第四章
指数函数与对数函数
4．1 指数
4．1.1 n次方根与分数指数幂
[目标]
1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．
[重点]
利用根式的运算性质对式子进行化简．
[难点]
有条件或复杂根式的化简求值问题．
知识点一 a的n次方根和根式
[填一填]
1．a的n次方根
(1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
(2)表示：n的分类
a的n次方根的符号表示
a的取值范围
n为奇数
a∈R
n为偶数
±
a>0
n为偶数
0
a＝0
2.根式
式子叫做根式，其中根指数是n，被开方数是a.
[答一答]
1.是根式吗？根式一定是无理式吗？
提示：是根式．根式不一定是无理式．如是根式，但不是无理式，因为＝2是有理数．
2．对“根式记号”应关注什么？
提示：当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为(a∈R)；当n为大于1的偶数时，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，从而(±)n＝a.
知识点二 根式的性质
[填一填]
(1)＝0(n∈N
，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N
，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
[答一答]
3．如何确定根式的符号？
提示：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定；①当n为偶数时，a≥0，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致，a>0时，>0；a＝0时，＝0；a<0时，<0.
4.和()n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？
提示：(1)()n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数，存在唯一的x∈R，使x＝，满足xn＝a，即()n＝a；
若n为偶数，只有a≥0时，才有意义，在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±)n＝a；而当a<0时，无意义．
(2)是实数an的n次方根，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
综上可知，①当n为奇数，a∈R时，有＝()n＝a；
②当n为偶数，a≥0时，有＝()n＝a.
类型一 根式的概念问题
[例1] (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)已知x7＝6，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[答案] (1)±4 (2) (3)[2,
＋∞)
[变式训练1] 有下列说法：
①＝3；
②16的4次方根是±2；
③＝±3；
④＝|x＋y|.
其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．
解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，所以③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．故填②④.
类型二 根式的化简与运算
[例2] 求下列各式的值：
(1)－－；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
[分析] 利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
[解] (1)原式＝－－＝－－＝.
(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(3)原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0.
[变式训练2] (1)化简＋的结果是( C )
A．1
B．2a－1
C．1或2a－1
D．0
解析：＋＝a＋|1－a|＝
(2)若＝3a－1，求a的取值范围．
解：因为＝＝|3a－1|＝3a－1，
所以3a－1≥0，所以a≥.
所以a的取值范围为.
类型三 有限制条件的根式化简
[例3] 若代数式＋有意义，化简
＋2.
[分析] 先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．
[解] ∵代数式＋有意义，
∴∴≤x≤2.
∴＋2＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.
进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．
[变式训练3] 设－3
解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
1．下列各式正确的是( A )
A．()3＝a
B．()4＝－7
C．()5＝|a|
D.＝a
2．已知xy≠0，且＝－2xy，则有( A )
A．xy<0
B．xy>0
C．x>0，y>0
D．x<0，y<0
解析：＝＝|2xy|＝－2xy，
∴2xy<0，∴xy<0.
3．已知x<1，化简
＝.
解析：∵x<1，∴原式＝＝＝.
4．若5解析：∵50，a－8<0.
∴原式＝|a－5|＋|a－8|＝(a－5)＋(8－a)＝3.
5．已知a1，n∈N
，化简＋.
解：∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴＋＝
——本课须掌握的三大问题
1．在实数范围内，一个正数的奇次方根是一个正数；一个负数的奇次方根是一个负数．
2．在实数范围内，一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有偶次方根．
3．0的任何次方根都是0.
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-4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
[目标]
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化；2.掌握有理数指数幂的运算性质．
[重点]
根式与分数指数幂的互化．
[难点]
运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值．
知识点一 分数指数幂的意义
[填一填]
[答一答]
1．可不可以理解为个a相乘？它的实质是什么？
2．负数也有分数指数幂吗？
提示：在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如＝就没有意义．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
[填一填]
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
[答一答]
3．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0?
提示：(1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义，
∴(ab)r＝ar·br，当r<0时不成立，∴a≠0.
(2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立，
∴a<0时不成立．因此规定a>0.
4．若a∈R，α、β∈Q，(aα)β一定等于(aβ)α吗？试举例说明．
提示：不一定相等．是没有意义的．
知识点三 无理数指数幂
[填一填]
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[答一答]
5．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a＝－1，则(－1)α是1还是－1就无法确定了，规定后就清楚了．
类型一 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)(x≠0)；
[变式训练1] 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)·；
(2)；
(3)·；
(4)()2·.
类型二 利用有理数指数幂的性质化简与求值
[例2] 计算下列各式：
?1?进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根式为分数指数幂，化小数为分数.
?2?一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要具体对待，一定要注意底数的正负.
[变式训练2] 计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)．
(1)(a·)－3÷；
(2)[(0.027)－1.5]＋[810.25－(－32)0.6－0.02×()－2].
类型三 条件因式的化简与求值
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．
[变式训练3] 已知x＋y＝12，xy＝9，且x
1.·等于( A )
A．－
B．－
C.
D.
解析：由已知，得a≤0，则·＝＝－，故选A.
2．计算－0.01－0.5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的结果为( B )
A．15
B．17
C．35
D．37
解析：原式＝＋－2－(－1)－1＋1＝－10＋52＋1＋1＝17.
解析：原式＝＋4＝－23.
5．已知＝4，求的值．
解：∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16.
∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，
∴x2＋x－2＝194，
∴原式＝＝－3.
——本课须掌握的问题
根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
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-4.2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
[目标]
1.能说出指数函数的定义；2.记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．
[重点]
指数函数的概念、图象、性质．
[难点]
指数函数性质的概括总结．
知识点一 指数函数的概念
[填一填]
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
[答一答]
1．下列函数是指数函数吗？
①y＝3x＋1；②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.
提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．
2．指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内的函数值不存在．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
知识点二 指数函数的图象和性质
[填一填]
[答一答]
3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝()x，y＝()x，y＝()x的图象如图所示，能得到什么规律？
提示：(1)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
(2)当0(3)底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝ax与y＝x图象关于y轴对称．
4．怎样快速画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象？
提示：由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，(－1，)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象．
类型一 指数函数的概念
[例1] (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则( )
A．a＝1或2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
(3)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
[分析] (1)(2)利用指数函数的定义；(3)设f(x)＝ax，采用待定系数法．
[解析] (1)由指数函数的定义可知，只有B符合定义．
(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，
∴∴a＝2.选C.
(3)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝，得a－＝＝3－，
∴a＝3，∴f(x)＝3x，
∴f(－2)＝3－2＝，故填.
[答案] (1)B (2)C (3)
?1?一个函数是指数函数，需满足三个条件：
①底数大于0且不等于1.
②幂指数是单一的自变量x.
③系数为1，且没有其他项.
?2?已知某函数是指数函数求参数值的步骤：
①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程.
②求参数值：解不等式与方程求出参数的值.
[变式训练1] (1)已知指数函数图象经过点P(－1,3)，则f(3)＝.
(2)已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝1.
解析：(1)设指数函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意得a－1＝3，解得a＝，所以f(x)＝x，故f(3)＝3＝.
(2)函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，
∴解得a＝1.
类型二 指数函数的图象
命题视角1：指数函数的底与其图象的关系
[例2] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．aB．bC．1D．a[解析]
由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1[答案] B
设a>b>1>c>d>0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
[变式训练2] 已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( C )
解析：由于0命题视角2：指数函数过定点问题
[例3] 函数y＝a2x＋1＋2(a>0且a≠1)的图象必过定点________．
[解析] 根据指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)，不论a取什么值，总有a0＝1，∴当2x＋1＝0，即x＝－时，y＝3.∴函数的图象必过定点.
[答案]
函数y＝af?x??a>0，且a≠1?过定点可用f?x?＝0，y＝1的方法求出定点坐标.
[变式训练3] (1)函数y＝a3x－1－3(a>0且a≠1)的图象必过定点.
(2)函数f(x)＝a
x2+2x-3＋m(a>1)的图象恒过点(1,10)，则m＝9.
解析：(1)当3x－1＝0，即x＝时，y＝－2，所以函数y＝a3x－1－3(a>0且a≠1)过定点.
(2)由题意f(1)＝10，即a0＋m＝10，∴m＝9.
命题视角3：指数函数的图象变换
[例4] 已知函数y＝|x＋1|.
(1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象；
(2)由图象指出该函数的单调区间；
(3)由图象指出当x取何值时，函数有最值．
[解] (1)y＝|x＋1|＝
其图象如图所示．
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．
与指数函数有关的函数的图象，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到，然后利用图象直观地研究其性质.
[变式训练4] 函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( D )
解析：当a>1时，y＝ax－为增函数，函数y＝ax－的图象可由y＝ax的图象向下平移∈(0,1)个单位得到，A、B均不符合要求；
当0函数y＝ax－的图象可由y＝ax的图象向下平移>1个单位得到，C不符合，D符合，所以选D.
类型三
指数函数的定义域与值域
[例5] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝2
eq
\s\up15(
)
；
(3)y＝；(4)y＝
x2-2x-3.
[解] (1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1.
∴y＝的值域为[0,1)．
(2)由x－1≠0得x≠1，
∴函数y＝2
eq
\s\up15(
)
的定义域为{x|x∈R且x≠1}．
∵≠0，∴2
eq
\s\up15(
)
≠1，
∴y＝2
eq
\s\up15(
)
的值域为{y|y>0且y≠1}．
(3)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝0＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
(4)易知函数y＝
x2-2x-3的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴
x2-2x-3≤－4＝16.
又
x2-2x-3>0，
∴函数y＝
x2-2x-3的值域为(0,16]．
1.函数y＝af?x?的定义域与函数f?x?的定义域相同，值域要先确定f?x?的值域，再根据y＝ax的单调性确定y＝af?x?的值域.
2.求函数y＝f?ax?的定义域，需先确定y＝f?u?的定义域，即u＝ax的值域，由此确定x满足的不等式?组?，再利用单调性求x的范围；求函数y＝f?ax?的值域，需先利用单调性求u＝ax的值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f?u?的值域，即函数y＝f?ax?的值域.
[变式训练5] (1)已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为0(2)函数f(x)＝()x－1，x∈[－1,2]的值域为.
解析：(1)由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0(2)函数y＝x在区间[－1,2]上是减函数，
所以2≤x≤－1，即≤x≤3.
于是－1≤f(x)≤3－1，即－≤f(x)≤2.
1．给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由指数函数的定义可知只有③是指数函数．
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则( C )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0解析：结合指数函数的图象知b>1,03．函数f(x)＝3x－3(1A．(0，＋∞)
B．(0,9)
C.
D.
解析：由1则3－2<3x－3≤32，即4．函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4,6)，则b＝5.
解析：∵当x＝4时y＝6，即34－4＋b＝6，
化简，得30＋b＝6，b＝5.
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1.于是0所以函数的值域为(0,2]．
——本课须掌握的三大问题
1．指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上．显然y＝xa不是指数函数，这一点要特别注意．
2．指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，y＝3·2x不是指数函数，y＝2x＋1也不是指数函数．
3．当01时，x→－∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x接近于正无穷大”)
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-4．2.2 指数函数的应用
[目标]
1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域．
[重点]
指数函数单调性的应用．
[难点]
求指数型函数的值域．
知识点一
比较幂的大小
[填一填]
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
[答一答]
1．af(x)与()g(x)(a>0，且a≠1)如何比较大小？
提示：化为同底的幂值，比如可将g(x)化为a－g(x)．
知识点二 指数函数型复合函数
[填一填]
指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a>0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．
形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0[答一答]
2．讨论函数y＝－x2＋2x的单调性．
提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论．
函数y＝－x2＋2x的定义域为R，
令u＝－x2＋2x，则y＝u.列表如下：
由表可知，原函数在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
类型一 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－与0.70.3；(3)0.7－1与0.6.
[分析] 底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．
[解] (1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π<－3，∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－≈0.268<0.3，∴0.72－>0.70.3.
(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1<0，
∴0.7－1>0.70＝1.
∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且>0，
∴0.6<0.60＝1.∴0.7－1>0.6.
对于幂的大小比较，一般规律为：
?1?同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.
?2?既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较.
[变式训练1] 比较下列各题中两个值的大小：
(1)－1.8，－2.5；
(2)－0.5，－0.5；
(3)0.20.3,0.30.2.
解：(1)因为0<<1，
所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
类型二 解简单的指数不等式
[例2] (1)解不等式2x－1≤2；
(2)若a－3x>ax＋4(a>0且a≠1)．求x的取值范围．
[解] (1)2x－1＝(2－1)2x－1＝21－2x.
因此原不等式等价于21－2x≤21，
又y＝2x是R上的增函数，所以1－2x≤1.所以x≥0.
因此原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)①当0由y＝ax在R上单调递减得－3x解得x>－1.
②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，
即－4x>4.解得x<－1.
综上，当0当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)．
解与指数有关的不等式时，需注意的问题：
?1?形如ax>ay的不等式，借助y＝ax?a>0，且a≠1?的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0?2?形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax?a>0，且a≠1?的单调性求解；
?3?形如ax>bx的形式，利用图象求解.
[变式训练2] 根据下列条件，确定实数x的取值范围．
(1)0.23x－1>；(2)<1－4x(a>0且a≠1)．
解：(1)原不等式可化为51－3x>5－2.
∵函数y＝5x在R上是增函数，
∴1－3x>－2，即x<1.
故满足条件的实数x的取值范围是(－∞，1)．
(2)原不等式可化为a4x－1>a
eq
\s\up15(
)
.
∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，
当a>1时，y是增函数，当0故当a>1时，由4x－1>知x>；
当0综上可知，当a>1时，x的取值范围是，当0类型三 指数函数的单调区间
[例3] 判断f(x)＝()x2-2x的单调性，并求其值域．
[分析] 先利用复合函数单调性判断f(x)的单调性，再利用单调性求值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝()x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)，
∵01.关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过计算f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．
[变式训练3] 求函数y＝2的单调区间．
解：∵－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，
∴－1≤x≤3.
∴函数的定义域为[－1,3]，函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∵y＝2u为增函数，
∴函数y＝2在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2的单调增区间是[－1，1]，减区间是[1,3]．
1．函数y＝1－x的单调递增区间为( A )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：函数定义域为R，设u＝1－x，y＝u.
∵u＝1－x在R上为减函数，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( B )
A．(1，＋∞)
B.
C．(－∞，1)
D.
解析：原式等价于2a＋1>3－2a，解得a>.
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( D )
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，
即y1>y3>y2，故选D.
4．某种细菌在培养过程中，每20
min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3
h，这种细菌由1个可繁殖成512个．
解析：3
h＝9×20
min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．
5．已知函数y＝x2-6x+17.
(1)求此函数的定义域，值域．
(2)确定函数的单调区间．
解：(1)定义域为R，∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
0<<1，∴0<
x2-6x+17≤8＝，
∴函数的值域为.
(2)令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8，则y＝t.
∵0<<1，∴y＝()t为减函数，
又∵t＝x2－6x＋17在(－∞，3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
∴函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．
——本课须掌握的两大问题
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay?x>y；当0ay?xPAGE
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7
-4.3 对数
4．3.1 对数的概念
[目标]
1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．
[重点]
对数的概念及对数的性质．
[难点]
对数概念的理解及对数性质的应用．
知识点一 对数的概念
[填一填]
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N?x＝logaN.
2．两种重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.
(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.
[答一答]
1．在对数概念中，为什么规定a>0且a≠1呢？
提示：(1)若a<0，则N取某些数值时，logaN不存在，为此规定a不能小于0.
(2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.
(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.
2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)
(2)对数式log32与log23的意义一样．(×)
(3)对数的运算实质是求幂指数．(√)
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(×)
知识点二 对数的基本性质
[填一填]
1．对数的性质
(1)负数和零没有对数；
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
2．对数恒等式
alogaN＝N.
[答一答]
3．为什么零与负数没有对数？
提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)?ax＝N(a>0，且a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没有对数．
4．你知道式子alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)为什么成立吗？
提示：此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N.
类型一 对数的意义
[例1] 求下列各式中的实数x的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)．
[分析] 根据对数的定义列出不等式(组)求解．
[解] (1)由题意有x－10>0，∴x>10，
∴实数x的取值范围是{x|x>10}．
(2)由题意有即
∴x>1，且x≠2.
∴实数x的取值范围是{x|x>1，且x≠2}．
[变式训练1] 求下列各式中实数x的取值范围：
(1)log(2x－1)(3x＋2)；
(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以解得x>，且x≠1.
即实数x的取值范围是{x|x>，且x≠1}．
(2)因为底数x2＋1≠1，所以x≠0.
又因为－3x＋8>0，所以x<.
综上可知，x<，且x≠0.
即实数x的取值范围是{x|x<，且x≠0}．
类型二 利用对数式与指数式的关系求值
[例2] 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
[分析] 利用指数式与对数式之间的关系求解．
[解] (1)∵4x＝5·3x，∴＝5，
∴x＝5，∴x＝log5.
(2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵lne2＝x，∴ex＝e2，∴x＝2.
(4)∵logx27＝，∴x
eq
\s\up15(
)
＝27，∴x＝27
eq
\s\up15(
)
＝32＝9.
(5)∵lg0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.
1.logaN＝x与ax＝N?a>0，且a≠1，N>0?是等价的，转化前后底数不变.
2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.
[变式训练2] 求下列各式中x的值．
(1)log2x＝；(2)logx3＝3；
(3)x＝log5；(4)logx2＝4.
解：(1)由log2x＝，得x＝2
eq
\s\up15(
)
＝＝2.
(2)由logx3＝3，得x3＝3＝()3，∴x＝.
(3)由x＝log5，得5x＝＝5－4，∴x＝－4.
(4)由logx2＝4，得x2＝()4＝4，∴x＝±2.
类型三 对数基本性质的应用
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lgx)＝1；
(3)52－log53＝x；
(4)alogab·logbc＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
[分析] 利用logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)进行求解．
[解] (1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.
∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lgx)＝1，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.
(3)x＝52－log53＝＝.
(4)x＝alogab·logbc＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.
[变式训练3] 求下列各式中的x：
(1)ln(lgx)＝1；(2)log2(log5x)＝0；(3)32＋log35＝x.
解：(1)∵ln(lgx)＝1，∴lgx＝e，∴x＝10e.
(2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
(3)x＝32＋log35＝32×3log35＝9×5＝45.
1．把对数式m＝lognq化为指数式是( B )
A．mn＝q
B．nm＝q
C．nq＝m
D．qm＝n
解析：利用对数定义得nm＝q.
2．log3等于( B )
A．4
B．－4
C.
D．－
解析：log3＝log33－4＝－4.
3．31＋log3
eq
\s\up15(
)
＝.
解析：31＋log3
eq
\s\up15(
)
＝3·3
log3
eq
\s\up15(
)
＝3×＝.
4．log5[log3(log2x)]＝0，则x
eq
\s\up15(－
)
＝.
解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1.∴log2x＝3.∴x＝23.
∴x
eq
\s\up15(－
)
＝(23)
eq
\s\up15(－
)
＝2
eq
\s\up15(－
)
＝eq
\f(1,2
eq
\s\up15(
)
)＝＝＝.
5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．
(1)5－2＝；(2)8x＝30；(3)3x＝1；(4)log9＝－2；
(5)x＝log610；(6)x＝ln；(7)3＝lgx.
解：(1)－2＝log5；(2)x＝log830；(3)x＝log31；(4)()－2＝9；(5)6x＝10；(6)ex＝；(7)103＝x.
——本课须掌握的三大问题
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
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1
-4．3.2 对数的运算
[目标]
1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．
[重点]
对数的运算性质的推导与应用．
[难点]
对数的运算性质的推导和换底公式的应用．
知识点一 对数的运算性质
[填一填]
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[答一答]
1．若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
提示：不一定，当M>0，N>0时成立，当M<0，N<0时不成立．
2．你能推导loga(MN)＝logaM＋logaN与loga＝logaM－logaN
(M，N>0，a>0且a≠1)两个公式吗？
提示：①设M＝am，N＝an，则MN＝am＋n.由对数的定义可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n.
这样，我们可得loga(MN)＝logaM＋logaN.
②同样地，设M＝am，N＝an，
则＝am－n.由对数定义可得logaM＝m，
logaN＝n，loga＝m－n，
即loga＝logaM－logaN.
知识点二 换底公式
[填一填]
前提条件
原对数的底数a的取值范围
a>0，且a≠1
原对数的真数b的取值范围
b>0
换底后对数的底数c的取值范围
c>0，且c≠1
公式
logab＝
换底公式常见的推论：
(1)loganbn＝logab；
(2)logambn＝logab，特别logab＝；
(3)logab·logba＝1；
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
[答一答]
3．换底公式的作用是什么？
提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．
4．若log34·log48·log8m＝log416，求m的值．
提示：∵log34·log48·log8m＝log416，
∴··＝log442＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9，
∴m＝9.
类型一 对数运算性质的应用
[例1] 计算下列各式：
(1)lg－lg＋lg；
(2)；
(3)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．
[解] (1)(方法1)原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
(方法2)原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝＝＝＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：?1?把复杂的真数化简；?2?正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；?3?逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.
[变式训练1] (1)计算：log5＝；
log2(32×42)＝9.
(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg－lg25＝－2；2log36－log34＝2.
类型二 换底公式的应用
[例2] (1)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
[解] (1)原式＝＝＝·＝.
(2)由18b＝5，得log185＝b，
∴log3645＝＝＝＝＝.
利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logab·logba＝1.
[变式训练2] 计算下列各式：
(1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)×log6432.
解：(1)方法1：原式＝
＝
·＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
方法2：原式＝＝＝＝13.
(2)方法1：原式＝÷log23×＝÷log23×＝.
方法2：原式＝÷×＝××＝.
类型三
与对数方程有关的问题
[例3] (1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值；
(2)解方程：log＋log2(x＋2)＝3.
[解] (1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.
所以2－－2＝0.
解得＝2或＝－1.
又因为x>0，y>0，x－y>0.所以＝2.
(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.
所以log2[x(x＋2)]＝log28，
即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.
因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.
对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.
[变式训练3] (1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是( B )
A．－1
B．2
C．1或2
D．－1或2
(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log的值为4.
解析：(1)由真数大于0，易得x>1，原式可化为lg[x(x－1)]＝lg2?x(x－1)＝2?x2－x－2＝0?x1＝2，x2＝－1(舍)．
(2)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以lgxy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x>0，y>0，x－2y>0，所以x＝y应舍去，
所以＝4.故log＝log4＝4.
类型四 对数的实际应用
[例4] 人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I的单位用瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12
W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平．
[解] 由题意，可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则＝1，故LI1＝10·lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；
耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则＝102，
故LI2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝．
同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝．
对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型?公式?，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.
[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301
0)
解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4所以n>＝≈7.5.
故至少需要抽8次．
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：由换底公式得logab·logca＝·＝logcb，所以B正确．
2．2log32－log3＋log38的值为( B )
A.
B．2
C．3
D.
解析：原式＝log34－log3＋log38＝log3＝log39＝2.
3．lg＋lg的值是1.
解析：lg＋lg＝lg(×)＝lg＝1.
4．若a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则由换底公式可知logab＝，logba＝，所以logab＝，试利用此结论计算＋＝1.
解析：＋＝＋＝＝1.
5．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.
解：(1)原式＝log78－log79＋log7＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5
＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.
——本课须掌握的两大问题
1．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
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