4．4 对数函数
4．4.1 对数函数的概念
[目标]
1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题，培养直观想象核心素养．
[重点]
对数函数的定义、图象和性质．
[难点]
对数函数性质的概括总结．
知识点一 对数函数的概念
[填一填]
1．一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
[答一答]
1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1?
提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1.
2．下列函数是对数函数的是( C )
A．y＝loga2x(a>0，a≠1)
B．y＝loga(x2＋1)(a>0，a≠1)
C．y＝logx(a>0，a≠1)
D．y＝2lgx
解析：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0且a≠1)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.
知识点二 对数函数的图象与性质
[填一填]
定义
y＝logax(a>0，且a≠1)
底数
a>1
0
图象
[答一答]
3．怎样可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的草图？
提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的草图．
4．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1，x取何值时，y>0？x取何值时，y<0？当0提示：结合对数函数的图象可知，
当a>1时，若x>1，则y>0；若0当01，则y<0；若00.
类型一 对数函数的概念
[例1] 已知对数函数f(x)的图象过点.
①求f(x)的解析式；
②解方程f(x)＝2.
[分析] 根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．
[解] ①由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
由函数图象过点可得f(4)＝，
即loga4＝，所以4＝a
eq
\s\up15(
)
，
解得a＝16，故f(x)＝log16x.
②方程f(x)＝2，即log16x＝2，
所以x＝162＝256.
利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn?k>0，且k≠1?，解得a＝k>0.还可以直接写出a＝m
eq
\s\up15(
)
，再利用指数幂的运算性质化简m
eq
\s\up15(
)
.
[变式训练1] (1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝－5.
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝1.
解析：(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则3＝loga8，
∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，f＝log2＝log22－5＝－5.
(2)因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
类型二 对数函数图象的有关问题
命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系
[例2] 对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．
[解析] 利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．
方法1：如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由logaa＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知a>b>c>d.
方法2：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.
[答案] a>b>c>d
当01时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
[变式训练2] 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是( B )
解析：方法一 若0若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
方法二 首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
命题视角2：图象过定点问题
[例3] 函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[解析] 因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[答案] (0，－2)
求函数y＝m＋loga
f?x??a>0，且a≠1?的图象过的定点时，只需令f?x?＝1求出x，即得定点为?x，m?.
[变式训练3] 函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)．
解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.
所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．
命题视角3：对数函数图象的变换与识别
[例4] 作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
[分析] 充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．
[解] 第一步：作出y＝log2x的图象(如图(1))；
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝log2(x＋1)的图象(如图(2))；
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图(3))；
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．
(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．
[变式训练4] 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|.
解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝|logx|＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(logx，01，))其图象如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
类型三 对数函数的定义域
[例5] 求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝
.
[分析]
→→
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需
解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需
解得所以函数y＝的定义域是.
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
[变式训练5] 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝eq
\r(logx－1).
解：(1)由得
∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．
(2)由eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(x>0，,logx－1≥0，))得
∴01．若f(x)＝eq
\f(1,log?2x＋1?)，则f(x)的定义域为( C )
A．(－，0)
B．(－，＋∞)
C．(－，0)∪(0，＋∞)
D．(－，2)
解析：由题得：解得x>－且x≠0.
2．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为( C )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[2，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．
3．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点(2，－1)．
解析：∵令x－1＝1，则y＝－1，
∴该函数过定点(2，－1)．
4.函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝.
解析：由题中图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，又函数y＝logc的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝，
所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
5．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．
解：∵a>1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a)．
∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，
即loga2＝.∴a＝4.
——本课须掌握的两大问题
1．只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝log3x，y＝logx等都是对数函数；而y＝log3(x＋1)，y＝2log3x等都不是对数函数．
2．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当01时函数单调递增．
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-4．4.2 对数函数的应用
[目标]
1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．
[重点]
对数函数的图象和性质的应用．
[难点]
对数函数的图象和性质的综合应用．
知识点一 对数函数的单调性
[填一填]
1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝logax为增函数，当02．对于y＝logax，若a>1，当x>1时，y>0，当00，当x>1时，y<0.
[答一答]
1．若a>1，且m>n>0，则logam与logan的大小关系是logam>logan.
若0n>0，则logam与logan的大小关系是logam2．若a>1，且logam>logan，则m与n的大小关系是m>n；
若0logan，则m与n的大小关系是m知识点二 复合函数的单调性
[填一填]
复合函数y＝loga
f(x)，x∈D的单调性：设集合M?D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝loga
f(x)的增(减)区间；若0f(x)的减(增)区间．
[答一答]
3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？
提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．
知识点三 反函数
[填一填]
函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．
[答一答]
4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？
提示：(1)底数的范围相同；(2)a>1时同为增函数，0类型一 比较大小
[例1] 比较下列各组值的大小．
(1)log5与log5；(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
[解] (1)法一：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，
∴log5法二：∵log5<0，log5>0，∴log5(2)作y＝logx与y＝logx的图象，如图，再作直线x＝2与两图象分别交于A，B两点，则A(2，log2)，B(2，log2)，B点在A点上方，∴log2(3)取中间值1，
∵log23>log22＝1＝log55>log54，
∴log23>log54.
对数式比较大小的三种类型和求解方法
?1?底数相同时，利用单调性比较大小.
?2?底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.
?3?真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.
[变式训练1] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( D )
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>c>b
D．a>b>c
解析：由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.
类型二 解对数不等式
[例2] (1)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
(2)已知log0.7(2x)[分析] 对于(1)“1”变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解．
[解] (1)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得解得x>1.
∴x的取值范围为(1，＋∞)．
解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.
[变式训练2] 若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围．
解：∵－1∴loga当a>1时，<；
当0>a，则0故实数a的取值范围是∪.
类型三 对数复合型函数的值域
[例3] 求下列函数的值域：
(1)y＝log
(－x2＋2x＋3)；
(2)y＝log3，x∈[－3，－1]．
[分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．
[解] (1)设u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，
∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴log
(－x2＋2x＋3)≥log4＝－2.
∴函数的值域为[－2，＋∞)．
(2)设u＝x－2，∵x∈[－3，－1]．
∴3≤x≤27，即1≤u≤25.
∵函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数，
∴0≤log3≤log325.
∴原函数的值域为[0，log325]．
1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域?多采用换元法?.
2.对于形如y＝loga
f?x??a>0，且a≠1?的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y＝logau，u＝f?x?两个函数；②求f?x?的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解.
[变式训练3] 设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.若t＝log2x.
(1)求t的取值范围．
(2)求f(x)的值域．
解：(1)因为t＝log2x，≤x≤4，
所以log2≤t≤log24，即－2≤t≤2.
(2)函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，
即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝2－(－2≤t≤2)．
当t＝－时，即log2x＝－，
x＝2
eq
\s\up15(－
)
时，f(x)min＝－；
当t＝2时，即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.
综上可得，函数f(x)的值域为.
类型四 对数复合型函数的单调性
[例4] 已知f(x)＝log(x2－ax－a)在上是增函数，求a的取值范围．
[解] 令u(x)＝x2－ax－a，
∵f(x)＝logu(x)在上是增函数，∴u(x)在
上是减函数，且u(x)>0在上恒成立．
∴即
∴－1≤a≤.
∴满足条件的a的取值范围是?a.
与对数函数有关的复合函数y＝logag?x?的单调性的求解步骤：
?1?确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.?很多同学忽略了定义域，即不满足g?x?>0导致错误?
?2?弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y＝logau，内层函数u＝g?x?.
?3?分别确定这两个函数的单调区间.
?4?若这两个函数同增或同减，则y＝logag?x?为增函数；若一增一减，则y＝logag?x?为减函数，即“同增异减”.
[变式训练4] 已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B.
C.
D．(1，＋∞)
解析：由题意，知8－3ax>0，x∈[－1，2]，∴8＋3a>0,8－6a>0，∴－0，且a≠1，∴01.所以实数a的取值范围为.故选B.
1．若0A．log3x>log3y
B．logxC．logx3D．log4x解析：∵y＝log3x是增函数，
∴当x∵y＝logx是减函数，
∴当xlogy.
∵log3x∴<<0.∴logy3∵y＝log4x是增函数，且02．函数y＝2x的反函数是( C )
A．y＝log2x
B．y＝logx
C．y＝log2x(x>0)
D．y＝logx(x>0)
解析：函数y＝2x的值域是(0，＋∞)．
又其反函数为y＝log2x.故选C.
3．函数y＝log
(x2－6x＋17)的值域是(－∞，－3]．
解析：由x2－6x＋17＝(x－3)2＋8>0恒成立，知x∈R.
设u＝x2－6x＋17.∵0<<1，
∴函数y＝logu是减函数．
又∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴log(x2－6x＋17)≤log8＝log23＝log－3＝－3.
故函数y＝log(x2－6x＋17)的值域为(－∞，－3]．
4．函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0.
∴－1令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3)＝－(x－1)2＋4，
∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．
同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．
5．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)使f(x)＝loga(ax－1)有意义，则ax－1>0，即ax>1.当a>1时，x>0；当01时，函数的定义域为{x|x>0}；当0(2)①当a>1时，设01时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当0ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴loga(ax1－1)——本课须掌握的三大问题
1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．
2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．
3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．
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-
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-4．4.3 不同函数增长的差异
[目标]
1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．
[重点]
几类不同函数模型增长的含义及差异．
[难点]
如何选择数学模型分析解决实际问题．
知识点 三类不同增长的函数模型的比较
[填一填]
1．三类函数模型的性质
2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)或y＝xn(n>0)增长速度的对比
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax[答一答]
1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区别？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图：
观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．
y＝2x与y＝x2图象在(0，＋∞)上有两个交点(2,4)，(4,16)．
当x>4时，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．
2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？
提示：y＝3x.
3．当0提示：总会存在一个x0，使x>x0时，logax类型一
函数模型增长差异的比较
[例1] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2
011)，g(2
011)的大小．
[分析]
→→→
[解] (1)曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，
曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1011.由图象可知，当x1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2
011)>g(2
011)>g(8)>f(8)．
除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
[变式训练1] 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.
类型二 函数增长模型差异的应用
[例2] 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[分析] →
[解] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：,?1?线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；?2?指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；?3?对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；?4?幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
[变式训练2] 一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？
解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.
按单利计息，则第n年的本息为10
000(1＋n×0.8×0.04)＝10
000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10000(1＋3.6%×0.8)n＝10
000×1.028
8n(元)，
列表如下(单位：元)
年数
1
2
3
4
5
单利
10
320
10
640
10
960
11
280
11
600
复利
10
288
10
584
10
889
11
203
11
525
年数
6
7
8
9
10
单利
11
920
12
240
12
560
12
880
13
200
复利
11
857
12
199
12
550
12
912
13
283
从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( A )
A．y＝2x
B．y＝1
000x＋50
C．y＝x100
D．y＝log100x
解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．
2．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是( C )
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．
3．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为( A )
A．19
kg
B．16
kg
C．25
kg
D．30
kg
解析：将点(30,330)与(40,630)代入y＝kx＋b得得k＝30，b＝－570，∴y＝30x－570.令y＝0得x＝19.
4．当22x>log2x.
解析：令x＝3得x2>2x>log2x.
5．根据函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x给出以下命题：
①f(x)，g(x)，h(x)在其定义域上都是增函数；
②f(x)的增长速度始终不变；
③f(x)的增长速度越来越快；
④g(x)的增长速度越来越快；
⑤h(x)的增长速度越来越慢．
其中正确的命题序号为①②④⑤.
解析：f(x)＝2x的增长速度始终不变，g(x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故只有①②④⑤正确．
——本课须掌握的两大问题
1．三类函数增长的比较
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x>x0，就有logax2．函数模型的选取：
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
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-4．5 函数的应用(二)
4．5.1 函数的零点与方程的解
[目标]
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．
[重点]
函数零点的概念以及函数零点的求法．
[难点]
对函数零点的判断方法的理解及应用．
知识点一 函数的零点
[填一填]
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
[答一答]
1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．
2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？
提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[答一答]
4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？
提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.
5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？
提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.
类型一 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)因为f(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f(x)＝0，即(x＋1)(x－2)＝0.
解得x＝－1或x＝2.所以函数f(x)的零点为－1和2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
?1?求函数f?x?的零点就是求方程f?x?＝0的解，求解时注意函数的定义域.
?2?已知x0是函数f?x?的零点，则必有f?x0?＝0.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解：由题意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根，
所以有解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
类型二 判断函数零点所在区间
[例2] (1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
[解析] (1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
(2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k＝1.
[答案] (1)C (2)1
判断函数零点所在区间的三个步骤：
?1?代.将区间端点代入函数求出函数的值.
?2?判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.
?3?结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
[变式训练2] 函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( B )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(，1)和(3,4)
D．(e，＋∞)
解析：∵f(1)＝－2<0,
f(2)＝ln2－1<0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴在(1,2)内f(x)无零点．
又∵f(3)＝ln3－>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.
类型三 函数零点个数的有关问题
命题视角1：判断函数零点的个数
[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解] 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
方法二：如图，在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．
由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点的个数的方法主要有：
?1?对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.
?2?由f?x?＝g?x?－h?x?＝0，得g?x?＝h?x?，在同一坐标系中作出y1＝g?x?和y2＝h?x?的图象，利用图象判定方程根的个数.
[变式训练3] 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝x的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.
命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围
[例4] 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
[解析] 画出函数f(x)的图象如图．
要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.
[答案]
此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.
[变式训练4] 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．
解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，01．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( B )
A．(－2,3)
B．2,3
C．(2,3)
D．－2，－3
解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.
2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0所在的区间是( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：设f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3<0，
f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，
f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.
4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.
解析：
由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．
5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
——本课须掌握的三大问题
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
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-4．5.2 用二分法求方程的近似解
[目标]
1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度ε与近似值的区别．
[重点]
二分法求方程的近似解．
[难点]
二分法定义的理解．
知识点一 二分法的概念
[填一填]
对于在区间[a，b]上连续不断，且
f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[答一答]
1．用二分法求函数零点的适用条件是什么？
提示：①f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；
②f(a)f(b)<0.
2．是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？
提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间．只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间．
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点吗？
提示：对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
[填一填]
(1)确定区间[a，b]，验证
f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0(此时零点x0∈(a，x1))，则令b＝x1；
③若f(x1)·f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1.
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
[答一答]
4．“精确到”与“精确度”是一回事吗？
提示：不是一回事，具体说明如下：
(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．
(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141
592
6…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.141
6，精确到0.000
1(即万分位)．
5．你知道为什么当|a－b|<ε时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？
提示：当|a－b|<ε时，由于方程根的真实值x0∈[a，b]，所以|a－x0|<|a－b|<ε，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因同样．
类型一 二分法的概念
[例1] 下列图象表示的函数能用二分法求零点的是( )
[解析] 对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.
[答案] C
1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点．
2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[变式训练1] 如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是( A )
解析：按二分法定义，
f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
类型二 二分法的步骤
[例2] 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
[解析] 二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)<0，f(0.5)>0，知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．
[答案] A
用二分法求函数零点近似值的注意点
?1?在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；
②f?a?，f?b?的值比较容易计算，且f?a?·f?b?<0.,?2?二分法仅对函数变号零点?即零点两侧某区域内函数值异号?适用.
?3?利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
[变式训练2] 某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分( C )
A．2次
B．3次
C．4次
D．5次
解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5;
等分2次，区间长度为0.25；……等分4次，区间长度为0.062
5<0.1，符合题意，故选C.
类型三 用二分法求函数零点的近似解
[例3] 判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；
②精确度0.1表示在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．
[解] 因为f(1)＝－1<0,
f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312
5
－0.05
(1.312
5,1.375)
1.343
75
0.08
由于|1.375－1.312
5|＝0.062
5<0.1，
所以函数的一个近似零点可取1.312
5.
此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算.
[变式训练3] 用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解：令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
1．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是( B )
A．(－2.1，－1)
B．(1.9,2.3)
C．(4.1,5)
D．(5,6.1)
解析：函数f(x)在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点．
2．用二分法求方程f(x)＝0在区间[1,2]内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－2，f＝6，则下列结论正确的是( C )
A．x0∈
B．x0＝
C．x0∈
D．x0∈或x0∈
解析：∵f(1)＝>0，f(2)＝－2<0，f＝6>0，
可得方程的根落在区间内．
3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( B )
A.
B.
C．ε
D．2ε
解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.
4．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx＝2－x的近似数时，设f(x)＝lgx＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.
解析：先判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为＝1.75.
5．求方程lgx＝x－1的近似解．(精确度：0.1)
解：如图所示，由函数y＝lgx和y＝x－1的图象可知，方程lgx＝x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．
设f(x)＝lgx－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
区间长度
(0,1)
0.5
－0.008
1
1
(0.5,1)
0.75
0.280
5
0.5
(0.5,0.75)
0.625
0.147
5
0.25
(0.5,0.625)
0.562
5
0.073
0
0.125
(0.5,0.562
5)
0.531
25
0.033
3
0.062
5
由于区间(0.5,0.562
5)的长度为0.062
5<0.1，所以原方程的近似解可取为0.5.
——本课须掌握的两大问题
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·
f(b)<0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．
PAGE
-
1
-4.5.3 函数模型的应用
[目标]
会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．
[重点]
根据给定的函数模型解决实际问题．
[难点]
建立数学模型解答实际问题．
知识点一
应用所给函数模型解决实际问题
[填一填]
解决应用问题的基本步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
[答一答]
1．我们已学过的函数有哪些？
提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数．
2．建立函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；③根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型；⑤将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解释实际问题．
知识点二 构建函数模型解决实际问题
[填一填]
(1)常见的8种函数模型
①一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
②反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
③二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
④指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
⑤对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)；
⑥幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)；
⑦“对勾”函数模型：f(x)＝ax＋(a，b为常数，且a>0，b>0)；
⑧分段函数模型．
(2)几类函数模型的增长差异
在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax[答一答]
3．哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？
提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题．
4．哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？
提示：地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等．
类型一
[解析] 观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．
[答案] C
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
[变式训练1] 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( D )
解析：①当点P在线段BC上运动时，点P到AB的距离为x，则S＝×4×x＝2x(0≤x≤4)，其函数图象为过原点的一线段；②点P在边CD上时，点P到AB的距离不变，为4，则S＝×4×4＝8(4≤x≤8)，其函数图象是平行于x轴的一线段；③点P在边DA上时，点P到AB的距离为(12－x)，则S＝×4×(12－x)＝24－2x(8≤x≤12)，其图象是一线段．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D.
类型二 应用所给函数模型解决实际问题
[例2] 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
[解] (1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得∴y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，
得解得∴y＝·()x＝2
eq
\s\up15(
)
.
当x＝9时，y＝·()
eq
\s\up15(
)
＝1，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)，
得解得∴y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.
∵年利润<10%，∴该企业要考虑转型．
求解已给函数模型，解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
[变式训练2] 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( A )
A．y＝0.95
eq
\s\up15(
)
·m
B．y＝(1－0.05
eq
\s\up15(
)
)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
解析：设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.9
eq
\s\up15(
)
，所以从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95
eq
\s\up15(
)
·m.
类型三 构建指数、对数函数模型解决实际问题
[例3] 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[分析] 写出第n(n∈N
)年该公司全年投入的研发资金与n的关系式，解不等式即可．
[解析] 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
[答案] B
(1)求解与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题时，要学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
[变式训练3] (1)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.301
0,100.007
5≈1.017)( C )
A．1.5%
B．1.6%
C．1.7%
D．1.8%
(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02
eq
\s\up15(－
)
，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t＝30时，污染物数量的平均变化率是－10ln2，则p(60)＝( C )
A．150毫克/升
B．300毫克/升
C．150ln2毫克/升
D．300ln2毫克/升
解析：(1)设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.007
5，所以100.007
5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.故选C.
(2)因为当t＝30时，污染物数量的平均变化率是－10ln2，所以－10ln2＝，所以p0＝600ln2.因为p(t)＝p02
eq
\s\up15(－
)
，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．故选C.
类型四 构建分段函数模型解决实际问题
[例4] 今年春节期间某自驾游车队，组织车友前往某地游玩．该车队是由31辆车身长都约为5
m(以5
m计算)的同一车型组成的，行程中经过一个长为2
725
m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25
m/s)．匀速通过该隧道时，设车队的速度为x
m/s.根据安全和车流的需要，当0m的距离；当12m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．
[解] 由于不同路段，保持的距离不同，因此可用分段函数表示，分段函数的有关最值问题要分段求解．
(1)当0y＝＝；
当12y＝
＝＝5x＋＋10.
所以y＝
(2)当0当12当且仅当5x＝，即x＝24(m/s)时取等号．
因为x＝24∈(12,25]，所以当x＝24(m/s)时，ymin＝250(s)．
因为290>250，所以当x＝24(m/s)时，ymin＝250(s)．
即该车队通过隧道时间y的最小值为250
s及此时该车队的速度为24
m/s.
分段函数模型问题的解答方法：实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.
[变式训练4] 首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办．一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案．某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场．已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元．设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)＝
(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当0当x>20时，S＝xG(x)－(90x＋30)＝－10x＋－30.
则S＝
(2)由(1)知，当0845.
因为S＝－3(x－25)2＋1
845在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，Smax＝S(20)＝1
770.
当x>20时，S＝－10x＋－30＝－10x－＋2
970＝－10(x＋1)－＋2
980≤－2＋2
980＝2
380，当且仅当＝10(x＋1)，即x＝29时等号成立．
因为2
380>1
770，所以x＝29时，S取得最大值，最大值为2
380万美元．
故当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2
380万美元．
1．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )
A．y＝t3
B．y＝log2t
C．y＝2t
D．y＝2t2
解析：符合指数函数模型．
2．某食品的保鲜时长y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0
℃的保鲜时长是192小时，在22
℃的保鲜时长是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时长是( C )
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
解析：由已知条件得，192＝eb，所以b＝ln192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝
eq
\s\up15(
)
＝.设该食品在33
℃的保鲜时长是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.故选C.
3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．
解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，
此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360(0)．
∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元．
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000·ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000时，2
000·ln(1＋)＝12
000，
∴ln(1＋)＝6，∴＝e6－1.
5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6
000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝
＝
y乙＝5
100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，
即4
200x＋18
000>5
100x，解得x<20.
答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
——本课须掌握的三大问题
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
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