2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语学案含解析(9份打包)新人教A版必修第一册

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名称 2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语学案含解析(9份打包)新人教A版必修第一册
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版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2020-12-28 14:14:35

文档简介

第一章
 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
[目标]
1.通过实例,能说出集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;2.记住集合元素的特性以及常用数集;3.会用集合元素的特性解决相关问题.
[重点]
用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系;用集合元素的特性解答相关问题.
[难点]
集合元素特性的应用.
知识点一  元素与集合的含义
[填一填]
1.定义
(1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
2.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.
3.集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
[答一答]
1.以下对象的全体能否构成集合?
(1)河北《红对勾》书业的员工;
(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手;
(3)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的若干个点;
(4)不超过2
019的非负数.
提示:(1)能构成集合.河北《红对勾》书业的员工是确定的,因此有一个明确的标准,可以确定出来.所以能构成一个集合.
(2)“滑得很快”无明确的标准,对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断,因此,“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合.
(3)“若干个点”是模糊的概念,因此与之对应的对象都是不确定的,自然它们不能构成集合,故“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合.
(4)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2
019的非负数”,即“0≤x≤2
019”与“x<0或x>2
019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2
019的非负数”能构成一个集合.
2.若集合A由0,1与x三个元素组成,则x的取值有限制吗?为什么?
提示:有限制,x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的.
知识点二  元素与集合的关系
[填一填]
如果a是集合A中的元素,就说a属于(belong
to)集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于(not
belong
to)集合A,记作a?A.
[答一答]
3.若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合,问1与A,5与A有什么关系?
提示:1∈A,5?A.
知识点三  常用数集及表示
[填一填]
[答一答]
4.常用的数集符号N,N
,N+有什么区别?
提示:(1)N为非负整数集(即自然数集),而N
或N+表示正整数集,不同之处就是N包括元素0,而N
或N+不包括元素0.
(2)N
和N+的含义是一样的,初学者往往误记为N
或N+,为避免出错,对于N
和N+可形象地记为“星星(
)在天上,十字架(+)在地下”.
5.用符号“∈”或“?”填空.
(1)1∈N
;(2)-3?N;
(3)∈Q;(4)?Q;
(5)-∈R.
类型一  集合的概念
[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)所有的正三角形;
(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题;
(3)比较接近1的正数全体;
(4)某校高一年级的16岁以下的学生;
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合;
(6)参加里约奥运会的年轻运动员.
[解析] (1)能构成集合.其中的元素需满足三条边相等;
(2)不能构成集合.因“难题”的标准是模糊的,不确定的,故不能构成集合;
(3)不能构成集合.因“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;
(4)能构成集合.其中的元素是“16岁以下的学生”;
(5)能构成集合.其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”;
(6)不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的,不确定的,故而不能构成集合.
[答案] (1)(4)(5)
判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以.
[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D )
A.的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.2018年全国高考数学试卷中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员
解析:D中的对象都是确定的,而且是不同的.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C都不能构成集合.
类型二  集合中元素的特性
命题视角1:集合元素的互异性
[例2] 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
[分析] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A,根据集合中元素的特点需分a=1或a2=1两种情况讨论,另外还要注意集合中元素的互异性.
根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,利用集合中元素的特性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
[解] 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.
当a=1时,a=a2,集合A有一个元素,∴a≠1.
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合互异性.
∴a=-1.
当一个集合中的元素含字母时,可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.
[变式训练2] (1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( D )
A.锐角三角形     
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
(2)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是( C )
A.1
B.-2
C.6
D.2
解析:(1)集合中任何两个元素不相同.
(2)由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1.结合选项知C正确.故选C.
命题视角2:集合元素的无序性
[例3] 集合A中含有三个元素0,,b,集合B中含有三个元素1,a+b,a,若A,B两个集合相等,求a2
019+b2
019的值.
[分析] 由两个集合相等,所含元素相同列出a,b的关系式,解出a与b,再求a2
019+b2
019的值.
[解] 由两个集合相等易知a≠0,a≠1,故a+b=0,且b=1或=1.
若b=1,由a+b=0得a=-1,经验证,符合题意;
若=1,则a=b,结合a+b=0,可知a=b=0,不符合题意.
综上知a=-1,b=1.
所以a2
019+b2
019=(-1)2
019+12
019=0.
两个集合相等,元素相同,因为集合元素无序,所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证,注意集合中元素的互异性.
[变式训练3] 集合A由1,3,5,7四个元素组成,已知实数a,b∈A,那么的不同值有( B )
A.12个
B.13个
C.16个
D.17个
解析:a,b是集合A的元素,的值会因a,b的顺序不同而不同.a,b所取的值按顺序分别为:1,1;3,3;5,5;7,7;1,3;3,1;1,5;5,1;1,7;7,1;3,5;5,3;3,7;7,3;5,7;7,5,其对应的有13个不同的值.
类型三  元素与集合的关系
[例4] (1)给出下列关系:①∈R;②?Q;
③|-3|?N;④|-|∈Q;⑤0?N.
其中正确的个数为(  )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
[解析] (1)是实数;是无理数;|-3|=3是自然数;|-|=是无理数;0是自然数.故①②正确,③④⑤不正确.
(2)由∈N,x∈N知x≥0,≥0,且x≠3,故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.
当x=0时,=2∈N,当x=1时,=3∈N,
当x=2时,=6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
[答案] (1)B (2)0,1,2
判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关系.
[变式训练4] 已知不等式3x+2>0的解集为M.
(1)试判断元素-1,0与集合M的关系;
(2)若a-1是集合M中的元素,求a的取值范围.
解:(1)∵3×(-1)+2=-1<0,
∴-1不是集合M中的元素,∴-1?M.
又3×0+2=2>0,∴0是集合M中的元素,∴0∈M.
(2)∵a-1∈M,∴3(a-1)+2>0.
∴3a>1,∴a>.
1.下列各组对象不能构成集合的是( B )
A.某中学所有身高超过1.8米的大个子
B.约等于0的实数
C.某市全体中学生
D.北京大学建校以来的所有毕业生
解析:由于“约等于0”没有一个明确的标准,因此B中对象不能构成集合.
2.下列命题中,正确命题的个数是( C )
①集合N
中最小的数是1;②若-a?N
,则a∈N

③若a∈N
,b∈N
,则a+b的最小值是2;④x2+4=4x的解集是{2,2}.
A.0   
 B.1  
  C.2 
   D.3
解析:N
是正整数集,最小的正整数是1,故①正确;当a=0时,-a?N
,a?N
,故②错误;若a∈N
,则a的最小值是1,同理,b∈N
,b的最小值也是1,∴当a和b都取最小值时,a+b取最小值2,故③正确;由集合中元素的互异性,知④是错误的.
3.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( B )
A.0∈M
B.-1∈M
C.3?M
D.1∈M
解析:当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确.
4.集合A由元素-1和2构成,集合B是方程x2+ax+b=0的解,若A=B,则a+b=-3.
解析:∵A=B,∴方程x2+ax+b=0的解是-1或2.
∴a=-1,b=-2,∴a+b=-3.
5.已知集合A由a2-a+1,|a+1|两个元素构成,若3∈A,求a的值.
解:∵3∈A,∴a2-a+1=3或|a+1|=3.
①若a2-a+1=3,则a=2或a=-1.
当a=2时,|a+1|=3,此时集合A中含有两个3,因此应舍去.
当a=-1时,|a+1|=0≠3,满足题意.
②若|a+1|=3,则a=-4或a=2(舍去).
当a=-4时,a2-a+1=21≠3,满足题意.
综上可知a=-1或a=-4.
——本课须掌握的三大问题
1.理解集合的概念,关键是抓住集合中元素的三个特性:确定性、互异性和无序性.特别是处理含有参数的集合问题时,一定要注意集合中元素的互异性,即在求出参数的取值或取值范围后,一定要检验集合中元素的互异性.
2.关于特定集合N,N
(N+),Z,Q,R等的意义是约定俗成的,解题时作为已知使用,不必重述它们的意义.
3.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a?A”这两种结果,“∈”与“?”具有方向性,左边是元素,右边是集合.
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-第2课时 集合的表示
[目标]
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法);2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
[重点]
集合的两种表示方法及其运用.
[难点]
对描述法表示集合的理解.
知识点一  列举法
[填一填]
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
{  }表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;书写时不需要考虑元素的顺序.
[答一答]
1.实数集也可以写成{实数},那么能写成{实数集}或{全体实数}吗?
提示:不能,因为花括号“{ }”表示“所有、全部”的意思.
2.列举法能表示元素个数很少的有限集,那么可以用列举法表示无限集吗?
提示:对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示,如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5,…}.
3.集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合?
提示:不是.
知识点二   描述法
[填一填]
1.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
2.具体方法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
[答一答]
4.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗?
提示:是同一个集合.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.
类型一  用列举法表示集合
[例1] (1)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是(  )
A.1          
B.2
C.3
D.4
(2)用列举法表示下列集合.
①不大于10的非负偶数组成的集合;
②方程x2=x的所有实数解组成的集合;
③直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
④方程组的解.
[解析] (1)集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).
(2)解:①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
②方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.
③将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}.
[答案] (1)B (2)见解析
用列举法表示集合应注意的三点:
?1?应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;
?2?集合中的元素一定要写全,但不能重复;
?3?若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
[变式训练1] 用列举法表示下列集合:
(1)15的正约数组成的集合;
(2)所有正整数组成的集合;
(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
解:(1){1,3,5,15}.
(2)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}.
类型二   用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-7<3的解集A;
(2)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合B;
(3)被3除余2的正整数的集合C;
(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.
[分析] 先确定集合元素的符号,再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面.
[解] (1)解2x-7<3得x<5,所以A={x|x<5}.
(2)函数值组成的集合就是y的取值集合,所以B={y|y=x2+1,x∈R}.
(3)被3除余2的正整数可以表示为3n+2(n∈N),所以集合C={x|x=3n+2,n∈N}.
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0,
所以D={(x,y)|x·y=0,x∈R,y∈R}.
?1?用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
?2?若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上所有点组成的集合;
(2)方程x2+22x+121=0的解集;
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(4).
解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.
(2){x|x=-11}.
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}.
(4)先统一形式,,,,,…,找出规律,集合表示为.
类型三  两种方法的灵活应用
[例3] 用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组的解组成的集合;
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
[分析] (1)中的元素个数很少,用列举法表示;(2)是有限集,但个数较多,用描述法;(3)(4)是无限集,用描述法表示.
[解] (1)解方程组得故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
当集合的元素个数很少?很容易写出全部元素?时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多?不易写出全部元素?时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.
解:(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.
1.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( A )
A.{0,1,2,3,4}     
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
解析:∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,用列举法表示为{0,1,2,3,4}.
2.方程组的解集是( C )
A.{x=1,y=1}
B.{1}
C.{(1,1)}
D.{(x,y)|(1,1)}
解析:方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D中的条件是点(1,1),不含x,y,排除D.
3.集合{x|x=,a<36,x∈N},用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.
解析:由a<36,可得<6,即x<6,又x∈N,故x只能取0,1,2,3,4,5.
4.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
解析:正整数中所有的偶数均能被2整除.
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2,且n∈N};
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)x2-4的一次因式组成的集合;
(4)由方程组的解所组成的集合.
解:(1)用列举法表示为P={0,2,4}.
(2)可用列举法表示为{6,9,12};也可用描述法表示为{x|x=3n,4(3)用列举法表示为{x+2,x-2}.
(4)解方程组得故可用列举法表示为{(1,2)},也可用描述法表示为{(x,y)|x=1,y=2}.
——本课须掌握的两大问题
1.表示集合的要求:
(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.
(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意:
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.
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-1.2 集合间的基本关系
[目标]
1.记住集合间的包含关系,会判断两个简单集合的关系;2.能写出给定集合的子集;3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系.
[重点]
集合间关系及集合间关系的判断;写出给定集合的子集;空集与其他集合的关系.
[难点]
集合间的关系及应用.
知识点一  子集的有关概念
[填一填]
1.Venn图
通常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.用Venn图表示集合的优点:形象直观.
2.子集
(1)自然语言:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.
(2)符号语言:记作A?B(或B?A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(3)图形语言:用Venn图表示.
3.真子集
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A?B(B?A).
4.集合相等
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.
也就是说,若A?B,且B?A,则A=B.
[答一答]
1.若A?B,则A中的元素是B中的元素的一部分,对吗?
提示:不对,A中的元素是B的一部分或是B的全部.
2.“∈”与“?”有什么区别?
提示:“∈”表示元素与集合之间的关系,而“?”表示集合与集合之间的关系.
3.“?”与“<”一样吗?
提示:不一样,“?”表示集合与集合之间的关系;“<”表示两实数间的关系.
4.如何判断两个集合是否相等?
提示:方法一:根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断;
方法二:根据集合相等的定义,即是否同时满足A?B且B?A.
知识点二   空集
[填一填]
不含任何元素的集合叫做空集,记为?,并规定:空集是任何集合的子集.
[答一答]
5.0,{0},?,{?}有何区别?
提示:
知识点三  子集、真子集的性质
[填一填]
由子集、真子集和空集的概念可得:
(1)空集是任何集合的子集,即??A;
(2)任何一个集合是它自身的子集,即A?A;
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得A?C;
(5)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得A?C.
[答一答]
6.(1)对于集合A、B、C,如果A?B,B?C,则A?C,若A?B,B?C呢?
(2)若??A,则A≠?对吗?
提示:(1)A?C. (2)对.
类型一  确定集合的子集、真子集
[例1] (1)已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},求所有满足条件的集合M.
(2)填写下表,并回答问题:
集合
集合的子集
子集的个数
?
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?
[解] (1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
(2)
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
1.有限集子集的确定问题,求解关键有三点:
?1?确定所求集合;
?2?合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出,一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合;
?3?注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,?2n-1?个真子集,?2n-1?个非空子集,?2n-2?个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
[变式训练1] 试写出满足条件??M?{0,1,2}的所有集合M.
解:因为??M?{0,1,2},
所以M为{0,1,2}的非空真子集,
所以M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时,M可以是{0},{1},{2};
当M中有2个元素时,M可以是{0,1},{0,2},{1,2};
所以M可以是{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.
类型二   集合间关系的判断及应用
命题视角1:利用子集的定义判断集合间的关系
[例2] (1)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是(  )
A.M=N       
B.N?M
C.M?N
D.N?M
(2)已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是(  )
A.A?B
B.A?B
C.A?B
D.A?B
[解析] (1)由已知得集合M={1,2}.由真子集的定义可知M?N.
(2)因为A中元素是3的整数倍,而B中的元素是3的偶数倍,所以集合B是集合A的真子集.
[答案] (1)C (2)D
判断两集合关系的步骤:
?1?先对所给集合进行化简.
?2?搞清两集合中元素的组成,也就是弄清楚集合由哪些元素组成,即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.
[变式训练2] 指出下列各组集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)M={x|x=2n-1,n∈N
},N={x|x=2n+1,n∈N
}.
解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A?B.
(3)法1:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N
,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N?M.
法2:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N?M.
命题视角2:利用Venn图理解集合间的关系
[例3] 能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-x=0}关系的Venn图是下图中的(  )
[答案] B N={0,1}?M.
用封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为Venn图,是描述集合关系的图形语言,它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素,甚至还可以解决集合内元素的个数问题,在后续课程的学习中对Venn图的图解功能再作进一步体会.
[变式训练3] 
已知集合A={x|x2=x,x∈R},集合A与非空集合B的关系如图所示,则满足条件的集合B的个数为( B )
A.1   
 B.2   
 C.3   
 D.4
解析:∵A={x|x2=x,x∈R}={0,1},又B?A,且B为非空集合,∴B可以为{0}或{1}.故选B.
命题视角3:利用数轴理解集合间的关系
[例4] 已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A?B时,求实数m的取值范围.
[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析.
[解] 集合A在数轴上表示如图.
要使A?B,则集合B中的元素必须都是A中的元素,
即B中元素必须都位于阴影部分内,
那么由4x+m<0,即x<-知,-≤-2,即m≥8,
故实数m的取值范围是m≥8.
数轴上表示集合A与B时要注意,端点处都是空心点,所以当--=-2时,集合B为{x|x<-2},仍满足A?B.这种利用子集关系求参数的问题,借助数轴分析时,要验证参数能否取到端点值.
[变式训练4] 已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A?B,求a的取值范围;
(2)若B?A,求a的取值范围.
解:(1)若A?B,则集合A中的元素都在集合B中,且B中有不在A中的元素,则a>2.
(2)若B?A,则集合B中的元素都在集合A中,则a≤2.
因为a≥1,所以1≤a≤2.
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则有( B )
A.A?B         
B.C?B
C.D?C
D.A?D
解析:正方形是邻边相等的矩形.
2.已知集合M={-1,0,1},N={y|y=x2,x∈M},则( B )
A.M?N
B.N?M
C.M=N
D.M,N的关系不确定
解析:由题意,得N={0,1},故N?M.
3.已知集合A?{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有5个.
解析:∵A?{1,2,3},∴A中至多含有2个元素.∵A中至少有一个奇数,∴A可能为{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.
4.已知??{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是a≤.
解析:∵??{x|x2-x+a=0}.
∴{x|x2-x+a=0}≠?,即方程x2-x+a=0有解,
∴Δ=1-4a≥0,∴a≤.
5.已知集合B={-1,0,1},若A?B,试写出所有满足条件的集合A.
解:当A=?时,满足条件;
当A是单元素集合时,满足条件的集合A有{-1},{0},{1};
当A是含两个元素的集合时,满足条件的集合A有{-1,0},{-1,1},{0,1};
当A是含三个元素的集合时,满足条件的集合A为{-1,0,1}.
故满足条件的集合A有?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.
——本课须掌握的三大问题
1.写出一个集合的所有子集,首先要注意两个特殊子集:?和自身;其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在解决形如A?B类问题时,
需分类讨论A=?与A≠?两种情况.
3.要证明A=B,只需要证明A?B且B?A成立即可.即可设任意x0∈A,证明x0∈B从而得出A?B.又设任意y0∈B,证明y0∈A,从而得到B?A,进而证明得到A=B.
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-1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
[目标]
1.理解两个集合的并集和交集的定义,明确数学中的“或”“且”的含义;2.能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集,培养学生直观想象和数学运算两大核心素养;3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题,培养学生逻辑推理的核心素养.
[重点]
两集合并集、交集的概念及运算.
[难点]
两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透.
知识点一  并集
[填一填]
1.并集的定义
文字语言表述为:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,读作A并B.
符号语言表示为:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分.
2.并集的运算性质
(1)A∪B=B∪A;
(2)A∪A=A;
(3)A∪?=A;
(4)A∪B?A,A∪B?B;
(5)A?B?A∪B=B.
[答一答]
1.“或”的数学内涵是什么?
提示:“x∈A,或x∈B”包括了三种情况:
①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.
2.A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗?
提示:不一定,用Venn图表示A∪B如下:
当A与B有相同的元素时,根据集合元素的互异性,重复的元素在并集中只能出现一次,如上图②③④中,A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和.
知识点二  交集
[填一填]
1.交集的定义
文字语言表述为:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B,读作A交B.
符号语言表示为:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分.
2.交集的运算性质
对于任何集合A,B,有
(1)A∩B=B∩A;
(2)A∩A=A;
(3)A∩?=?;
(4)A∩B?A,A∩B?B;
(5)A?B?A∩B=A.
[答一答]
3.如何理解交集定义中“所有”两字的含义?
提示:①A∩B中的任意一个元素都是A与B的公共元素;
②A与B的所有公共元素都属于A∩B;
③当集合A与B没有公共元素时,A∩B=?.
4.当集合A与B没有公共元素时,A与B就没有交集吗?
提示:不能这样认为,当两个集合无公共元素时,两个集合的交集仍存在,即此时A∩B=?.
5.若A∩B=A,则A与B有什么关系?A∪B=A呢?
提示:若A∩B=A,则A?B;
若A∪B=A,则B?A.
类型一  集合的并集运算
[例1] (1)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(  )
A.{-1,0,1}      
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2}
D.{0,1}
(2)已知集合M={x|-35},则M∪N=(  )
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5C.{x|-3D.{x|x<-3或x>5}
[解析] (1)集合M,N都是以列举法的形式给出的,根据并集的定义,可得M∪N={-1,0,1,2}.
(2)将集合M和N在数轴上表示出来,如图所示.
可知M∪N={x|x<-5或x>-3}.
[答案] (1)B (2)A
当求两个集合的并集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,此时要注意端点处是实心点还是空心点;对于用列举法给出的集合,则依据并集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果,但要注意集合中元素的互异性.
[变式训练1] (1)满足条件{1,3}∪B={1,3,5}的所有集合B的个数是( D )
A.1     B.2     C.3     D.4
解析:由条件{1,3}∪B={1,3,5},根据并集的定义可知5∈B,而1,3是否在集合B中不确定.所以B可能为{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},故B的个数为4.
(2)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1,或x>a,a≥4},求A∪B.
解:∵A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>a,a≥4},如图所示.
故A∪B={x|x≤3,或x>a,a≥4}.
类型二   集合的交集运算
[例2] (1)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},则A∩B=(  )
A.{x|0B.{x|0≤x≤2}
C.{0,2}
D.{0,1,2}
(2)若集合A={x||x|≤1},B={x|x≥0},则A∩B=(  )
A.{x|-1≤x≤1}
B.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}
D.?
[分析] 化简A、B,然后利用交集的定义或数轴进行运算.
[解析] (1)∵|x|≤2,
∴-2≤x≤2,即A={x|-2≤x≤2}.
∵≤4.∴0≤x≤16.
又∵x∈Z,∴B={0,1,2,3,…,16},
∴A∩B={0,1,2}.
(2)∵A={x|-1≤x≤1},又B={x|x≥0},所以A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x≥0}={x|0≤x≤1}.
[答案] (1)D (2)C
1.求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果.
2.在求与不等式有关的集合的交集运算中,应重点考虑数轴分析法,直观清晰.此时数轴上方“双线”?即公共部分?下面的实数组成了交集.
[变式训练2] (1)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=( C )
A.{2,1}
B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)}
D.(2,1)
(2)若集合A={x|1≤x≤3,x∈N},B={x|x≤2,x∈N},则A∩B=( D )
A.{3}
B.{x|1≤x≤2}
C.{2,3}
D.{1,2}
解析:(1)
(2)由题意,知A={1,2,3},B={0,1,2},结合如图所示的Venn图可得A∩B={1,2},故选D.
类型三   并集、交集的综合运算
命题视角1:与参数有关的交集、并集问题
[例3] 已知集合A={x|00},求A∪B,A∩B.
[解] (1)当0所以A∪B={x|x>0},A∩B={x|a≤x≤2}.
(2)当a=2时,如图(2)所示.
所以A∪B={x|x>0},A∩B={2}.
(3)当a>2时,如图(3)所示.
所以A∪B={x|0含参数的集合进行并集与交集的基本运算时,要注意参数的不同取值对相关集合的影响,此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中,应依据a与2的大小关系分为三类.若无a>0的限制条件,则应根据a与0,2的大小分为五类.
[变式训练3] 设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A∪B={-3,4},A∩B={-3},求实数a,b,c的值.
解:∵A∩B={-3},∴-3∈A,且-3∈B,
将-3代入方程x2+ax-12=0得a=-1,
∴A={-3,4},
又A∪B={-3,4},A≠B,∴B={-3}.
∵B={x|x2+bx+c=0},
∴(-3)+(-3)=-b,(-3)×(-3)=c,
解得b=6,c=9,则a=-1,b=6,c=9.
命题视角2:并集、交集的性质运用
[例4] 设集合A={-2},B={x∈R|ax2+x+1=0,a∈R}.若A∩B=B,求a的取值范围.
[解] 由A∩B=B,得B?A,
因为A={-2}≠?.
所以B=?或B≠?.
(1)当B=?时,方程ax2+x+1=0无实数解,
即所以解得a>.
(2)当B≠?时,①当a=0时,方程变为x+1=0,
即x=-1.所以B={-1},此时A∩B=?,所以a≠0.
②当a≠0时,依题意知方程ax2+x+1=0有相等实根,
即Δ=0,所以1-4a=0,解得a=.
此时方程变为x2+x+1=0,其解为x=-2,满足条件.
综上可得a≥.
求解“A∩B=B或A∪B=B”类问题的思路:利用“A∩B=B?B?A,A∪B=B?A?B”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误.
[变式训练4] 已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
解:∵A∪B=A,∴B?A.
∵A={x|0≤x≤4}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠?时,用数轴表示集合A和B,如图所示.
∵B?A,∴解得-1≤m≤0.
检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.
1.已知集合A={1,6},B={5,6,8},则A∪B=( B )
A.{1,6,5,6,8}      
B.{1,5,6,8}
C.{6}
D.{1,5,8}
解析:求两集合的并集时,要注意集合中元素的互异性.
2.设S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则S∩T=( D )
A.?
B.{x|x<-}
C.{x|x>}
D.{x|-解析:S={x|2x+1>0}=,T={x|3x-5<0}=,则S∩T=
.
3.若集合A={1,2},B={1,2,4},C={1,4,6},则(A∩B)∪C=( D )
A.{1}
B.{1,4,6}
C.{2,4,6}
D.{1,2,4,6}
解析:由集合A={1,2},B={1,2,4},得集合A∩B={1,2}.
又由C={1,4,6},得(A∩B)∪C={1,2,4,6}.故选D.
4.已知集合A=,B={y|y=x2,x∈A},A∪B=.
解析:∵B={y|y=x2,x∈A}=,
∴A∪B=.
5.已知A={1,4,x},B={1,x2},且A∩B=B,求x的值及集合B.
解:∵A∩B=B,∴B?A,∴x2=4或x2=x.
解得x=±2或x=0或x=1.经检验知,x=1与集合元素的互异性矛盾,应舍去.∴x=±2或x=0,故B={1,4}或B={1,0}.
——本课须掌握的两大问题
1.对并集、交集概念的理解:
(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A但x?B;x∈B但x?A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=?.
2.集合的交、并运算中的注意事项:
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值能否取到.
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-第2课时 补集及集合的综合应用
[目标]
1.理解全集与补集的含义,会求给定子集的补集;2.能用Venn图表达集合的关系及运算;3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题,意在培养数学建模及数学运算的核心素养.
[重点]
全集与补集的含义,求补集以及用Venn图表达集合的运算.
[难点]
集合的综合运算及应用.
知识点  补集
[填一填]
1.全集
(1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
(2)记法:全集通常记作U.
2.补集
3.补集的性质
(1)?UU=?;(2)?U?=U;(3)(?UA)∪A=U;(4)A∩(?UA)=?;(5)?U(?UA)=A.
[答一答]
1.全集是不是一个固定不变的集合?集合A的补集是不是唯一的?
提示:全集不是固定不变的,它因研究问题的改变而改变;A的补集不唯一,随全集的改变而改变.
2.?UA的含义是什么?
提示:?UA的含义:?UA包含的三层意思为①A?U;②?UA是一个集合,且(?UA)?U;③?UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合.
3.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)?A?=A.(√)
(2)?NN
={0}.(√)
(3)?U(A∪B)=(?UA)∪(?UB).(×)
类型一   补集的简单运算
[例1] 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2[解] 集合A={x|3≤x<7},B={x|2如图,将集合A,B在数轴上表示出来.
易知A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2∴?R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
B∩(?RA)={x|2求解与补集有关的运算时,首先明确全集是什么,然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集,再根据补集求解与补集有关的运算.
[变式训练1] 设U={x|x≤4},A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤3}.求
(1)(?UA)∪B;
(2)(?UA)∩(?UB).
解:(1)∵U={x|x≤4},A={x|-1≤x≤2}.
∴?UA={x|x<-1或2∴(?UA)∪B={x|x<-1或2(2)∵U={x|x≤4},B={x|1≤x≤3}.
∴?UB={x|x<1或3∴(?UA)∩(?UB)={x|x<-1或2类型二  Venn图的应用
命题视角1:利用Venn图进行有限数集的运算
[例2] 设全集U={x|x≤20的质数},A∩(?UB)={3,5},(?UA)∩B={7,19},(?UA)∩(?UB)={2,17},求集合A,B.
[分析] 题目给出的关系较复杂,不易理清,所以用Venn图解答.
[解] 易得U={2,3,5,7,11,13,17,19}.
由题意,利用如图所示的Venn图,知集合A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
与集合有关的复杂题目,通常利用Venn图,将集合中元素的个数,以及集合间的关系直观地表示出来,进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言,利用方程思想解决问题.
[变式训练2] 设全集U={1,2,3,4,5},A∩B={2},(?UA)∩B={4},?U(A∪B)={1,5},下列结论正确的是( A )
A.3∈A,3?B     
B.3?A,3∈B
C.3∈A,3∈B
D.3?A,3?B
解析:根据条件画出Venn图,如图,3∈A,3?B.
命题视角2:利用Venn图进行抽象集合的运算
[例3] 如图,请用集合U,A,B,C分别表示下列部分所表示的集合:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ.
[解] 区域Ⅰ是三个集合的公共部分,因此Ⅰ=A∩B∩C;
区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集,因此Ⅱ=(A∩B)∩(?UC);
区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集,因此Ⅲ=(A∩C)∩(?UB);
区域Ⅳ是集合B与C的交集与集合A在U中的补集的交集,因此Ⅳ=(B∩C)∩(?UA);
区域Ⅴ是集合A与集合B∪C在U中的补集的公共部分构成的,因此Ⅴ=A∩[?U(B∪C)];
同理可求Ⅵ=C∩[?U(A∪B)],Ⅶ=B∩[?U(A∪C)].
而区域Ⅷ是三个集合A,B,C的并集在U中的补集,
因此Ⅷ=?U(A∪B∪C).
利用Venn图可以将抽象的问题转化为具体的图形,具有简单、直观的特点.
[变式训练3] 已知I为全集,集合M,N?I,
若M∩N=N,则( C )
A.(?IM)?(?IN)
B.M?(?IN)
C.(?IM)?(?IN)
D.M?(?IN)
解析:根据条件画出Venn图,如图,由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择.
类型三  集合在实际问题中的应用
[例4] 2019年初,某市政府对水、电提价召开听证会,如记“对水提价”为事件A,“对电提价”为事件B.现向100名市民调查其对A,B两事件的看法,有如下结果:赞成A的人数是全体的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的市民人数比对A,B都赞成的市民人数的多1人.问:对A,B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人?
[解] 赞成A的人数为100×=60,赞成B的人数为60+3=63.
如图所示,设对事件A,B都赞成的市民人数为x,则对A,B都不赞成的市民人数为+1.
依题意,可得(60-x)+(63-x)+x++1=100,解得x=36,即对A,B两事件都赞成的市民有36人,对A,B两事件都不赞成的市民有13人.
利用Venn图解决生活中的问题时,先把生活中的问题转化成集合问题,借助于Venn图的直观性把它表示出来,再根据集合中元素的互异性求出问题的解.
[变式训练4] 某班共有学生30人,其中15人喜欢篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜欢,求喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数.
解:设全集U={全班30名学生},A={喜欢篮球运动的学生},B={喜欢乒乓球运动的学生},设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15-x,喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为10-x,如图,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以15-x=15-3=12,即喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为12.
1.设全集为R,集合A={x|-3A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3解析:∵A={x|-35},∴A∩(?RB)={x|-32.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( D )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1}.
∴?U(A∪B)={x|03.已知全集U=R,A={x|1≤x解析:∵U=R,A={x|1≤x?UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2..
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为{4,6}.
解析:题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.
5.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1∴A∩B={x|-13}.
——本课须掌握的两大问题
1.在进行集合间的基本运算时,除了紧扣定义和性质,还要注意以下方法与技巧:
(1)进行集合运算时,可按照如下口诀进行:交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切忌重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集.
(2)解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求(?UA)∩B时,先求出?UA,再求交集;求?U(A∪B)时,先求出A∪B,再求补集.
(3)若所给集合是有限集,可先把集合中的元素一一列举出来,然后再结合交集、并集、补集的定义求解.另外,此类问题在解答过程中常常借助Venn图来求解.若所给集合是无限集(数集),在进行运算时常借助数轴,把已知集合表示在同一数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,解题过程中要注意端点问题.
2.解决有关集合的实际应用题时,要学会将文字语言转化为集合语言.涉及交叉有限集的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便.
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-1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[目标]
1.理解充分条件、必要条件的意义;2.掌握判断命题的充分且必要条件的方法;3.能进行有关充分条件、必要条件的判断.
[重点]
充分条件与必要条件的判断及应用.
[难点]
对充分条件与必要条件的理解.
知识点  充分条件与必要条件
[填一填]
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p?q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
[答一答]
1.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?
提示:由上述定义知“p?q”表示有p必有q,所以p是q的充分条件,这点容易理解.但同时说q是p的必要条件是为什么呢?q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p.
2.若p是q的充分条件,这样的条件p是唯一的吗?
提示:不唯一.如10的充分条件,又如,x>5,20的充分条件.
3.用集合的观点如何理解充分条件与必要条件?
提示:设p:x∈A,q:x∈B.
若A?B,则p是q的充分条件,若A?B,则p是q的充分不必要条件
若B?A,则p是q的必要条件,若B?A,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充分条件和必要条件
若A?B且B?A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
类型一  用定义法判断充分条件、必要条件
【例1】 指出下列各题中,p是q的什么条件?(在充分不必要条件、必要不充分条件、充分且必要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
(1)p:0(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(3)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;
(4)p:m(5)p:△ABC有三个内角相等,q:△ABC是正三角形.
【分析】 针对每个命题,分析判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件的定义得出结论.
[解] (1)当0(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以推出(a-2)(a-3)=0,因此p是q的必要不充分条件.
(3)四边形的四条边相等,不一定得出该四边形为正方形,即pq;但当四边形是正方形时,其四条边一定相等,即q?p,故p是q的必要不充分条件.
(4)当m(5)因为p?q,q?p,即p?q,所以p是q的充分且必要条件.
?1?判断p是q的什么条件,主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立,若p?q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q?p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
?2?关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p?q及q?p的真假时,也可以从集合角度入手去判断,结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解,对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
[变式训练1] (1)“a>0”是“|a|>0”的( A )
A.充分不必要条件   
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若a,b∈R,则“a>b>0”是“a2>b2”成立的( B )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)因为“a>0”?“|a|>0”,但是“|a|>0”?“a>0或a<0”,所以“|a|>0”不一定推出“a>0”,故“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件,故选A.
(2)由不等式的性质可得a>b>0?a2>b2>0,由a2>b2可得|a|>|b|,不一定有a>b>0,也可a0,b<0且a>-b,故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件.
类型二  用集合法判断充分条件、必要条件
【例2】 (1)0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的(  )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】 (1)|x-2|<4?-2[解析] (1)由题意,设A={x|0(2)x∈M或x∈N,即x∈M∪N,因为(M∩N)?(M∪N),所以“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的必要不充分条件.
[答案] (1)A (2)B
[变式训练2] 已知条件甲:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:条件乙:-1类型三  求参数的取值范围
【例3】 已知p:关于x的不等式【分析】 求出q对应的集合,然后把问题转化为集合间的包含关系求解.
[解] 记A=,B={x|0若p是q的充分不必要条件,则A?B.
注意到B={x|0(1)A=?,即≥,解得m≤0,此时A?B,符合题意;
(2)若A≠?,即<,解得m>0,
要使A?B,应有
综上可得,实数m的取值范围是{m|m<3}.
?1?根据定义,已知p是q的充分条件?或q是p的必要条件?,则p?q成立.
?2?可从集合的角度判断:
①若集合A?B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件.
②若集合A?B,则A不是B的充分条件,B也不是A的必要条件.
[变式训练3] 已知M={x|a-1解:∵M是N的充分条件,∴M?N,
∵M={x|a-1∴,解得-2≤a≤7.
故a的取值范围是-2≤a≤7.
类型四   素养提升
对充分、必要条件的概念理解不透
【例4】 不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是(  )
A.x≠0
B.x≤-6
C.x≤-6或x≥1
D.x≥1
【解析】 由不等式|2x+5|≥7,化为2x+5≥7,或2x+5≤-7,解得x≥1,或x≤-6.∴不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是x≠0,故选A.
【答案】 A
[变式训练4] 在下列四个结论中,正确的有①④.
①x>2是|x|>2的充分不必要条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则a2+b2≠0是a、b全不为零的充要条件;
④若a,b∈R,则a2+b2≠0是a、b不全为零的充要条件.
解析:逐一排除,②中∠A不一定为直角,故为充分条件,③为必要条件.
1.使不等式>成立的充分条件是( D )
A.aB.a>b
C.ab<0
D.a>0,b<0
解析:a>0,b<0?>.
2.使不等式a2>b2成立的必要条件是( C )
A.aB.a>b
C.|a|>|b|
D.ab>0
解析:a2>b2?|a|>|b|.
3.a为素数不是a为奇数的充分条件(填“是”或“不是”).
解析:若a=2,a是素数,但不是奇数.
4.若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a=-3.
解析:由题意知x=1?x2+ax+2=0,即x=1是方程x2+ax+2=0的根.∴a=-3.
5.说出下列各小题中,p是q的什么条件.
(1)p:-2(2)p:x2-2x-8=0,q:x=-2或x=4.
解:(1)令A={x|-2∵B?A,∴pq,但q?p,∴p是q的必要不充分条件.
(2)令A={x|x2-2x-8=0}={x|x=-2或x=4}={-2,4},B={x|x=-2或x=4}={-2,4}.
∵A=B,∴p?q,即p是q的充分且必要条件.
——本课须掌握的两大问题
1.充分理解“充分条件”与“必要条件”的概念:
(1)“p是q的充分条件”反映了p?q,而“q是p的必要条件”也反映了p?q,所以“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.“p是q的充分条件”只反映了p?q,与q能否推出p没有任何关系.
(2)注意以下等价的表述形式:①p?q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.
(3)判断充分条件(或必要条件)的实质是判断命题“若p,则q”(或“若p,则q”的逆命题)的真假.
2.熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法:
(1)定义法:
①分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论;
②找推式:判断“p?q”及“q?p”的真假;
③下结论:根据推式及定义下结论.
(2)集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断,如下表:
关系
A?B
B?A
A=B
A?B且B?A
图示
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
用集合法判断充分条件、必要条件、充要条件时,要尽可能用图示、数轴等几何方法.图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度.
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-1.4.2 充要条件
[目标]
1.会判断一个命题的充要条件;2.会求一个命题的充要条件;3.会证明p是q的充要条件.
[重点]
充要条件的判断与证明及充要条件的探求.
[难点]
对充要条件的理解及含参数问题的讨论.
知识点
 充要条件
[填一填]
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p?q,又有q?
p,就记作p?q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
[答一答]
1.符号“?”的含义是什么?
提示:符号“?”的含义是“等价于”,例如“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”;“p?q”的含义还可以理解为“p?q且q?p”.
2.充要条件与原命题、逆命题有什么关系?
提示:充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.
类型一  充要条件的判断
【例1】 (1)设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的(  )
A.充分不必要条件   
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知命题甲:(x-m)(y-n)<0,命题乙:x>m且yA.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
[解析] (1)由题意得A,B,C,D间的关系如图.故D是A的必要不充分条件.
(2)因为甲:(x-m)(y-n)<0?或?xn,或x>m且y[答案] (1)B (2)D
若原命题“若p,则q”为真命题,且逆命题“若q,则p”也为真命题,即p?q,那么p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
[变式训练1] p是q的充要条件的是( D )
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
解析:对A.p:x>1,q:x<1,所以p是q的既不充分也不必要条件;对B.p?q,但qp,p是q的充分不必要条件;对C.p?q,但qp,p是q的必要不充分条件;对D.p?q,且q?p,即p?q,p是q的充要条件.故选D.
类型二  充要条件的证明
【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【分析】 (1)先分清条件和结论,然后证明充分性和必要性.(2)本题中的条件是ac<0,结论是方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根.(3)本题要借助于判别式和根与系数的关系的相关知识来证明.
[证明] 充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0,
∴方程ax2+bx+c=0,有两不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:由于方程ax2+bx+c=0,有一正根和一负根,∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,∴ac<0.综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
(1)一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”即q?p;证明必要性时则以p为“已知条件”,即p?q.
(2)证明“充要条件”的一般步骤:

→→
[变式训练2] 已知关于x的一元二次方程:①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,m∈Z.求证:方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
证明:方程①有实根的充要条件是m≠0且Δ=16-4×4×m≥0,所以m≤1且m≠0.
方程②有实根的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,解得m≥-.
所以方程①②都有实根的充要条件是-≤m≤1且m≠0.
又m∈Z,故m=-1或m=1.
当m=-1时,方程①无整数解.
当m=1时,方程①和②都有整数解.
从而方程①和②都有整数解?m=1,
反之,m=1?方程①和②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
类型三  充要条件的探求
【例3】 函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(  )
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
[解析] 当m=-2时,y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
[答案] A
探求充要条件一般有两种方法:
(1)等价转化法,将原命题进行等价变形或转化,直至获得其成立的充要条件,探求的过程,同时也是证明的过程,因为探求过程每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法,先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;再证明此条件是该对象的充分条件,即从必要性和充分性两方面说明.
[变式训练3] 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.
解:当a=0时,x=-符合题意.
当a≠0时,令f(x)=ax2+2x+1,由于f(0)=1>0,
∴当a>0时,Δ=4-4a≥0,且-<0,即0当a<0时,f(0)=1,Δ=4-4a>0,
所以方程恒有负实数根.
综上所述,a≤1为所求.
类型四  素养提升
利用充要关系求参数的取值范围
【例4】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
(1)[变条件]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
(2)[变结论]本例中p、q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
【解】 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10},
故有或解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0(1)p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件,
设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,
即实数m的取值范围是m≥9.
(2)不存在.因为p:-2≤x≤10,
q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p是q的充要条件,则,m不存在.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
[变式训练4] 已知A={x|-12}.
解析:由题意,得x∈A?x∈B,但x∈B?x∈A,
∴A?B,∴32.
1.“|x|=|y|”是“x=y”的( B )
A.充分不必要条件    
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y;而x=y?|x|=|y|.
2.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:b=c=0?y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点?c=0,b不一定等于0,故选A.
3.集合M∩N=N是M∪N=M的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:M∩N=N?N?M?M∪N=M.
4.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:必要性:
∵a+b=1,∴a+b-1=0,
∴a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,∴a≠0且b≠0,
∴a2-ab+b2=(a-)2+b2>0,
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
——本课须掌握的两大问题
1.充要条件的证明与探求:
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别:
①p是q的充要条件,则由p?q证的是充分性,由q?p证的是必要性;
②p的充分条件是q,则由p?q证的是必要性,由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件,也可先证出必要性,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
2.充分条件、必要条件、充要条件的传递性:
(1)若p是q的充分条件,q是s的充分条件,即p?q,q?s,则p?s,即p是s的充分条件;
(2)若p是q的必要条件,q是s的必要条件,即q?p,s?q,则有s?p,即p是s的必要条件;
(3)若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p?q,q?s,则有p?s,即p是s的充要条件.
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-1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
[目标]
1.理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的概念;2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即?,?)来表述相关的数学内容.
[重点]
对全称量词与存在量词的理解;能够用全称量词表示全称量词命题,用存在量词表示存在量词命题.
[难点]
全称量词命题与存在量词命题的真假判断.
知识点一  全称量词和全称量词命题
[填一填]
(1)全称量词:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称量词命题:
①定义:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
②一般形式:全称量词命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.
[答一答]
1.常见的全称量词有哪些?
提示:常见的全称量词除了“所有的”“任意一个”,还有“一切”“每一个”“任给”等.
2.全称量词命题中的“x”,“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么?
提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“?x∈N,x≥0”.
3.如何判断全称量词命题的真假呢?
提示:要判定全称量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
知识点二  存在量词和存在量词命题
[填一填]
(1)存在量词:
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)存在量词命题:
①定义:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
②一般形式:存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“存在M中的元素x,使p(x)成立”.
[答一答]
4.常见的存在量词有哪些?
提示:常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”,还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
5.如何判断存在量词命题的真假呢?
提示:要判定存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
类型一  全称量词命题与存在量词命题的判定
【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径;
(3)至少有一个三角形没有外接圆;
(4)有些素数的和仍是素数;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
【分析】 首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,若含有相关量词,则根据量词确定命题是全称量词命题或者是存在量词命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.
[解] (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称量词命题.
(2)是全称量词命题,“任意”为全称量词.
(3)是存在量词命题,“至少有一个”为存在量词.
(4)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤:
?1?首先判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题.
?2?若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.
?3?当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
?4?一个全称量词命题?或存在量词命题?往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称量词?或存在量词?,应结合具体问题多加体会.
[变式训练1] 下列命题中,是全称量词命题的是①②③,是存在量词命题的是④(填序号).
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
类型二  用量词表示命题
【例2】 用全称量词或存在量词表示下列语句.
(1)有理数都能写成分数形式;
(2)整数中1最小;
(3)方程x2+2x+8=0有实数解;
(4)有一个质数是偶数.
【分析】 →
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式.
(2)所有的整数中1最小.
(3)存在实数x0,使x+2x0+8=0成立.
(4)存在一个质数是偶数.
由于叙述的多样性,有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题,但却表达了这两种命题的意思,如果能恰当地引入全称量词或存在量词,即可使题意清晰明了.
[变式训练2] 用量词符号表述全称量词命题.
(1)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数;
(2)对任意实数x,都有x3>x2.
解:(1)?x∈R,x·(-1)=-x.
(2)?x∈R,x3>x2.
类型三   全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例3】 判断下列命题的真假:
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(4)存在一个实数x0,使等式x+x0+8=0成立.
[解] (1)真命题.
(2)真命题.函数f(x)=0就是满足要求的函数.
(3)假命题.如:边长为1的正方形的对角线长,它的长度就不是有理数.
(4)假命题.因为x+x0+8=2+>0,所以等式x+x0+8=0不成立.
?1?判断全称量词命题?x∈M,p?x?是真命题,要对集合M中的每个元素x,证明p?x?成立;判断全称量词命题为假命题只需要在集合M中找到一个元素x,使得p?x?不成立,即找反例.
?2?判断存在量词命题?x∈M,p?x?是真命题,只需在集合M中找到x,使得q?x?成立即可,即举例加以说明;判断存在量词命题为假命题,需要证明集合M中使得q?x?成立的元素不存在.
[变式训练3] 有下列四个命题:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,x≤x0;④?x0∈N
,x0为29的约数.其中真命题的个数为( C )
A.1     B.2     C.3     D.4
解析:对于①,这是全称量词命题,∵Δ=9-32=-23<0,∴?x∈R,2x2-3x+4>0是真命题;对于②,这是全称量词命题,当x=-1时,2x+1<0,故该命题为假命题;对于③,这是存在量词命题,当x0=0时,x≤x0成立,该命题为真命题;对于④,这是存在量词命题,当x0=1时,x0为29的约数,该命题为真命题.故选C.
类型四  素养提升
根据全称量词命题、存在量词命题求参数的范围
【例4】 已知y=3ax2+6x-1(a∈R).
(1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有3ax2+6x-1≤0;
(2)如果对任意x∈R,不等式3ax2+6x-1≤4x恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1,
因为Δ=36-4×(-9)×(-1)=0,
所以对任意x∈R,都有y≤0.
(2)因为3ax2+6x-1≤4x恒成立,所以3ax2+2x-1≤0恒成立,所以即
解得a≤-,即实数a的取值范围是.
?1?若含有参数的不等式y≤m在范围D上能成立,则ymin≤m;若含有参数的不等式y≥m在范围D上能成立,则ymax≥m.
?2?若含有参数的不等式y≤m在范围D上恒成立,则ymax≤m;若含有参数的不等式y≥m在范围D上恒成立,则ymin≥m.
?3?存在量词命题是真命题,可以转化为能成立问题,全称量词命题是真命题,可以转化为恒成立问题解决.
[变式训练4] 已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-(x-2x0+5)>0成立,求实数m的取值范围.
解:(1)存在.理由:不等式m0+x2-2x+5>0可化为m0>-(x2-2x+5),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0>-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.
(2)不等式m-(x-2x0+5)>0可化为m>x-2x0+5,若存在一个实数x0使不等式m>x-2x0+5成立,
只需m>(x-2x0+5)min.
∵x-2x0+5=(x0-1)2+4,
∴(x-2x0+5)min=4,∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是{m|m>4}.
1.下列命题是“?x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是( C )
A.有一个x∈R,使得x2>3
B.对有些x∈R,使得x2>3
C.任选一个x∈R,使得x2>3
D.至少有一个x∈R,使得x2>3
解析:“?”和“任选一个”都是全称量词.
2.既是存在量词命题,又是真命题的是( B )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个x∈R,使x2≤0
C.两个无理数的和是无理数
D.存在一个负数x,使>2
解析:如x=0时,x2=0,满足x2≤0.
3.(多选)下列存在量词命题中,是真命题的是( ABD )
A.?x∈Z,x2-2x-3=0
B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3整除
C.?x∈R,|x|<0
D.有些自然数是偶数
解析:A中,x=-1时,满足x2-2x-3=0,所以A是真命题;B中,6能同时被2和3整除,所以B是真命题;D中,2既是自然数又是偶数,所以D是真命题;C中,因为所有实数的绝对值非负,所以C是假命题.故选ABD.
4.下列命题:
①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③正四棱锥的侧棱长相等;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是①②③,既是存在量词命题又是真命题的是④⑤(填上所有满足要求的序号).
解析:①是全称量词命题,是真命题;②是全称量词命题,是真命题;③是全称量词命题,即:任意正四棱锥的侧棱长相等,是真命题;④含存在量词“有的”,是存在量词命题,是真命题;⑤是存在量词命题,是真命题;⑥是存在量词命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°.
5.用量词符号“?”“?”表述下列命题,并判断真假.
(1)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立.
(2)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
(3)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
解:(1)?x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(2)?x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
(3)?(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
——本课须掌握的两大问题
1.理解全称量词命题及存在量词命题时应注意的问题:
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.
(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.
2.全称量词命题与存在量词命题的区别:
(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
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-1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
[目标]
1.能正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定;2.知道全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
[重点]
能够正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定.
[难点]
全称量词命题和存在量词命题的否定在形式上的变化.
知识点一  全称量词命题的否定
[填一填]
[答一答]
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题吗?
提示:是,因为全称量词的否定一定是存在量词,所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题.
2.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
知识点二  存在量词命题的否定
[填一填]
[答一答]
3.为什么存在量词命题的否定一定是全称量词命题?
提示:因为对“有的”,“存在一个”,“至少一个”等词语的否定是“都没有”,“都不存在”,“全都不”等,所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题.
4.“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”有什么区别与联系?
提示:(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
(2)与一般命题的否定相同,全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定.因此,对全称量词命题和存在量词命题的否定,应根据命题所叙述的对象的特征,挖掘其中的量词.全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反;存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
类型一  全称量词命题的否定
【例1】 (1)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  )
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得x≥0
D.存在x0∈R,使得x<0
(2)命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是________.
[解析] (1)全称量词命题的否定是存在量词命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得x<0”,故选D.
(2)全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题的否定为“?x0∈R,|x0|+x<0”.
[答案] (1)D (2)?x0∈R,|x0|+x<0
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法:
?1?求全称量词命题的否定命题,先将全称量词调整为存在量词,再对性质p?x?否定为綈p?x?.
?2?若全称量词命题为真命题,其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,其否定命题就是真命题.
[变式训练1] (1)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( C )
A.綈p:?x∈A,2x∈B
B.綈p:?x?A,2x∈B
C.綈p:?x∈A,2x?B
D.綈p:?x?A,2x?B
(2)命题“?x>0,>0”的否定是( B )
A.?x0>0,≤0
B.?x0>0,0≤x0≤1
C.?x>0,≤0
D.?x<0,0≤x≤1
解析:(1)全称量词命题的否定是存在量词命题,将“?”改为“?”,“2x∈B”否定为“2x?B”,即綈p:?x∈A,2x?B.
(2)∵>0,∴x<0或x>1,∴命题“?x>0,>0”的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”,故选B.
类型二   存在量词命题的否定及真假判定
【例2】 写出下列存在量词命题p的否定綈p,并判断綈p的真假.
(1)p:?x0<0,x0++2<0.
(2)p:有一个质数含有三个正因数.
(3)p:存在实数m0,x2+x+m0=0的两根都是正数.
[解] (1)綈p:?x<0,x++2≥0.
当x=-2,x++2<0,所以綈p是假命题.
(2)綈p:每一个质数都不含有三个正因数,綈p是真命题.
(3)綈p:对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.
假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,则必须即此不等式组无解,所以不存在实数m0,使x2+x+m0=0的两根都是正数,命题p为假命题,所以綈p为真命题.
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法:
?1?求存在量词命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词,再对性质p?x?否定为綈p?x?.
?2?由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.
[变式训练2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)?x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于四条边相等的平行四边形是菱形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“?x,y∈Z,x+y≠3”.
当x=0,y=3时,x+y=3,
因此命题的否定是假命题.
若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决,同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决.
[变式训练3] 若命题“?1≤x≤2,一次函数y=x+m的图象在x轴上方”为真命题,求实数m的取值范围.
解:当1≤x≤2时,1+m≤x+m≤2+m,因为y=x+m图象在x轴上方,所以m+1>0,即m>-1.
类型四  素养提升
对全称量词命题和存在量词命题的否定不完全
【例4】 已知命题p:存在一个实数x0,使得x-x0-2<0,写出綈p.
【错解一】 綈p:存在一个实数x0,使得x-x0-2≥0.
【错解二】 綈p:对任意的实数x,都有x2-x-2<0.
【错因分析】 该命题是存在量词命题,其否定应是全称量词命题,但错解一得到的綈p仍是存在量词命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定.错解二只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.
【正解】 綈p:对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.
【解后反思】 对含有量词的命题进行否定时,(1)牢记全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,注意不能只否定结论,而忘记了对量词的否定;也不能只否定量词,而忘记了对结论的否定.(2)牢记命题的否定与原命题的真假性相反,可以以此检验命题的否定是否正确.
[变式训练4] 已知命题p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈p是( C )
A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0
B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0
C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0
D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0
解析:利用全称量词命题的否定是存在量词命题求解.命题p的否定为“?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0”.
1.命题:“?x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( C )
A.?x∈R,都有x2-x+1≤0
B.?x0∈R,使x-x0+1>0
C.?x0∈R,使x-x0+1≤0
D.以上均不正确
解析:原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题,故选C.
解析:原命题为存在量词命题,其否定为全称量词命题.
3.命题“?x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是?x∈R,3x2-2x+1≤0.
4.命题p:?x0∈R,x+2x0+5<0是存在量词命题(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是假命题(填“真”或“假”),它的否定为綈p:?x∈R,x2+2x+5≥0.
解析:命题p:?x0∈R,x+2x0+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,
所以命题p为假命题.
命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.
5.写出下列命题p的否定綈p,并判断命题綈p的真假.
(1)p:?x∈R,x2+x+1>0.
(2)p:?x0,y0∈R,
+(y0+1)2=0.
解:(1)綈p:?x0∈R,x+x0+1≤0.
由于x2+x+1=(x+)2+≥,所以綈p为假命题.
(2)綈p:?x,y∈R,+(y+1)2≠0.
当x=-y=1时,+(y+1)2=0,所以綈p为假命题.
——本课须掌握的两大问题
1.对全称量词命题的否定以及特点的理解:
(1)全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称量词命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.
(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定命题.
2.对存在量词命题的否定以及特点的理解:
(1)由于全称量词命题的否定是存在量词命题,而命题p与綈p互为否定,所以存在量词命题的否定就是全称量词命题.
(2)全称量词命题与存在量词命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断命题的真假.
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