2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期期中数学试卷 （Word版含解析）

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝4，c＝2，△ABC的面积，则a等于（　　）
A． B． C．或 D．
2．（5分），x≤sinx的否定是（　　）
A．，x≤sinx B．，x＞sinx
C．，x＞sinx D．，x≤sinx
3．（5分）已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（　　）
A．20 B．30 C．36 D．40
4．（5分）古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V＝kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V＝kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V＝kD3求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．则实数p值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
6．（5分）设A为平面α上一点，过点A的直线AO在α平面上的射影为AB，AC为α平面内的一条直线，令∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cosθ＝cosθ1cosθ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l与平面α所成的角是，若直线l在α内的射影与α内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC＝AB＝AC＝BC＝4，PA＝，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
二、多项选择题（共4小题）.
9．（5分）双曲线的右焦点为F，右准线为l，点P是双曲线C上一点，记点P到直线l的距离为d，双曲线C的离心率为e，则下列条件中是2d＞PF的充分不必要条件有（　　）
A． B． C．e∈（1，2） D．e∈（1，3）
10．（5分）在直角梯形ABCD中，，AB＝BC＝1，DC＝2，E为DC中点，现将△ADE沿AE折起，得到一个四棱锥D﹣ABCE，则下列命题正确的有（　　）
A．在△ADE沿AE折起的过程中，四棱锥D﹣ABCE体积的最大值为
B．在△ADE沿AE折起的过程中，异面直线AD与BC所成的角恒为
C．在△ADE沿AE折起的过程中，二面角A﹣EC﹣D的在大小为45°
D．在四棱锥D﹣ABCE中，当D在EC上的射影恰好为EC的中点F时，DB与平面ABCE所成的角的正切为
11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列命题正确的有（　　）
A．若A＝45°，b＝4，a＝4，则△ABC有两解
B．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
C．a＞b是sinA＞sinB是充要条件
D．若acosA＝bcosB，则△ABC形状是等腰或直角三角形
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（　　）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
C．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
D．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为椭圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，m≥sinx+cosx恒成立，则m的取值范围为　 　．
14．（5分）已知F（2，0）为椭圆的右焦点．直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率k＝1，则椭圆C的方程为　 　．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若4sin2C＝3sin2B+sinAsinB，，则cosC的最小值为　 　，当cosC最小时，△ABC的面积为　 　．
16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，现将△ABD沿BD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则折得几何体ABCD的外接球的表面积为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知m＞2，p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；q：方程表示双曲线．若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
18．（12分）在①csinA＝a，②sinC＝2sinA，③这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．
在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，_____，b＝4，a＝3．
（1）求C；
（2）若M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB，求CM的长．
19．（12分）如图在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1、AC、A1C1的中点分别为D、E、F．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）若异面直线AA1与BF所成的角为45°，且BC与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．
20．（12分）如图，四边形ABCD的四个顶点共圆，，AB＝14，AD＝15．
（1）求BD和sinA的值；
（2）求四边形ABCD的周长的最大值．
21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．
（1）求证：AB⊥D'C；
（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．
22．（12分）如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为x＝4，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为k1、k2，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点F1，求证：为定值．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝4，c＝2，△ABC的面积，则a等于（　　）
A． B． C．或 D．
解：因为b＝4，c＝2，△ABC的面积＝bcsinA＝sinA，
解得sinA＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝，或，
当A＝时，由余弦定理可得a＝＝＝2，
当A＝时，由余弦定理可得a＝＝＝2，
则a的值为：2，2．
故选：C．
2．（5分），x≤sinx的否定是（　　）
A．，x≤sinx B．，x＞sinx
C．，x＞sinx D．，x≤sinx
解：命题为全称命题，则命题的否定，x＞sinx，
故选：B．
3．（5分）已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（　　）
A．20 B．30 C．36 D．40
解：每个个体被抽到的概率等于＝，
甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 360×＝40，
故选：D．
4．（5分）古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V＝kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V＝kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V＝kD3求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3的值为（　　）
A． B． C． D．
解：直径为a的球的体积V1＝，则k1＝；
如图，
正四面体的棱长为a，则底面外接圆的半径为BF＝，
正四面体的高h＝，
则其体积＝，得k2＝；
正方体的体积，则k3＝1．
∴k1：k2：k3的值为．
故选：B．
5．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．则实数p值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．
可得+1＝，解得p＝．
故选：C．
6．（5分）设A为平面α上一点，过点A的直线AO在α平面上的射影为AB，AC为α平面内的一条直线，令∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cosθ＝cosθ1cosθ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l与平面α所成的角是，若直线l在α内的射影与α内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，θ1＝，θ2＝，
则直线l与直线m所成的角θ满足cosθ＝cosθ1cosθ2＝?cos＝，
又θ∈[0，]，∴θ＝．
故选：C．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC＝AB＝AC＝BC＝4，PA＝，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
解：作AC的中点，作DE∥PC，DF∥AB，连接AF，EF，PF，
异面直线PC与AB所成角即DF和DE所成的角，
如图示：
，
显然DF＝DE＝AB＝PC＝2，
在等边△ABC中，AF＝＝2，
在等边△PBC中，PF＝＝2
而PA＝，故△PAF是等边三角形，故EF＝＝3，
在△DEF中，DF＝2，DE＝2，EF＝3，
故cos∠EDF＝＝﹣，
由异面直线的夹角的范围是（0°，90°]，
故DF和DE所成的角是∠EDF的补角，
故DF和DE所成的角的余弦值是，
即异面直线PC与AB所成角的余弦值是，
故选：A．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'，
由可得AF⊥BF，四边形AFBF'为矩形，
可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，
在直角三角形CBF'中，可得|BC|2+|BF'|2＝|CF'|2，
即为（4t）2+（2a+t）2＝（3t+2a）2，
解得t＝a，
又在直角三角形BFF'中，|BF|2+|BF'|2＝|FF'|2，
即为t2+（2a+t）2＝4c2，
即为a2+9a2＝10a2＝4c2，
即有e＝＝，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）双曲线的右焦点为F，右准线为l，点P是双曲线C上一点，记点P到直线l的距离为d，双曲线C的离心率为e，则下列条件中是2d＞PF的充分不必要条件有（　　）
A． B． C．e∈（1，2） D．e∈（1，3）
解：由双曲线的定义可得e＝，即|PF|＝ed，
2d＞|PF|，即有2d＞ed，可得1＜e＜2，
由充分不必要条件的定义可得A，B正确；C，D不正确．
故选：AB．
10．（5分）在直角梯形ABCD中，，AB＝BC＝1，DC＝2，E为DC中点，现将△ADE沿AE折起，得到一个四棱锥D﹣ABCE，则下列命题正确的有（　　）
A．在△ADE沿AE折起的过程中，四棱锥D﹣ABCE体积的最大值为
B．在△ADE沿AE折起的过程中，异面直线AD与BC所成的角恒为
C．在△ADE沿AE折起的过程中，二面角A﹣EC﹣D的在大小为45°
D．在四棱锥D﹣ABCE中，当D在EC上的射影恰好为EC的中点F时，DB与平面ABCE所成的角的正切为
解：对于A，△ADE沿AE折起得到，四棱锥D﹣ABCE，由四棱锥底面积是固定值，要使得体积最大，
需要四棱锥的高最大，即平面DAE⊥平面ABCD，此时DE⊥CE，由已知得DE＝1，
则VD﹣ABCE＝S△ABCE?DE＝×1×1×1＝，故A正确；
对于B，在△ADE沿AE折起的过程中，AE∥BC，所以异面直线AB与AE所成的角即为AD与BC所成的角，
又AB＝BC＝1，DC＝2，E为DC的中点，可知∠DAE＝，即异面直线AD与BC所成的角恒为，故B正确；
对于C，由翻折前知，AE⊥EC，AE⊥ED，且EC∩ED＝E，则AE⊥平面DEC，又AE?平面ABCE，
所以平面DEC⊥平面ABCE，即二面角二面角A﹣EC﹣D的在大小为，故C错误；
对于D，如图连接DF，BF，由选项C可知，AE⊥平面DEC，又DF?平面DEC，则AE⊥DF，
又由已知得EC⊥DF，且EC∩AE＝E，则DF⊥平面ABCD，所以∠DBF为直线与平面ABCE所成的角，
在直角三角形DFB中，tan∠DBF＝＝＝＝＝，
所以DB与平面ABCE所成的角的正切为，故D正确．
故选：ABD．
11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列命题正确的有（　　）
A．若A＝45°，b＝4，a＝4，则△ABC有两解
B．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
C．a＞b是sinA＞sinB是充要条件
D．若acosA＝bcosB，则△ABC形状是等腰或直角三角形
解：对于A，A＝45°，b＝4，a＝4，所以A＝B＝45°，C＝90°，∴c＝4，△ABC只有一解，故A错；
对于B，假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，
∵A+B+C＝π，∴tanA+tanB+tanC＝tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）＝tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）＝tanAtanBtanC＜0，与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．
△ABC不是直角三角形，直角没有正切值，∴△ABC为锐角三角形，故选项B正确；
对于C，因为由正弦定理可得a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，所以C正确；
对于D，由正弦定理＝，化简已知等式得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，
∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，
则△ABC为等腰或直角三角形，故D正确．
故选：BCD．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（　　）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
C．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
D．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为椭圆
解：对于A，MN＝2，MD＝1，所以DN＝，
则MN的中点到MD中点的距离为，
MN中点的轨迹为以MD中点为圆心，为半径且平行于平面ABCD的圆周，
其面积为π×＝，故A错误；
对于B，BB1⊥平面ABCD，NB即为N到直线BB1的距离，
在平面ABCD内，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，
所以点N的轨迹就是以B为焦点，DC为准线的抛物线，故B正确；
对于C，如图，建立空间直角坐标系，设N（x，y，0），
＝（x，y，﹣2），＝（0，2，0），cos60°＝＝＝，
化简得3y2﹣x2＝4，即﹣＝1，
所以N的轨迹为双曲线，故C正确；
对于D，MN与平面ABCD所成的角为∠MND，所以∠MND＝，
则DN＝，所以点N的轨迹为以D为圆心，为半径的的圆周，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，m≥sinx+cosx恒成立，则m的取值范围为　[，+∞）　．
解：由已知m≥sinx+cosx在（0，）上恒成立，
只需m≥（sinx+cosx）max，
又sinx+cosx＝sin（x+），
当x∈（0，）时，x+∈（），
所以当x+＝即x＝时，（sinx+cosx）max＝1＝，
所以m，
故m的取值范围为：[，+∞）．
14．（5分）已知F（2，0）为椭圆的右焦点．直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率k＝1，则椭圆C的方程为　　．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
则，，
两式作差可得，，
即，
∵直线，直线OP的斜率k＝1，
∴，即a2＝3b2，①
又F（2，0），∴c＝2，则a2＝b2+4，②
联立①②解得a2＝6，b2＝2．
∴椭圆C的方程为．
故答案为：．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若4sin2C＝3sin2B+sinAsinB，，则cosC的最小值为　　，当cosC最小时，△ABC的面积为　　．
解：因为4sin2C＝3sin2B+sinAsinB，
由正弦定理可得4c2＝3b2+ab，可得c2＝（3b2+ab），
由余弦定理可得cosC＝＝＝+﹣≥2﹣＝，当且仅当b＝2a时等号成立，
所以cosC的最小值为．
当cosC最小时，cosC＝，，b＝2a，
由余弦定理可得14＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，
所以解得a＝，b＝，
又sinC＝＝，
则S△ABC＝absinC＝××＝．
故答案为：，．
16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，现将△ABD沿BD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则折得几何体ABCD的外接球的表面积为　π　．
解：如图，设两三角形外心分别为O2，O3，球心为O，BD中点为O1，菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
由题意知∠AO1C＝120°，O1O3＝＝，
∴OO1＝，OO3＝1，CO3＝＝
∴球半径OC＝＝，
∴四面体的外接球的表面积为S＝4π×（）2＝π．
故答案为：π．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知m＞2，p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；q：方程表示双曲线．若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
解：由m＞2且p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；
则2＜m＜4，
由m＞2且q：方程表示双曲线，
则（m﹣t）（m﹣4t）＜0，则t＜m＜4t，
若p是q的充分不必要条件，
则（2，4）?（t，4t），
则，解得：1≤t≤2，
故t的范围是[1，2]．
18．（12分）在①csinA＝a，②sinC＝2sinA，③这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．
在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，_____，b＝4，a＝3．
（1）求C；
（2）若M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB，求CM的长．
解：（1）若选①，csinA＝a，
又由正弦定理，可得csinA＝asinC，
所以sinC＝1，
因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．
若选②，sinC＝2sinA，由正弦定理可得c＝2a，
因为b＝4，a＝3，可得c＝6，
所以cosC＝＝＝﹣＜0，
因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．
若选③，，
可得2b2＝2bccosA（1+tanA），整理可得b＝ccosA+c?cosA?，
由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA+sinC?sinA，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以可得sinAcosC＝sinC?sinA，
因为sinA≠0，可得tanC＝，
由C为锐角，可得C＝，
（2）因为C＝，b＝4，a＝3，
由余弦定理可得c＝＝＝，
因为M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB＝，且，AM+MB＝，
解得AM＝，
所以在△ACM中，由余弦定理AC2+CM2﹣2AC?CM?cos∠ACM＝AM2，
可得16+CM2﹣2×＝（）2，
整理得CM2﹣4CM+＝0，
解得CM＝，或．
19．（12分）如图在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1、AC、A1C1的中点分别为D、E、F．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）若异面直线AA1与BF所成的角为45°，且BC与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．
【解答】（1）证明：∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴BB1⊥平面ABC，
∵AC∥A1C1，AC＝A1C1，
又E，F分别是AC，A1C1的中点，
∴AE＝A1F，
∴四边形AEFA1是平行四边形，
∴EF∥AA1，∴EF⊥平面ABC，
又AC?平面ABC，
∴EF⊥AC，
∵AB＝BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，又BE∩EF＝E，
∴AC⊥平面BEF．
（2）解：∵AA1∥EF，
∴∠BFE为异面直线AA1与BF所成的角，即∠BFE＝45°，
∴EF＝BE，
∵AC⊥平面BEF，∴∠CBE为直线BC与平面BEF所成的角，
∴sin∠CBE＝，∴tan∠BCF＝，∴BE＝2CE，
以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示，
设CE＝1，则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），B1（2，0，2），
∴＝（0，2，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（2，﹣1，2），
设平面BCD的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，
令x1＝1可得＝（1，2，4），
设平面B1CD的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，
令y2＝1可得＝（﹣，1，2），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴二面角B﹣CD﹣B1的余弦值为．
20．（12分）如图，四边形ABCD的四个顶点共圆，，AB＝14，AD＝15．
（1）求BD和sinA的值；
（2）求四边形ABCD的周长的最大值．
解：（1）设BD＝x，∵＝，
整理得：13x2﹣140x﹣13×29＝0，∴（x﹣13×（13x+29）＝0，
解得：x＝13，x＝（舍去）．
∴BD＝13．
又∵在△ABD中，cosA＝，
∴sinA＝．
（2）∵四边形ABCD的四个顶点共圆，
∴∠BAD+∠BCD＝π，∴cos∠BCD＝cos（π﹣∠BAD）＝﹣cosBAD＝﹣，
∴在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2×BC×CD，即1132＝BC2+CD2﹣2×BC×CDcos∠BCD，
∴＝（，
又∵BC×CD≤，当且仅当BC＝CD时取等号，
∴，
∴，∴BC+CD≤，
∴AB+BC+CD+DA≤14+15+＝29，
∴四边形ABCD的周长的最大值为：29．
21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．
（1）求证：AB⊥D'C；
（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：过D′作D′O⊥AB，交AB于O，连接CO，
∵在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，
将△DAB沿AB翻折至△D'AB，
∴CO⊥AB，
∵CO∩D′O＝O，∴AB⊥平面D′OC，
∵D′C?平面D′OC，∴AB⊥D'C．
（2）解：∵在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，
将△DAB沿AB翻折至△D'AB，二面角D'﹣AB﹣C的大小60°，
∴D′O＝CO＝D′C＝＝，
过D′作D′E⊥平面ABC，交CO于点E，则D′E＝＝，
连接BE，则∠D′BE是直线D'B与平面ABC所成的角，
sin∠D′BE＝＝＝，
∴直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值为．
22．（12分）如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为x＝4，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为k1、k2，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点F1，求证：为定值．
解：（1）根据题意可得，
解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）设直线AM的方程为y＝k1（x+2），M（x1，y1）
联立椭圆的方程得（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12＝0，
所以x1﹣2＝，x1×（﹣2）＝，
所以x1＝，y1＝k1（+2）＝，
所以M（，），
设直线BN的方程为y＝k2（x+2），M（x2，y2）
联立椭圆的方程得（3+4k22）x2+16k22x+16k22﹣12＝0，
所以x2×2＝，即x2＝，
所以y2＝k2（﹣2）＝，
所以N（，），
又MN过点F1（﹣1，0），∥，＝（，），＝（，），
所以×﹣×＝0，
即（k1﹣3k2）（4k1k2+3）＝0，
又k1＞0，k2＞0，
所以4k1k2+3＞0，
所以k1＝3k2，即＝3，
所以的定值为3．