2020-2021学年江苏省苏州市高一上学期期中数学试卷 （Word版含解析）

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|﹣4＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜2} C．{x|﹣4＜x＜3} D．{x|x＜3}
2．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞） D．[2，3）∪（3，+∞）
3．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（　　）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B
C．￢p：?x?A，2x∈B D．￢p：?x∈A，2x?B
4．（5分）已知函数f（x）＝x+（x＞﹣2），（　　）
A．f（x）有最小值﹣1 B．f（x）有最大值﹣1
C．f（x）有最小值3 D．f（x）有最大值3
5．（5分）“x≥2”的一个必要不充分条件是（　　）
A．x＞2 B．x2＞2 C．2x﹣4≥0 D．x2＞9
6．（5分）对于?x∈[﹣2，2]，不等式m+x≤恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣ B．m≤﹣2 C．m≤0 D．m≤4
7．（5分）函数y＝（a＞0）的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）定义min（a，b）＝，例如：min（﹣1，﹣2）＝﹣2，min（2，2）＝2，若f（x）＝x2，g（x）＝﹣x2﹣4x+6，则F（x）＝min（f（x），g（x））的最大值为（　　）
A．1 B．8 C．9 D．10
二、多项选择题（共4小题）.
9．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（　　）
A．M∩N B．（?UM）∩N
C．（?UN）∩M D．（?U（M∩N））∩N
10．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列说法正确的有（　　）
A． B．若a+b≥2，则ab≥1
C．若a+b≤2，则ab≤1 D．a3+b3≥a2b+ab2
11．（5分）已知函数f（x）的图象由如图所示的两条线段组成，则（　　）
A．f（f（1））＝3
B．f（2）＞f（0）
C．f（x）＝﹣x+1+2|x﹣1|，x∈[0，4]
D．?a＞0，不等式f（x）≤a的解集为
12．（5分）已知f（x）＝，（常数k≠0），则（　　）
A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减
B．当时，f（x）没有最小值
C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）
D．当k＝﹣3时，?x1≥1，?x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上
13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上是单调递减函数，则实数m的值为　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2）的值为　 　．
15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（2）＝3，且函数y＝f（x）+x为偶函数，则f（﹣2）的值为　 　，函数是　 　函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），关于x的不等式f（x）≤c的解集为A，其中A＝[m，n]，f（x）在集合A上的值域为B，若A＝B，则n﹣m＝　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，集合B＝{x|a﹣1＜x＜a2}．
（1）求?RA；
（2）若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知abc2＝1，a+b+c＝0，c＞0．
（1）求证：；
（2）求c的最小值，并求此时a与b的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．
（1）求f（2）和实数a的值；
（2）求方程f（x）＝f（2）的解．
20．（12分）已知函数．
（1）当x∈[1，5]时，讨论并证明f（x）的单调性，并求f（x）的取值范围；
（2）求不等式f（3x2）+f（3x）≤0的解集．
21．（12分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．
（1）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；
（2）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y取得最大值？（每千米收益计算公式为y＝）
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+b．
（1）若y＝f（x）值域为[0，+∞），且f（1+x）＝f（1﹣x）恒成立，求f（x）的解析式；
（2）若y＝f（f（x））的值域为[0，+∞），
①当a＝﹣2时，求b的值；
②求b关于a的函数关系g（a）．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|﹣4＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣4＜x＜2} C．{x|﹣4＜x＜3} D．{x|x＜3}
解：集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
B＝{x|﹣4＜x＜2}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：A．
2．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞） D．[2，3）∪（3，+∞）
解：由，解得x＞2且x≠3．
∴函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选：C．
3．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（　　）
A．￢p：?x∈A，2x?B B．￢p：?x?A，2x?B
C．￢p：?x?A，2x∈B D．￢p：?x∈A，2x?B
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，
则￢p：?x∈A，2x?B．
故选：D．
4．（5分）已知函数f（x）＝x+（x＞﹣2），（　　）
A．f（x）有最小值﹣1 B．f（x）有最大值﹣1
C．f（x）有最小值3 D．f（x）有最大值3
解：∵x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴≥2+1＝3，当，即x＝﹣1时，取等号，
∴f（x）有最小值3．
故选：C．
5．（5分）“x≥2”的一个必要不充分条件是（　　）
A．x＞2 B．x2＞2 C．2x﹣4≥0 D．x2＞9
解：A．x＞2?“x≥2”，反之不成立，因此x＞2是“x≥2”的充分不必要条件；
B．x2＞2，解得x＞，或x＜﹣，∴由“x≥2”?x2＞2，反之不成立，因此．x2＞2?“x≥2”，反之不成立，因此．x2＞2是“x≥2”的必要不充分条件；
C.2x﹣4≥0，解得x≥2，因此2x﹣4≥0?“x≥2”，即2x﹣4≥0是“x≥2”的充要条件；
D．x2＞9，解得x＞3，或x＜﹣3．因此“x≥2”与x2＞9相互推不出，即“x≥2”是x2＞9的既不充分也不必要条件．
故选：B．
6．（5分）对于?x∈[﹣2，2]，不等式m+x≤恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣ B．m≤﹣2 C．m≤0 D．m≤4
解：对于?x∈[﹣2，2]，不等式m+x≤恒成立，
等价于m≤﹣x在x∈[﹣2，2]上恒成立，
即m≤（﹣x）min，
令f（x）＝﹣x，x∈[﹣2，2]，
因为函数y＝为减函数，函数y＝﹣x为减函数，
减函数+减函数＝减函数，
所以f（x）＝﹣x，x∈[﹣2，2]为减函数，
所以f（x）min＝f（2）＝﹣2，
所以m≤﹣2．
故选：B．
7．（5分）函数y＝（a＞0）的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），
∴y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
令＝0，解得x＝0，函数只有一个零点，
只有选项A符合，
故选：A．
8．（5分）定义min（a，b）＝，例如：min（﹣1，﹣2）＝﹣2，min（2，2）＝2，若f（x）＝x2，g（x）＝﹣x2﹣4x+6，则F（x）＝min（f（x），g（x））的最大值为（　　）
A．1 B．8 C．9 D．10
解：令x2≤﹣x2﹣4x+6，解得﹣3≤x≤1
所以F（x）＝，
当﹣3≤x≤1时，F（x）max＝F（﹣3）＝9，
当x＞1或x＜﹣3时，F（x）无最大值，
综上，函数F（x）的最大值为9，
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（　　）
A．M∩N B．（?UM）∩N
C．（?UN）∩M D．（?U（M∩N））∩N
解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，
∴M∩N＝{5}，（?UM）∩N＝{1，2}，
M∩（?UN）＝{3，4}，
（?U（M∩N））∩N＝{1，2，3，4，6}∩（1，2，5}＝{1，5}．
故选：BD．
10．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列说法正确的有（　　）
A． B．若a+b≥2，则ab≥1
C．若a+b≤2，则ab≤1 D．a3+b3≥a2b+ab2
解：对于A，﹣＝，
因为a＞0，b＞0，当a＞b时，＞，当a＜b时，＜，故A错误；
对于B，a＞0，b＞0，若a+b≥2，取a＝3，b＝，此时ab＝＜1，故B错误；
对于C，a＞0，b＞0，若a+b≤2，则ab≤≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故C正确；
对于D，因为a＞0，b＞0，则a3+b3﹣a2b﹣ab2＝（a﹣b）2（a+b）≥0，故D正确．
故选：CD．
11．（5分）已知函数f（x）的图象由如图所示的两条线段组成，则（　　）
A．f（f（1））＝3
B．f（2）＞f（0）
C．f（x）＝﹣x+1+2|x﹣1|，x∈[0，4]
D．?a＞0，不等式f（x）≤a的解集为
解：由图象可得f（x）＝，
∴f（1）＝0，
∴f（0）＝3，
∴f（f（1））＝3，故A正确；
f（2）＝2﹣1＝1＜f（0），故B错误，
当0≤x≤1时，f（x）＝﹣3x+3，
当1＜x≤4时，f（x）＝x﹣1，故C正确；
由图象可知使得不等式f（x）≤a，其解集为[，A]，其中点A大于2，故D错误．
故选：AC．
12．（5分）已知f（x）＝，（常数k≠0），则（　　）
A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减
B．当时，f（x）没有最小值
C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）
D．当k＝﹣3时，?x1≥1，?x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0
解：选项A：当k＞0时，当x≥1时，函数单调递减，
但是f（1）＝2k+2＞2＞1，而当x趋近于1时，﹣x+2趋近于1，
所以函数在R上不单调，A错误，
选项B：当k＞﹣时，当x＜1时，函数显然没有最小值，
则①当﹣＜k＜0时，此时x≥1时，＞＝1，即函数此时没有最小值，
②当k＞0时，＞2，此时函数仍然没有最小值，
综上，当k＞﹣时，函数没有最小值，B正确，
选项C：当k＝﹣1时，
当x≥1时，f（x）＝﹣+1∈[0，1），
当x＜1时，f（x）＝﹣x+2＞1，
所以此时函数的值域为（0，1）∪（1，+∞），C错误，
选项D：k＝﹣3时，f（x）＝，
当x≥1时，f（x）＝﹣﹣1∈[﹣4，﹣1），
当x＜1时，f（x）＝﹣x+2∈（1，+∞），显然有（1，4]?（1，+∞），
则对任意x1≥1，?x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0，D正确，
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上
13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上是单调递减函数，则实数m的值为　﹣1　．
解：∵f（x）是幂函数，
∴m2﹣2m﹣2＝1，解得：m＝3或m＝﹣1，
m＝3时，f（x）＝x3在（0，+∞）上单调递增，
m＝﹣1时，f（x）＝在（0，+∞）递减，
故m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2）的值为　8　．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（2）＝2f（1）＝4f（0）＝4|0+2|＝8．
故答案为：8．
15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（2）＝3，且函数y＝f（x）+x为偶函数，则f（﹣2）的值为　7　，函数是　奇　函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）．
解：因为f（2）＝3，且函数y＝f（x）+x为偶函数，
所以f（﹣2）﹣2＝f（2）+2，
所以f（﹣2）＝f（2）+4＝7，
令h（x）＝，
因为f（﹣x）﹣x＝f（x）+x，
所以f（﹣x）﹣f（x）＝2x，
则h（﹣x）＝，h（x）＝，
所以h（﹣x）+h（x）＝＝＝＝0，
所以h（﹣x）＝﹣h（x），
故h（x）为奇函数．
故答案为：7，奇．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），关于x的不等式f（x）≤c的解集为A，其中A＝[m，n]，f（x）在集合A上的值域为B，若A＝B，则n﹣m＝　4　．
解：因为x∈[m，n]，f（x）∈[m，n]，f（x）≤c的解集为[m，n]，
所以n＝c，f（x）min＝f（）＝m，
令g（x）＝f（x）﹣c＝f（x）﹣n＝（x﹣m）（x﹣n），
则f（x）＝（x﹣m）（x﹣n）+n，
所以f（）＝（）（）+n＝m，
则﹣，所以n﹣m＝4，
故答案为：4．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，集合B＝{x|a﹣1＜x＜a2}．
（1）求?RA；
（2）若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意得：A＝（1，5），
故?RA＝（﹣∞，1]∪[5，+∞）；
（2）∵a2﹣（a﹣1）＝+＞0，
∴B≠?，
∵A∩B＝?，∴a﹣1≥5或a2≤1，
解得：﹣1≤a≤1或a≥6，
故a的取值范围是[﹣1，1]∪[6，+∞）．
18．（12分）已知abc2＝1，a+b+c＝0，c＞0．
（1）求证：；
（2）求c的最小值，并求此时a与b的值．
【解答】（1）证明：因为abc2＝1，a+b+c＝0，c＞0，
所以ab＝＞0，a+b＝﹣c＜0，
所以a＜0，b＜0，
所以（﹣a）+（﹣b）≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a+b≤﹣2．
（2）解：由（1）得﹣c≤﹣2?，
因为c＞0，所以c≥，
当且仅当，即a＝b＝﹣时等号成立，
所以c的最小值为．
19．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．
（1）求f（2）和实数a的值；
（2）求方程f（x）＝f（2）的解．
解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，
因为x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣4x，
则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）＝﹣x2+4x，
因为f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2+4x，
所以f（x）＝x2﹣4x，
所以a＝﹣4，
（2）原方程等价于或，
解得x＝2或x＝﹣2﹣2，
20．（12分）已知函数．
（1）当x∈[1，5]时，讨论并证明f（x）的单调性，并求f（x）的取值范围；
（2）求不等式f（3x2）+f（3x）≤0的解集．
解：（1）设1≤x1＜x2≤5，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣）＝，
∵x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
当1≤x1＜x2≤3时，x1x2﹣9＜0，
∴f（x1）＞f（x2），f（x）在[1，3]上单调递减，
当3≤x1＜x2≤5时，x1x2﹣9＞0，
∴f（x1）＜f（x2），f（x）在[3，5]上单调递增，
综上，f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）在[3，5]上单调递增，
故当x＝3时，函数取得最小值6，
因为f（1）＝10，f（5）＝，
故f（x）的值域[6，10]，
（2）由（1）可知，f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）在[3，5]上单调递增，
因为f（x）为奇函数且f（3x2）+f（3x）≤0，
所以f（3x2）≤﹣f（3x）＝f（﹣3x），
当x＞0时，f（3x2）＞0，f（﹣3x）＜0，与上式矛盾，舍去，
当x＝﹣1时，成立，
当x＜﹣1时，3x2＞﹣3x＞3，则f（3x2）＞f（﹣3x）矛盾，舍去，
综上不等式的解集{﹣1}．
21．（12分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．
（1）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；
（2）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y取得最大值？（每千米收益计算公式为y＝）
解：（1）由题意可得，
F＝．
设折旧费x＝kx2，将（20，0.1）代入，得0.1＝400k，即k＝，
∴C＝2.3+1.6x+（x＞0）；
（2）∵y＝，
∴．
当x＞3时，由基本不等式，得y，
当且仅当，即x＝100时取等号；
当2≤x≤3时，由y在[2，3]上单调递减，可得x＝2时，＜0.75．
综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100千米时，每千米的收益y取得最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+b．
（1）若y＝f（x）值域为[0，+∞），且f（1+x）＝f（1﹣x）恒成立，求f（x）的解析式；
（2）若y＝f（f（x））的值域为[0，+∞），
①当a＝﹣2时，求b的值；
②求b关于a的函数关系g（a）．
解：函数f（x）＝x2﹣2ax+b的对称轴为x＝a，在（﹣∞，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
（1）因为f（1+x）＝f（1﹣x）恒成立，
所以f（x）的对称轴是x＝1，故a＝1，
因为y＝f（x）值域为[0，+∞），可得△＝4﹣4b＝0，解得b＝1，
所以f（x）＝x2﹣2x+1．
（2）①f（x）＝（x+2）2+b﹣4∈[b﹣4，+∞），设t＝f（x）∈[b﹣4，+∞），
则f（f（x））＝（t+2）2+b﹣4，t∈[b﹣4，+∞），
当b﹣4＜﹣2，即b＜2时，f（f（x））的最小值b﹣4≠0，舍去；
当b﹣4≥2时，f（f（x））的最小值f（b﹣4）＝（b﹣2）2+b﹣4＝0，
解得b＝0（舍）或b＝3，
综上所述，b＝3．
②f（x）＝（x﹣a）2+b﹣a2，记M＝b﹣a2，
设t＝f（x）∈[M，+∞），f（f（x））＝f（t）＝（t﹣a）2+M，
若M≤a，f（t）min＝f（a）＝M＝0，所以a≥0；
反之，若a≥0，只能M＝0，
否则若M＞0，则f（t）≥M＞0与f（t）最小值为0矛盾．
若M＜0，则f（t）min＝f（a）＝M＜0与f（t）最小值为0矛盾．
故a≥0时，M＝0，即b＝a2．
若a＜0，由上述解答过程知M＞a（否则M≤a由a≥0），
f（t）在t∈[M，+∞）上单调递增，f（t）min＝f（M）＝（M﹣a）2+M＝0，
所以M2+﹣（2a﹣1）M+a2＝0，△＝1﹣4a＞0，
所以M＝（若M＝，则M﹣a＝＜0与M＞a矛盾），
所以b﹣a2＝，即b＝a2+．
综上所述，b＝g（a）＝．