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24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
咸安区官埠中学：王寿武
人教版实验教科书九年级上册
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
方法一、利用公共点个数.
方法二、利用d与r的数量关系判定：
d = r 直线与圆相切.
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？
探究新知
思考：点A为⊙O上任意一点，过A点作直线l,
请观察直线l与⊙O有几个公共点？
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线 .
几何符号表达：∵OA是⊙O的半径，OA⊥l于A点
∴ l是⊙O的切线.
探究新知
例1、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C 的直线与AB的延长线交于点P，∠ACO=∠PCB.
求证：PC是⊙O的切线.
O
P
C
A
B
拓展应用
证明：
∵AB为⊙O的直径
∴ ∠ACO + ∠OCB=900
∴ ∠PCB+ ∠OCB =900
∴OC ⊥PC
∴PC为⊙O的切线
∵ ∠ACO=∠PCB
即∠OCP =900
例2、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于 P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A
P
C
D
O
B
证明：连接OP
∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB
∴∠C =∠OPB
∴OP∥AC
又PD ⊥ AC
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用
学后反思
利用切线的判定定理证明圆的切线的一般思路：
A
P
C
D
O
B
1、连接圆心和直线与圆的公共点。（常见辅助线）
2、证明直线与已连的半径垂直。
O
P
C
A
B
探究新知
2、如图，l为⊙O的切线，A为切点，观察并猜想直线l与半径OA有怎样的位置关系
M
定理：圆的切线垂直于过切点的半径
O
l
A
证明:假设OA与l不垂直
作OM⊥l,则
OM 0A(r)
即OM r
∴ ⊙O与直线l相交
这与已知相矛盾
∴假设不成立
∴ OA ⊥l
＜
＜
1.等腰△OAB中，OA=OB ，AB=10
（1）⊙O与AB相切于C点，则AC= .
（2）若C点是AB的中点，⊙O经过点C，
则⊙O与AB的位置关系是 .
O
A
B
C
5
相切
练一练
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=250，则∠ D= .
O
B
A
C
D
400
练一练
例3、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
A
D
C
B
O
（
（
（
（
1
3
4
2
证明：连接OD
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
又AD ∥ OC
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4
∴ ∠2= ∠4
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB
∴∠ODC= ∠ OBC
∵BC与⊙O相切
∴∠OBC=900
∴OD⊥DC
∴DC是⊙O的切线
拓展应用二
∴∠ODC=900
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题：
1、学习了切线的判定定理：
（1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切
（2）利用切线的判定定理判定
2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
注意：解决有关切线的判定与性质运用问题，
连接圆心和切点的半径是常见辅助线
作业巩固
作业：101页：3、4、5题24．2.2直线和圆的位置关系（2）
咸安区官埠中学：王寿武
教学内容：切线的判定及性质.
知识技能：（1）能选择合适的方法判定直线是否为圆的切线.
（2）熟练运用切线的判定、性质综合解题.
过程方法：通过复习直线和圆的位置关系中“d = r 直线和圆相切”为依据，探究切线的判定定理和性质定理.
情感态度：学生经历观察、实验、猜想、证明等活动过程发展合情推理能力和初步演绎能力，能运用数学语言清晰准确的阐明自己的观点.
教学重点：探索圆的切线的判定和性质，并综合运用解题.
教学难点：选择合适的方法证明切线问题及切线判定、性质运用中相关的辅助线作法.
教 学 过 程
一、 情景引入
学生观看视频导出课题——切线的判定与性质.
二、 新知探究
1、 思考：点P为⊙O上任意一点，过P点作直线l，请观察直线l与⊙O有几个公共点？
（1）两个公共点 l与⊙O相交
（2）一个公共点 l与⊙O相切
学生讨论：怎样操作，直线l与⊙O有唯一公共点？
点生回答后老师演示并形成定理
定理：经过半径外端并垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何符号表达：∵OP是⊙O的半径，OP⊥l
∴l是⊙O的切线
三、应用拓展
例1、如图（1），已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C 的直线与AB的延长线交于点P，∠ACO=2∠CB.求证：PC是⊙O的切线
教师分析题意，版演解题步骤
例2、如图（2）△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于 P,PD⊥AC于D.求证：PD是⊙O的切线.
教师分析题意，学生动手操作 ，将学生答案投影共同改正.
引导学生通过例题图例归纳利用切线的判定证明圆的切线的一般思路：
利用切线的判定定理证明圆的切线的一般思路：
（1）、连接圆心和直线与圆的公共点。（常见辅助线）
（2）、证明直线与已连的半径垂直。
2、思考：直线l为⊙O的切线，A为切点，那么OA与l垂直吗？
学生感知，老师利用反证法证明并版书
定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。
练一练1、等腰△OAB中，OA=OB ，AB=10
（1）⊙O与AB相切于C点，则AC=
（2）若C点是AB的中点，⊙O经过点C，则⊙O与AB的位置关系是
2、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，
若∠A=250，则∠D= .
例3、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于
弦AD 求证：DC是⊙O的切线.
教师分析题意，学生板演过程
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题：
1、学习了切线的判定定理：
（1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切.
（2）利用切线的判定定理判定.
2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
注意：解决有关切线的判定与性质运用问题，
连接圆心和切点的半径是常见辅助线.
A
P
C
D
O
B
O
P
C
A
B
（2）
（1）
O
l
A
O
B
A
C
D
O
A
B
C
A
D
C
B
O
