2020-2021学年陕西省西安市莲湖区高一上学期期中数学试卷 （Word版含解析）

2020-2021学年陕西省西安市莲湖区高一（上）期中数学试卷
一．选择题（共12小题）.
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x+2＞2}，则M∪N＝（　　）
A．{x|x≥0} B．{x|0≤x≤2} C．{x|x＞0} D．{x|0＜x≤2}
2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
3．（5分）f（x）＝lnx+2x﹣5的零点一定位于以下的区间（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
4．（5分）若函数f（x）＝x﹣1，且f（a）＝8，则a＝（　　）
A．9 B．11 C．10 D．8
5．（5分）下列函数中与函数y＝|x|值域相同的是（　　）
A．y＝log3x B．y＝2x C． D．y＝x2﹣4x+4
6．（5分）若函数f（x）＝x2+mx+5在区间[1，5]上单调递增，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣10，+∞） D．（﹣∞，﹣10]
7．（5分）已知a＝，b＝ln0.9，c＝lnπ，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
8．（5分）已知全集为U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7}，C＝{7}，则下列Venn图中阴影部分表示集合C的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣m+n（a＞0，且a≠1，m，n为常数）的图象恒过点（3，2），则m+n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）若函数f（x+1）的定义域[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，2]
11．（5分）已知函数f（x）＝|log2x|，在[，m]上的值域为[0，4]，则f（）的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，3]
12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则λ的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2）∪[3，+∞） B．[1，2）∪[3，+∞）
C．[1，2）∪（2，+∞） D．[1，+∞）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设集合A＝{a，2a2}，B＝{1，a+b}，若A∩B＝{﹣1}，则实数b＝　 　．
14．（5分）已知幂函数的图象过点（2，8），则＝　 　．
15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（4）＝3，则满足f（x+1）＜3的x的取值范围是　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝在[﹣n，n]（n＞0）上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，P＝{x|x≤0或x≥}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）求（?UB）∩P，（?UB）∪P．
18．（12分）（1）计算：lg200﹣lg2；
（2）若log2（log3x）＝log3（log2y）＝2，求y﹣x的值．
19．（12分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2．
（1）求f（f（﹣2））的值；
（2）求函数f（x）在R上的解析式．
20．（12分）已知二次函数f（x）的图象经过A（0，﹣3），B（2，3），C（1，﹣1）三点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+mx在（3，8）上有最小值，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知集合A＝{x|x﹣4＞0}，集合B＝{x|3﹣2x≤x≤10﹣x}，集合C＝{x|m＜x＜2m﹣3}．
（1）求（?RA）∩B；
（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并判断f（x）的单调性；
（2）已知m＞0，且m≠1，不等式f（logm2）+f（﹣1）+2＜g（0）成立，求m的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x+2＞2}，则M∪N＝（　　）
A．{x|x≥0} B．{x|0≤x≤2} C．{x|x＞0} D．{x|0＜x≤2}
解：由M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x+2＞2}＝{x|x＞0}，
则M∪N＝[0，+∞），
故选：A．
2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
解：由题意得：
，解得：0＜x＜1，
故函数的定义域是（0，1），
故选：C．
3．（5分）f（x）＝lnx+2x﹣5的零点一定位于以下的区间（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
解：由零点存在性定理得来，f（a）f（b）＜0，即可确定零点存在的区间．
对于选项A，由于f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，故不能确定在（1，2）内存在零点
对于选项B，由于f（3）＝ln3+1＞0，故在（2，3）存在零点
对于选项C，D由于区间端点都为正，故不能确定在（3，4）与（4，5）中存在零点
综上知，在区间（2，3）存在零点
故选：B．
4．（5分）若函数f（x）＝x﹣1，且f（a）＝8，则a＝（　　）
A．9 B．11 C．10 D．8
解：根据题意，若函数f（x）＝x﹣1，
则f（a）＝a﹣1＝8，解可得a＝9，
故选：A．
5．（5分）下列函数中与函数y＝|x|值域相同的是（　　）
A．y＝log3x B．y＝2x C． D．y＝x2﹣4x+4
解：函数y＝|x|的值域为[0，+∞），
选项A，y＝log3x的值域为R；
选项A，y＝2x的值域为（0，+∞）；
选项A，y＝的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
选项D，y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，其值域为[0，+∞）．
故选：D．
6．（5分）若函数f（x）＝x2+mx+5在区间[1，5]上单调递增，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣10，+∞） D．（﹣∞，﹣10]
解：∵f（x）＝x2+mx+5在区间[1，5]上单调递增，
∴﹣，
故m≥﹣2．
故选：A．
7．（5分）已知a＝，b＝ln0.9，c＝lnπ，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
解：∵0＜a＝＜1，
b＝ln0.9＜ln1＝0，c＝lnπ＞ln3＝1，
故b＜a＜c，
故选：D．
8．（5分）已知全集为U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7}，C＝{7}，则下列Venn图中阴影部分表示集合C的是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵全集为U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{1，3，5，7}，C＝{7}，
∴C＝（?UA）∩B．
故选：B．
9．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣m+n（a＞0，且a≠1，m，n为常数）的图象恒过点（3，2），则m+n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：由题意得：2＝a3﹣m+n，
则，解得：，
故m+n＝4，
故选：B．
10．（5分）若函数f（x+1）的定义域[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，2]
解：由函数f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，
则0≤x+1≤2，
所以函数f（x）的定义域为[0，2]，
故选：C．
11．（5分）已知函数f（x）＝|log2x|，在[，m]上的值域为[0，4]，则f（）的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，3]
解：∵f（x）＝|log2x|，f（x）在的值域为[0，4]，
∴1≤m≤16，
∴，
∴，
∴的取值范围是[0，3]．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则λ的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2）∪[3，+∞） B．[1，2）∪[3，+∞）
C．[1，2）∪（2，+∞） D．[1，+∞）
解：令x2﹣2x﹣3＝0，可得x＝﹣1或x＝3，
令ln（x﹣1）＝0，可得x＝2，
∵x﹣1＞0，可得x＞1．
则λ≥1．
作出图象
结合图象可得1≤λ＜2或λ≥3时，f（x）恰有两零点．
故选：B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设集合A＝{a，2a2}，B＝{1，a+b}，若A∩B＝{﹣1}，则实数b＝　0　．
解：∵A∩B＝{﹣1}，
∴﹣1∈A，﹣1∈B，
∴，解得b＝0．
故答案为：0．
14．（5分）已知幂函数的图象过点（2，8），则＝　　．
解：∵幂函数f（x）＝xa的图象过点（2，8），
∴2a＝8，解得a＝3，
∴f（x）＝x3，
∴＝（）3＝．
故答案为：．
15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（4）＝3，则满足f（x+1）＜3的x的取值范围是　（﹣5，3）　．
解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（4）＝3，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
由f（x+1）＜3＝f（4），
∴﹣4＜x+1＜4，
解得，﹣5＜x＜3．
故答案为：（﹣5，3）．
16．（5分）已知函数f（x）＝在[﹣n，n]（n＞0）上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　1　．
解：因为，
则函数f（x）关于点对称，
所以M+m＝1．
故答案为：1．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，P＝{x|x≤0或x≥}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）求（?UB）∩P，（?UB）∪P．
解：（1）∵A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤4}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}；
（2）?UB＝{x|x＜﹣2或x＞2}，
∴，（?UB）∪P＝{x|x≤0或x＞2}．
18．（12分）（1）计算：lg200﹣lg2；
（2）若log2（log3x）＝log3（log2y）＝2，求y﹣x的值．
解：（1）原式＝3+3+lg2+2﹣lg2＝8；
（2）∵log2（log3x）＝log3（log2y）＝2，
∴log3x＝4，log2y＝9，
∴x＝34＝81，y＝29＝512，
∴y﹣x＝512﹣81＝431．
19．（12分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2．
（1）求f（f（﹣2））的值；
（2）求函数f（x）在R上的解析式．
解：（1）根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣2．则f（2）＝2﹣2＝0，
又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，
则f（f（﹣2））＝f（0）＝0，
（2）f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣2，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x+2，
故f（x）＝．
20．（12分）已知二次函数f（x）的图象经过A（0，﹣3），B（2，3），C（1，﹣1）三点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+mx在（3，8）上有最小值，求实数m的取值范围．
解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），
由题意可得，，
解得，a＝1，b＝1，c＝﹣3，
故f（x）＝x2+x﹣3．
（2）因为g（x）＝f（x）+mx＝x2+（m+1）x﹣3在（3，8）上有最小值，
所以，
解得，﹣17＜m＜﹣7．
21．（12分）已知集合A＝{x|x﹣4＞0}，集合B＝{x|3﹣2x≤x≤10﹣x}，集合C＝{x|m＜x＜2m﹣3}．
（1）求（?RA）∩B；
（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．
解：（1）∵A＝{x|x＞4}，B＝{x|1≤x≤5}，
∴?RA＝{x|x≤4}，（?RA）∩B＝[1，4]；
（2）∵A∪C＝A，∴C?A，
∴①C＝?时，m≥2m﹣3，解得m≤3；
②C≠?时，，解得m≥4，
∴m的取值范围为{m|m≤3或m≥4}．
22．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并判断f（x）的单调性；
（2）已知m＞0，且m≠1，不等式f（logm2）+f（﹣1）+2＜g（0）成立，求m的取值范围．
解：（1）∵函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
∵f（x）+g（x）＝2?2x，用﹣x代替x得f（﹣x）+g（﹣x）＝2x+1＝2?2﹣x，
则，解方程得f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝2x+2﹣x，
∵y＝2x为增函数，y＝﹣2﹣x＝﹣也为增函数，
由增函数+增函数＝增函数，
可得f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数．
（2）∵g（x）＝2x+2﹣x，∴g（0）＝2，
所以不等式f（logm2）+f（﹣1）+2＜g（0）成立，
即f（logm2）+f（﹣1）+2＜2，即f（logm2）＜﹣f（﹣1），
∵函数f（x）是定义在一、选择题上的奇函数，
∴f（logm2）＜f（1），
又∵f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，∴logm2＜1，
①当0＜m＜1时，logm2＜logm1＝0＜1，成立，
②当m＞1时，logm2＜1＝logmm，
由于函数y＝logmx为增函数，∴m＞2．
综上，m的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．