2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试卷 （Word版含解析）

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
2．（5分）命题“?x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（　　）
A．?x0≤1，x02﹣x0＞0 B．?x0＞1，x02﹣x0≤0
C．?x＞1，x2﹣x≤0 D．?x≤1，x2﹣x＞0
3．（5分）已知lg2＝a，lg3＝b，则lg120＝（　　）
A．1+a+b B．1+a+2b C．1+2a+b D．2+2a+b
4．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（　　）
A．5 B．10 C．10 D．20
6．（5分）设x∈R，则“x＞1”是x2﹣7x+9＜0的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且f（7）＝3f（3）+3，则f（5）＝（　　）
A．16 B．8 C．6 D．2
8．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）
（注：e为自然对数的底数，ln9≈2.2）
A．60 B．62 C．66 D．69
二、多项选择题（共4小题）.
9．（5分）下列四个函数中为减函数的是（　　）
A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝
C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝2x2（x＜0）
10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，n∈N*，则an＞bn B．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则
11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A．a2+b2≥ B．a﹣b＞﹣1 C．+ D．ab≥
12．（5分）取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　）
A．?x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．?x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1
C．?x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．?x∈R，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第15题第一空2分，第二空3分）。
13．（5分）函数y＝的定义域是　 　．
14．（5分）海伦公式亦叫海伦﹣秦九韶公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　 　．
15．（5分）函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是　 　，a2020的值是　 　．
x 1 2 3 4
f（x） 3 1 2 4
16．（5分）已知a＞b＞1，若，则ab＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求下列各式的值
（1）（2）﹣（lg5）0+（）；
（2）log49﹣log2+2+log23?log34．
18．（12分）设不等式x2≤5x﹣4的解集为A，关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为M．
（1）求集合A；
（2）条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知集合A＝{1，2}，函数f（x）＝x2+ax+b．
（1）若f（1）＝0，且对于任意实数x，均有f（x）≥f（1）成立，求a，b的值；
（2）B＝{x|f（x）＝0}，若{1}?B?A，求a，b的值．
20．（12分）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
21．（12分）已知函数g（x）＝x3．
（1）证明函数g（x）＝x3在R上是增函数；
（2）一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有﹣x∈A，并且f（﹣x）＝﹣f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数．证明函数g（x）＝x3是奇函数；
（3）解不等式（2x﹣1）3+x3＞0．
（参考公式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2））
22．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足，则称f（x）为“局部反比例对称函数”．
（1）已知一次函数，试判断f（x）是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由；
（2）若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣7是定义在区间[1，+∞）上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，
故选：D．
2．（5分）命题“?x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（　　）
A．?x0≤1，x02﹣x0＞0 B．?x0＞1，x02﹣x0≤0
C．?x＞1，x2﹣x≤0 D．?x≤1，x2﹣x＞0
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x＞1，x2﹣x＞0”的否定是：?x0＞1，x02﹣x0≤0．
故选：B．
3．（5分）已知lg2＝a，lg3＝b，则lg120＝（　　）
A．1+a+b B．1+a+2b C．1+2a+b D．2+2a+b
解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴lg120＝lg（10×3×4）＝lg10+lg3+2lg2＝1+b+2a．
故选：C．
4．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
5．（5分）若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（　　）
A．5 B．10 C．10 D．20
解：设直角三角形的直角边分别为a，b，则ab＝100，（a＞0，b＞0），
故a+b＝20，
当且仅当a＝b＝10时取等号．
故选：D．
6．（5分）设x∈R，则“x＞1”是x2﹣7x+9＜0的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由x2﹣7x+9＜0，解得：＜x＜，
故x＞1是是x2﹣7x+9＜0的必要不充分条件，
故选：B．
7．（5分）已知函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且f（7）＝3f（3）+3，则f（5）＝（　　）
A．16 B．8 C．6 D．2
解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），则f（7）＝2f（5），f（5）＝2f（3），
又由f（7）＝3f（3）+3，即2f（5）＝f（5）+3，解可得f（5）＝6，
故选：C．
8．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）
（注：e为自然对数的底数，ln9≈2.2）
A．60 B．62 C．66 D．69
解：由题意可知，，
即，，
两边取对数，，
即，t＝62.17，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）下列四个函数中为减函数的是（　　）
A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝
C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝2x2（x＜0）
解：对于A，f（x）＝﹣2x+1为R上的减函数，故A符合题意；
对于B，f（x）＝在（﹣∞，0），（0，+∞）为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝x+1为R上的增函数，不符合题意；
对于D，函数f（x）＝2x2（x＜0）在定义域（﹣∞，0）上为减函数，符合题意．
故选：AD．
10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，n∈N*，则an＞bn B．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则
解：A．当a＞b，n∈N*，取a＝1，b＝﹣2，则an＞bn不成立，故A错误；
B．当a＞b，c＜d时，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故B正确；
C．当ac2＞bc2时，由不等式的基本性质知a＞b，故C正确；
D．当a＞b时，取a＝0，b＝﹣1，则不成立，故D错误．
故选：BC．
11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A．a2+b2≥ B．a﹣b＞﹣1 C．+ D．ab≥
解：对于A：a2+b2﹣＝（a+b）2﹣2ab﹣＝﹣2ab≥﹣＝0，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，故A正确；
对于B：a﹣b+1＝a﹣b+a+b＝2a＞0，故B正确；
对于C：a+2+b﹣2＝2﹣1≤a+b﹣1＝0，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，故C正确；
对于D：ab﹣≤﹣＝0，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，故D错误；
故选：ABC．
12．（5分）取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　）
A．?x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．?x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1
C．?x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．?x∈R，
解：对于A，当x＝1.7时，3x＝5.1，则[3x]＝5，3[x]＝3，则[3x]＝3[x]+2，故A正确；
对于B，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，故B正确；
对于C，设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1），
则[x+y]＝[[x]+a+[y]+b]＝[[x]+[y]+a+b]＝[x]+[y]+[a+b]，
当a+b∈[0，1）时，[a+b]＝0，则[x+y]＝[x]+[y]；
当a+b∈[1，2）时，[a+b]＝1，则[x+y]＝[x]+[y]+1≥[x]+[y]，
故C错误；
对于D，设[x]＝x﹣a，[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，
当a∈[0，）时，a+∈[，1），则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝[2[x]+2a]，
∵a∈[0，），∴2a∈[0，1），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＝[x]+[x+]，
当a∈[，1）时，a+∈[1，），则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]＝[2[x]+2a]，
∵a∈[，1），∴2a∈[1，2），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+1＝[x]+[x+]．
故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第15题第一空2分，第二空3分）。
13．（5分）函数y＝的定义域是　[﹣1，7]　．
解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，
解得：﹣1≤x≤7．
∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．
故答案为：[﹣1，7]．
14．（5分）海伦公式亦叫海伦﹣秦九韶公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　　．
解：由海伦公式可知，
不妨设a＝2，则b+c＝8，
则，
当且仅当5﹣b＝5﹣c，即b＝c＝4时，等号成立．
所以三角形面积的最大值为．
故答案为：．
15．（5分）函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是　3　，a2020的值是　1　．
x 1 2 3 4
f（x） 3 1 2 4
解：an+1＝f（an），a1＝1．
∴a2＝f（1）＝3，
a3＝f（a2）＝f（3）＝2，
a4＝f（a3）＝f（2）＝1，…，
∴an+3＝an．
∴a20120＝a673×3+1＝a1＝1．
故答案为：3；﹣1．
16．（5分）已知a＞b＞1，若，则ab＝　9　．
解：∵a＞b＞1，∴logab＜1，
∴解，得，
∴，即a＝b3，且ab＝ba，
∴，
∴b3＝3b，且b＞1，
∴，，
∴ab＝9．
故答案为：9．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求下列各式的值
（1）（2）﹣（lg5）0+（）；
（2）log49﹣log2+2+log23?log34．
解：（1）原式＝
＝
＝2；
（2）原式＝
＝log23﹣log23+5+3+2
＝5+3+2
＝10
18．（12分）设不等式x2≤5x﹣4的解集为A，关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为M．
（1）求集合A；
（2）条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1）x2≤5x﹣4即（x﹣1）（x﹣4）≤0，故A＝[1，4]；
（2）∵x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，
∴（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1，
故M＝[a，a+1]，
∵条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，
∴M?A，故，解得：1≤a≤3，
故实数a的取值范围是[1，3]．
19．（12分）已知集合A＝{1，2}，函数f（x）＝x2+ax+b．
（1）若f（1）＝0，且对于任意实数x，均有f（x）≥f（1）成立，求a，b的值；
（2）B＝{x|f（x）＝0}，若{1}?B?A，求a，b的值．
解：（1）由f（1）＝0，得：b＝﹣a﹣1，
∵对于任意实数x，均有f（x）≥f（1）成立，
∴x2+ax+b≥0，即x2+ax﹣a﹣1≥0恒成立，
故△＝a2+4（a+1）≤0，即（a+2）2≤0，
故a＝﹣2，b＝﹣a﹣1＝1；
（2）若{1}?B?A，
则B＝{1}或B＝{1，2}，
①当B＝{1}时，即f（x）≥f（1）＝0，
由（1）知，a＝﹣2，b＝1，
②当B＝{1，2}时，即x＝1，x＝2是方程f（x）＝0的两个根，
故f（1）＝1+a+b＝0，f（2）＝4+2a+b＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
综上：a＝﹣2，b＝1或a＝﹣3，b＝2．
20．（12分）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
解：（1）设提价a元，由题意，每瓶饮料利润为a+5元，月销量为8﹣0.2a万瓶，所以提价后月总销售利润为（a+5）（8﹣0.2a）万元，
因为原来月销售总利润为5×8＝40万元，月利润不低于原来月利润，所以，
（a+5）（8﹣0.2a）≥40，
即，a2﹣35a≤0，
所以0≤a≤35，所以售价最多为a+15＝50，
故该饮料每瓶售价最多为50元；
（2）由题意，每瓶利润为x﹣10元，月销售量8﹣＝8﹣万瓶，
设下月总利润为y＝（x﹣10）（8﹣）﹣，x≥16，
整理得，y＝﹣＝﹣[+47.45，
因为x≥16，所以x﹣15≥1，∴y≤﹣2+47.45＝45.45，当且仅当x＝19时取到等号，
故当售价为19元时，下月的利润最大为45.45万元．
21．（12分）已知函数g（x）＝x3．
（1）证明函数g（x）＝x3在R上是增函数；
（2）一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有﹣x∈A，并且f（﹣x）＝﹣f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数．证明函数g（x）＝x3是奇函数；
（3）解不等式（2x﹣1）3+x3＞0．
（参考公式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2））
【解答】证明（1）：设任意x1＜x2，
那么g（x1）﹣g（x2）＝＝＝，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
而＞0，
则那么g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），
故得函数g（x）＝x3在R上是增函数；
证明（2）：由x∈R，则﹣x∈R，
∵g（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣g（x），
∴g（x）＝x3是奇函数．
解（3）：不等式（2x﹣1）3+x3＞0．
即（2x﹣1）3+＞﹣x3，
由（1）和（2）的结论可得：2x﹣1＞﹣x，
解得x，
故得原不等式的解集为（，+∞）．
22．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足，则称f（x）为“局部反比例对称函数”．
（1）已知一次函数，试判断f（x）是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由；
（2）若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣7是定义在区间[1，+∞）上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围．
解：（1）假设f（x）是“局部反比例对称函数“，
则存在x≠0，f（）＝﹣f（x），即+＝﹣x﹣，
整理得x2+x+1＝0，因为x2+x+1＝（x+）2+＞0，
即f（）＝﹣f（x）无解，
所以f（x）不是“局部反比例对称函数“．
（2）因为f（x）是“局部反比例对称函数“，
则存在x∈[1，+∞），f（）＝﹣f（x），即﹣2m+m2﹣7＝﹣x2+2mx+7﹣m2，
化简得+x2﹣2m（x+）+2m2﹣14＝0，
变形为（x+）2﹣2m（x+）+2m2﹣16＝0，
令t＝h（x）＝x+，
设x1＞x2≥1，由h（x1）﹣h（x2）＝﹣＝﹣+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（），
因为x1＞x2≥1，所以x1﹣x2＞0，x1x2＞1，所以（x1﹣x2）（）＞0，
所以h（x1）﹣h（x2）＞0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（1）＝2，且x→+∞时，x+→+∞，
所以t∈[2，+∞），
设g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣16，
所以当t∈[2，+∞）时，g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣16有解，
①若m≤2，g（2）＝4﹣4m+2m2﹣16≤0，
即m2﹣2m﹣6≤0，所以1﹣≤m≤1+，
所以1﹣≤m≤2．
②若m＞2，△＝（2m）2﹣4（2m2﹣16）≥0，
即m2≤16，所以﹣4≤m≤4，
所以2＜m≤4，
综上，实数m的取值范围为[1﹣，4]．