θ，
则直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
22．（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．
解：（1）当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为，
∵CD与AB垂直，∴直线CD的斜率为﹣，
∴直线CD的方程为y＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣2＝0．
（2）当直线AB与x轴垂直时，AB＝2，CD＝4，
∴四边形ACBD的面积S＝，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
则直线CD方程为y＝﹣，即x+ky﹣2＝0，
点O到直线AB的距离为，
∴AB＝2＝2，
CD＝2＝4，
则四边形ACBD面积S＝＝＝4，
令k2+1＝t＞1（当k＝0时，四边形ACBD不存在），
∴＝4∈（0，4），
∴四边形ABCD面积S的最大值为4．
一、选择题（共12小题）.
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．下列结论正确的选项为（ ）
A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是圆锥
D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．直线l过点P（0，），且倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．2x﹣y+3＝0 B．x﹣y+＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+y﹣＝0
4．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养低于乙
B．乙的六大素养中逻辑推理最差
C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
5．已知如表所示数据的回归直线方程为＝4x﹣4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 12 a 23
A．15 B．16 C．17 D．18
6．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
8．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8．
则可以判定数学成绩优秀同学为（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
10．若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B．8π C．9π D．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（共4小题）.
13．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相平行，则k的值 ．
14．无论m取何实数，直线l：mx﹣y+3+2m＝0恒过定点 ．
15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的中位数为m，则m＝ ．
16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为 ．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案城在答题卡上对应题号指定框内。
17．（10分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2an（n∈N），求{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为2，求边长a的值．
19．（12分）矩形ABCD中，AB＝2AD，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得DB＝DC．
（1）若E为BD的中点，证明：CE∥平面ADP；
（2）证明：平面ADP⊥平面ABCP．
20．（12分）2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV﹣4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月20日 2月20日 3月20日 4月20日 5月20日 6月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：＝＝，＝）
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1的中点．
（1）求证：A1A⊥AB；
（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值．
22．（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
解：总体由男生和女生组成，比例为500：500＝1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
2．下列结论正确的选项为（ ）
A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是圆锥
D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
解：对于A，如图所示：
三棱锥A﹣BCD，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形，选项A正确；
对于B，把两个相同的斜平行六面体叠放，得出的几何体不是棱柱，所以选项B错误；
对于C，直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的的几何体是两个圆锥的组合体，所以选项C错误；
对于D，圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，所以选项D错误．
故选：A．
3．直线l过点P（0，），且倾斜角是直线x﹣y+3＝0的倾斜角的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．2x﹣y+3＝0 B．x﹣y+＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+y﹣＝0
解：设直线x﹣y+3＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ＝，θ＝，
∴要求的直线的倾斜角为，斜率k＝，
∴要求的直线过（0，），其方程为：y﹣＝x，
即x﹣y+＝0，
故选：B．
4．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养低于乙
B．乙的六大素养中逻辑推理最差
C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养
D．乙的六大素养整体平均水平优于甲
解：对于A，甲的数据分析素养为3分，乙为5分，故A正确；
对于B，乙的六大素养中逻辑推理为5分，不是最差，故B错误；
对于C，甲的数学建模素养为3分，逻辑推理素养为4分，故C正确；
对于D，乙的六大素养整体平均水平为，甲为，故D正确．
故选：B．
5．已知如表所示数据的回归直线方程为＝4x﹣4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 12 a 23
A．15 B．16 C．17 D．18
解：，
，
∴样本中心点的坐标为（4，），
代入＝4x﹣4，得，解得a＝15．
故选：A．
6．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：因为 ，
且若△A′B′C′的面积为 ×2××＝，
那么△ABC的面积为
故选：A．
7．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
解：取AD中点G，连结EG，FG，
∵在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，
∴EG∥CD，GF∥AB，
∴∠FEG是EF与CD所成的角（或所成角的补角），
∵CD＝6，AB＝3，EF⊥BA，
∴EG＝CD＝3，GF＝＝，GF⊥EF，
∴∠FEG＝30°，
∴EF与CD所成的角为30°．
故选：D．
8．已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2的距离为（ ）
A． B． C． D．
解：直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，
若l1∥l2，则a2﹣16＝0，解得a＝±4，
①当a＝4时，直线l1∥和直线l2重合．
②当a＝﹣4时，直线l1为：﹣4x+2y﹣1＝0，直线l2为﹣4x+2y﹣3＝0，
所以平行线间的距离d＝，
故选：A．
9．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8．
则可以判定数学成绩优秀同学为（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
解：在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，
所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，
故甲同学数学成绩优秀，故①成立；
在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，
可以找到很多反例，如：118，119，125，128，145，
故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；
在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8
设x1＜x2＜x3＜x4，
则丙的方差为[（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2+（135﹣128）2]＝19.8，
∴（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2＝50，
∴（x1﹣128）2≤50，
得|x1﹣128|≤5，∴x1≥128﹣5＞120，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立．
∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．
故选：C．
10．若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
解：如图所示：曲线y＝3﹣，
即 （x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，
可得＝2，
∴b＝1+2，或b＝1﹣2．
结合图象可得1﹣2≤b≤3，
故选：C．
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B．8π C．9π D．
解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，
设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，
依题意，
∴球的半径，
∴该几何体外接球的表面积为．
故选：D．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，
∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，
∴D1P∥平面EFGHQR，
易知平面ACD1∥平面EFGHQR，
∴P∈AC，
且当P与O重合时，BP最短，
此时△PBB1的面积最小，
＝，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每不题5分，共20分
13．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相平行，则k的值 ﹣2 ．
解：∵向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），
∴k+＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
2﹣＝（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
∵k+与2﹣互相平行，
∴，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．无论m取何实数，直线l：mx﹣y+3+2m＝0恒过定点 （﹣2，3） ．
解：由mx﹣y+3+2m＝0，得m（x+2）﹣y+3＝0，
联立，得，
∴l恒过定点（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的中位数为m，则m＝ 3000 ．
解：由频率分布直方图知，0.00015×2000+0.00020×2000＝0.7，
所以中位数m在[2000，4000）内，
由0.00015×2000+0.00020×（m﹣2000）＝0.5，
解得m＝3000．
故答案为：3000．
16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为 ．
解：如图，建立空间直角坐标系，设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0），
则＝（0，1，），＝（x，y，﹣）．
由于AM⊥MP，所以（0，1，）?（x，y，﹣）＝0，
即y＝，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案城在答题卡上对应题号指定框内。
17．（10分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2an（n∈N），求{bn}的前n项和Sn．
解：（1）等比数列{an}的公比设为q，
由a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项，可得2a2＝a1+a3﹣1，
即为2q＝1+q2﹣1，解得q＝2（0舍去），
则an＝2n﹣1；
（2）bn＝log2an＝log22n﹣1＝n﹣1，
则{bn}为首项为0，公差为1的等差数列，
则Sn＝n（n﹣1）．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为2，求边长a的值．
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，设＝k，
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
代入ccosB+bcosC＝3acosB，
可得k（sinCcosB+sinBcosC）＝3ksinAcosB，
所以sin（C+B）＝3sinAcosB，sin（C+B）＝sinA，
化简得sinA＝3sinAcosB，
因为A，B∈（0，π），sinA＞0，sinB＞0，
所以cosB＝；
（2）由（1）可知，sinB＞0，sinB＝＝，
又S△ABC＝acsinB，
所以a?2?＝2，解得a＝3．
19．（12分）矩形ABCD中，AB＝2AD，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得DB＝DC．
（1）若E为BD的中点，证明：CE∥平面ADP；
（2）证明：平面ADP⊥平面ABCP．
【解答】证明：（1）取AD的中点Q，连接PQ、EQ，
∵点E为BD的中点，
∴QE∥AB，QE＝AB，
∵矩形ABCD，且P为线段DC的中点，
∴PC∥AB，PC＝AB，
∴QE∥PC，QE＝PC，
∴四边形CPQE为平行四边形，
∴CE∥PQ，
又CE?平面ADP，PQ?平面ADP，
∴CE∥平面ADP．
（2）分别取BC、AP的中点M、N，则MN⊥BC，
∵DB＝DC，
∴DM⊥BC，
又MN∩DM＝M，MN、DM?平面DMN，
∴BC⊥平面DMN，
∴BC⊥DN，
∵AB＝2AD，P为线段DC的中点，
∴AD＝PD，
∴DN⊥PA，
又PA、BC?平面ABCP，且PA与BC相交，
∴DN⊥平面ABCP，
∵DN?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面ABCP．
20．（12分）2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV﹣4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月20日 2月20日 3月20日 4月20日 5月20日 6月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：＝＝，＝）
解：（1）由表中2月至5月份的数据，
得＝（11+13+12+8）＝＝11，＝（25+29+26+16）＝＝24，
故有（xi﹣）（yi﹣）＝0×1+2×5+1×2+（﹣3）×（﹣8）＝36，
（xi﹣）2＝02+22+12+（﹣3）2＝14，
由参考公式得＝，由＝得＝﹣，
即y关于x的线性回归方程＝x+＝x﹣．
（2）由1月份数据得当x＝10时，＝×10﹣＝．
|﹣22|＝＜2，
由6月份数据得当x＝6时，＝×6﹣＝．
|﹣22|＝＜2，
则该小组所得线性回归方程是理想的．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1的中点．
（1）求证：A1A⊥AB；
（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值．
解：（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，AB1∩A1B＝O，
∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B，
∵CO⊥平面ABB1A1，∴以O为原点，OA1为x轴，OA为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝，则A1（1，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，0），
∵?＝1﹣1＝0，∴A1A⊥AB．
（2）解：C（0，0，1），C1（1，﹣1，1），D（1，﹣，），O（0，0，0），
＝（1，﹣，），＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），
设平面A1ACC1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
设直线OD与平面A1ACC1所成角为θ，
则直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
22．（12分）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．
解：（1）当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为，
∵CD与AB垂直，∴直线CD的斜率为﹣，
∴直线CD的方程为y＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣2＝0．
（2）当直线AB与x轴垂直时，AB＝2，CD＝4，
∴四边形ACBD的面积S＝，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
则直线CD方程为y＝﹣，即x+ky﹣2＝0，
点O到直线AB的距离为，
∴AB＝2＝2，
CD＝2＝4，
则四边形ACBD面积S＝＝＝4，
令k2+1＝t＞1（当k＝0时，四边形ACBD不存在），
∴＝4∈（0，4），
∴四边形ABCD面积S的最大值为4．
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