第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
[目标]
1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．
[重点]
用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．
[难点]
集合元素特性的应用.
知识点一
元素与集合的含义
[填一填]
1．定义
(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
[答一答]
1．以下对象的全体能否构成集合？
(1)河北《红对勾》书业的员工；
(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；
(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；
(4)不超过2
019的非负数．
提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．
(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．
(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．
(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2
019的非负数”，即“0≤x≤2
019”与“x<0或x>2
019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2
019的非负数”能构成一个集合．
2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？
提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．
知识点二
元素与集合的关系
[填一填]
如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong
to)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not
belong
to)集合A，记作a?A.
[答一答]
3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？
提示：1∈A,5?A.
知识点三
常用数集及表示
[填一填]
[答一答]
4．常用的数集符号N，N
，N＋有什么区别？
提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N
或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括元素0，而N
或N＋不包括元素0.
(2)N
和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N
或N＋，为避免出错，对于N
和N＋可形象地记为“星星(
)在天上，十字架(＋)在地下”．
5．用符号“∈”或“?”填空．
(1)1∈N
；(2)－3?N；
(3)∈Q；(4)?Q；
(5)－∈R.
类型一
集合的概念
[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________．
(1)所有的正三角形；
(2)高一数学必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
(6)参加里约奥运会的年轻运动员．
[答案] (1)(4)(5)
[解析] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；
(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；
(3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；
(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；
(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．
判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.
[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D )
A．的所有近似值
B．某个班级中学习好的所有同学
C．2018年全国高考数学试卷中所有难题
D．屠呦呦实验室的全体工作人员
解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．
类型二
集合中元素的特性
命题视角1：集合元素的互异性
[例2] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[分析] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.
[变式训练2] (1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( D )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( C )
A．1 B．－2 C．6 D．2
解析：(1)集合中任何两个元素不相同．
(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.
命题视角2：集合元素的无序性
[例3] 集合A中含有三个元素0，，b，集合B中含有三个元素1，a＋b，a，若A，B两个集合相等，求a2
019＋b2
019的值．
[分析] 由两个集合相等，所含元素相同列出a，b的关系式，解出a与b，再求a2
019＋b2
019的值．
[解] 由两个集合相等易知a≠0，a≠1，故a＋b＝0，且b＝1或＝1.
若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；
若＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．综上知a＝－1，b＝1.
所以a2
019＋b2
019＝(－1)2
019＋12
019＝0.
两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.
[变式训练3] 集合A由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a，b∈A，那么的不同值有( B )
A．12个
B．13个
C．16个
D．17个
解析：a，b是集合A的元素，的值会因a，b的顺序不同而不同．a，b所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的有13个不同的值．
类型三
元素与集合的关系
[例4] (1)给出下列关系：①∈R；②?Q；
③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[答案] (1)B (2)0,1,2
[解析] (1)是实数；是无理数；|－3|＝3是自然数；|－|＝是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．
(2)由∈N，x∈N知x≥0，≥0，且x≠3，故0≤x<3.又x∈N，故x＝0,1,2.
当x＝0时，＝2∈N，当x＝1时，＝3∈N，
当x＝2时，＝6∈N.
故集合A中的元素为0,1,2.
判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关系.
[变式训练4] 已知不等式3x＋2>0的解集为M.
(1)试判断元素－1,0与集合M的关系；
(2)若a－1是集合M中的元素，求a的取值范围．
解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0，
∴－1不是集合M中的元素，∴－1?M.
又3×0＋2＝2>0，
∴0是集合M中的元素，∴0∈M.
(2)∵a－1∈M，∴3(a－1)＋2>0.
∴3a>1，∴a>.
1．下列各组对象不能构成集合的是( B )
A．某中学所有身高超过1.8米的大个子
B．约等于0的实数
C．某市全体中学生
D．北京大学建校以来的所有毕业生
解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合．
2．下列命题中，正确命题的个数是( C )
①集合N
中最小的数是1；②若－a?N
，则a∈N
；
③若a∈N
，b∈N
，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：N
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N
，a?N
，故②错误；若a∈N
，则a的最小值是1，同理，b∈N
，b的最小值也是1，∴当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．
3．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( B )
A．0∈M
B．－1∈M
C．3?M
D．1∈M
解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
4．集合A由元素－1和2构成，集合B是方程x2＋ax＋b＝0的解，若A＝B，则a＋b＝－3.
解析：∵A＝B，
∴方程x2＋ax＋b＝0的解是－1或2.
∴a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，求a的值．
解：∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3.
①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1.
当a＝2时，|a＋1|＝3，此时集合A中含有两个3，因此应舍去．
当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．
②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．
当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．
综上可知a＝－1或a＝－4.
——本课须掌握的三大问题
1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．
2．关于特定集合N，N
(N＋)，Z，Q，R等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．
3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果，“∈”与“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合．
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-第2课时 集合的表示
[目标]
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
[重点]
集合的两种表示方法及其运用．
[难点]
对描述法表示集合的理解.
知识点一
列举法
[填一填]
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
{ }表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．
[答一答]
1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？
提示：不能，因为花括号“{ }”表示“所有、全部”的意思．
2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？
提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．
3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？
提示：不是．
知识点二
描述法
[填一填]
1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
2．具体方法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[答一答]
4．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
类型一
用列举法表示集合
[例1] (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解．
[答案] (1)B (2)见解析
[解析] (1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合应注意的三点,?1?应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
?2?集合中的元素一定要写全，但不能重复；
?3?若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
[变式训练1] 用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)所有正整数组成的集合；
(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．
解：(1){1,3,5,15}．
(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．
(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}．
类型二
用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－7<3的解集A；
(2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B；
(3)被3除余2的正整数的集合C；
(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.
[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．
[解] (1)解2x－7<3得x<5，
所以A＝{x|x<5}．
(2)函数值组成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．
(3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，
所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．
?1?用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
?2?若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－x的图象上所有点组成的集合；
(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；
(4).
解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．
(2){x|x＝－11}．
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}．
(4)先统一形式，，，，，…，找出规律，集合表示为.
类型三
两种方法的灵活应用
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解组成的集合；
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)所有的正方形组成的集合；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．
[解] (1)解方程组得故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．
该集合也可用描述法表示为.
(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}．
(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
当集合的元素个数很少?很容易写出全部元素?时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多?不易写出全部元素?时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)用描述法表示为{x|2
(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
1．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( A )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：由题x∈N，且x<5，∴x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．
2．方程组的解集是( C )
A．{x＝1，y＝1}
B．{1}
C．{(1,1)}
D．{(x，y)|(1,1)}
解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x，y，排除D.
3．集合{x|x＝，a<36，x∈N}，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}．
解析：由a<36，可得<6，即x<6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.
4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)x2－4的一次因式组成的集合；
(4)由方程组的解所组成的集合．
解：(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．
(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．
(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．
——本课须掌握的两大问题
1．表示集合的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
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-1.1.2 集合间的基本关系
[目标]
1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．
[重点]
集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．
[难点]
集合间的关系及应用．
知识点一
子集的有关概念
[填一填]
1．Venn图
通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．
2．子集
(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
(2)符号语言：记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
(3)图形语言：用Venn图表示．
3．真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(B?A)．
4．集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.
[答一答]
1．若A?B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？
提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．
2．“∈”与“?”有什么区别？
提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．“?”与“<”一样吗？
提示：不一样，“?”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．
4．如何判断两个集合是否相等？
提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；
方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A?B且B?A.
知识点二
空集
[填一填]
不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集．
[答一答]
5．0，{0}，?，{?}有何区别？
提示：
知识点三
子集、真子集的性质
[填一填]
由子集、真子集和空集的概念可得：
(1)空集是任何集合的子集，即??A；
(2)任何一个集合是它自身的子集，即A?A；
(3)空集只有一个子集，即它自身；
(4)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C；
(5)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C.
[答一答]
6．(1)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，则A?C，若A?B，B?C呢？
(2)若??A，则A≠?对吗？
提示：(1)A?C. (2)对．
类型一
确定集合的子集、真子集
[例1] (1)已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
(2)填写下表，并回答问题：
集合
集合的子集
子集的个数
?
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解] (1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
(2)
集合
集合的子集
子集的个数
?
?
1
{a}
?，{a}
2
{a，b}
?，{a}，{b}，{a，b}
4
{a，b，c}
?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
?1?确定所求集合；
?2?合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,?3?注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，?2n－1?个真子集，?2n－1?个非空子集，?2n－2?个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.
[变式训练1] 试写出满足条件??M?{0,1,2}的所有集合M.
解：因为??M?{0,1,2}．
所以M为{0,1,2}的非空真子集．
所以M中的元素个数为1或2，
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；
当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；
所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
类型二
集合间关系的判断及应用
命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系
[例2] (1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N
B．N?M
C．M?N
D．N?M
(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( )
A．A?B
B．A?B
C．A?B
D．A?B
[答案] (1)C (2)D
[解析] (1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M?N.
(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．
判断两集合关系的步骤：
?1?先对所给集合进行化简.
?2?搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.
[变式训练2] 指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系
[例3] 能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的( )
[答案] B
[解析] N＝{0,1}?M.
用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.
[变式训练3] 已知集合A＝{x|x2＝x，x∈R}，集合A与非空集合B的关系如图所示，则满足条件的集合B的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵A＝{x|x2＝x，x∈R}＝{0,1}，又B?A，且B为非空集合，∴B可以为{0}或{1}．故选B.
命题视角3：利用数轴理解集合间的关系
[例4] 已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围．
[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析．
[解] 集合A在数轴上表示如图．
要使A?B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内，
那么由4x＋m<0，即x<－知，－≤－2，即m≥8，故实数m的取值范围是m≥8.
在数轴上表示集合A与B时要注意，端点处都是空心点，所以当＝－2时，集合B为{x|x<－2}，仍满足A?B.这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.
[变式训练4] 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若A?B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.
(2)若B?A，则集合B中的元素都在集合A中，
则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则有( B )
A．A?B
B．C?B
C．D?C
D．A?D
解析：正方形是邻边相等的矩形．
2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( B )
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
解析：由题意，得N＝{0,1}，故N?M.
3．已知集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有5个．
解析：∵A?{1,2,3}，∴A中至多含有2个元素．∵A中至少有一个奇数，∴A可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．
4．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是a≤.
解析：∵??{x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?，即方程x2－x＋a＝0有解，∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
5．已知集合B＝{－1,0,1}，若A?B，试写出所有满足条件的集合A.
解：当A＝?时，满足条件；
当A是单元素集合时，满足条件的集合A有{－1}，{0}，{1}；
当A是含两个元素的集合时，满足条件的集合A有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}；
当A是含三个元素的集合时，满足条件的集合A为{－1,0,1}．
故满足条件的集合A有?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．
——本课须掌握的三大问题
1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：?和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A?B类问题时，
需分类讨论A＝?与A≠?两种情况．
3．要证明A＝B，只需要证明A?B且B?A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A?B.又设任意y0∈B，证明y0∈A，从而得到B?A，进而证明得到A＝B.
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1
-1．1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
[目标]
1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义；2.能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养逻辑推理的核心素养．
[重点]
两集合并集、交集的概念及运算．
[难点]
两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透.
知识点一
并集
[填一填]
1．并集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.
符号语言表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪?＝A；
(4)A∪B?A，A∪B?B；
(5)A?B?A∪B＝B.
[答一答]
1．“或”的数学内涵是什么？
提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：
①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B.
2．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？
提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：
当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和．
知识点二
交集
[填一填]
1．交集的定义
文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.
符号语言表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．
2．交集的运算性质
对于任何集合A，B，有
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩?＝?；
(4)A∩B?A，A∩B?B；
(5)A?B?A∩B＝A.
[答一答]
3．如何理解交集定义中“所有”两字的含义？
提示：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；
②A与B的所有公共元素都属于A∩B；
③当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝?.
4．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？
提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B＝?.
5．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？A∪B＝A呢？
提示：若A∩B＝A，则A?B；
若A∪B＝A，则B?A.
类型一
集合的并集运算
[例1] (1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}
D．{0,1}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
[答案] (1)B (2)A
[解析] (1)集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示．
可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.
[变式训练1] (1)满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∪B.
解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，如图所示．
故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}．
类型二
集合的交集运算
[例2] (1)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．(0,2)
B．[0,2]
C．{0,2}
D．{0,1,2}
(2)若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．?
[分析] 化简A、B，然后利用交集的定义或数轴进行运算．
[答案] (1)D (2)C
[解析] (1)∵|x|≤2，
∴－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．
∵≤4.∴0≤x≤16.
又∵x∈Z，∴B＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．
(2)∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．
1.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.
2.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”?即公共部分?下面的实数组成了交集.
[变式训练2] (1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( C )
A．{2,1}
B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)}
D．(2,1)
(2)若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝( D )
A．{3}
B．{x|1≤x≤2}
C．{2,3}
D．{1,2}
解析：(1)A∩B＝{(x，y)|}＝{(2,1)}．
(2)由题意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，结合Venn图可得A∩B＝{1,2}，故选D.
类型三
并集、交集的综合运算
命题视角1：与参数有关的交集、并集问题
[例3] 已知集合A＝{x|00}，求A∪B，A∩B.
[解] (1)当0所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{x|a≤x≤2}．
(2)当a＝2时，如图(2)所示．
所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{2}．
(3)当a>2时，如图(3)所示．
所以A∪B＝{x|0含参数的集合进行并集与交集的基本运算时，要注意参数的不同取值对相关集合的影响，此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中，应依据a与2的大小关系分为三类.若无a>0的限制条件，则应根据a与0，2的大小分为五类.
[变式训练3] 设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求实数a，b，c的值．
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，且－3∈B，
将－3代入方程x2＋ax－12＝0得a＝－1，
∴A＝{－3,4}，
又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B＝{－3}．
∵B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，
∴(－3)＋(－3)＝－b，(－3)×(－3)＝c，
解得b＝6，c＝9，则a＝－1，b＝6，c＝9.
命题视角2：并集、交集的性质运用
[例4] 设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．
[解] 由A∩B＝B，得B?A，
因为A＝{－2}≠?.
所以B＝?或B≠?.
(1)当B＝?时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，
即所以解得a>.
(2)当B≠?时，①当a＝0时，方程变为x＋1＝0，
即x＝－1.所以B＝{－1}，此时A∩B＝?，所以a≠0.
②当a≠0时，依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等实根，
即Δ＝0，所以1－4a＝0，解得a＝.
此时方程变为x2＋x＋1＝0，其解为x＝－2，满足条件．
综上可得a≥.
求解“A∩B＝B或A∪B＝B”类问题的思路：利用“A∩B＝B?B?A，A∪B＝B?A?B”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误.
[变式训练4] 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，有m＋1>1－m，解得m>0.
当B≠?时，用数轴表示集合A和B，如图所示，
∵B?A，∴解得－1≤m≤0.
检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上所得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.
1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B＝( B )
A．{1,6,5,6,8}
B．{1,5,6,8}
C．{6}
D．{1,5,8}
解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝( D )
A．?
B．{x|x<－}
C．{x|x>}
D．{x|－解析：S＝{x|2x＋1>0}＝，
T＝{x|3x－5<0}＝，
则S∩T＝.
3．若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，C＝{1,4,6}，则(A∩B)∪C＝( D )
A．{1}
B．{1,4,6}
C．{2,4,6}
D．{1,2,4,6}
解析：由集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，得集合A∩B＝{1,2}．
又由C＝{1,4,6}，得(A∩B)∪C＝{1,2,4,6}．故选D.
4．已知集合A＝，B＝{y|y＝x2，x∈A}，A∪B＝.
解析：∵B＝{y|y＝x2，x∈A}＝，
∴A∪B＝.
5．已知A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B.
解：∵A∩B＝B，∴B?A，∴x2＝4或x2＝x.
解得x＝±2或x＝0或x＝1.经检验知，x＝1与集合元素的互异性矛盾，应舍去．∴x＝±2或x＝0，故B＝{1,4}或B＝{1,0}．
——本课须掌握的两大问题
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
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-第2课时 补集及集合的综合应用
[目标]
1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学运算的核心素养．
[重点]
全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算．
[难点]
集合的综合运算及应用.
知识点 补集
[填一填]
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
?UA.
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
3.补集的性质
(1)?UU＝?；(2)?U?＝U；(3)(?UA)∪A＝U；(4)A∩(?UA)＝?；(5)?U(?UA)＝A.
[答一答]
1．全集是不是一个固定不变的集合？集合A的补集是不是唯一的？
提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；A的补集不唯一，随全集的改变而改变．
2．?UA的含义是什么？
提示：?UA的含义：?UA包含的三层意思
①A?U；②?UA是一个集合，且?UA?U；
③?UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
3．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)?A?＝A.( √ )
(2)?NN
＝{0}．( √ )
(3)?U(A∪B)＝(?UA)∪(?UB)．( × )
类型一 补集的简单运算
[例1] 已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解] 集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2如图，将集合A，B在数轴上表示出来．
易知A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
B∩(?RA)＝{x|2＝{x|2求解与补集有关的运算时，首先明确全集是什么，然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集，再根据补集求解与补集有关的运算.
[变式训练1] 设U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求(1)(?UA)∪B；(2)(?UA)∩(?UB)．
解：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}．
∴?UA＝{x|x<－1或2∴(?UA)∪B＝{x|x<－1或2(2)∵U＝{x|x≤4}，B＝{x|1≤x≤3}．
∴?UB＝{x|x<1或3∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x<－1或2类型二 Venn图的应用
命题视角1：利用Venn图进行有限数集的运算
[例2] 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,19}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.
[分析] 题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答．
[解] 易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
由题意，利用如图所示的Venn图，知集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，将集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题.
[变式训练2] 设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(?UA)∩B＝{4}，?U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是( A )
A．3∈A,3?B
B．3?A,3∈B
C．3∈A,3∈B
D．3?A,3?B
解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3?B.
命题视角2：利用Venn图进行抽象集合的运算
[例3] 如图，请用集合U，A，B，C分别表示下列部分所表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ.
[解] 区域Ⅰ是三个集合的公共部分，因此Ⅰ＝A∩B∩C；
区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集，因此Ⅱ＝(A∩B)∩(?UC)；
区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集，因此Ⅲ＝(A∩C)∩(?UB)；
区域Ⅳ是集合B与C的交集与集合A在U中的补集的交集，因此Ⅳ＝(B∩C)∩(?UA)；
区域Ⅴ是集合A与集合B∪C在U中的补集的公共部分构成的，因此Ⅴ＝A∩[?U(B∪C)]；
同理可求Ⅵ＝C∩[?U(A∪B)]，Ⅶ＝B∩[?U(A∪C)]．而区域Ⅷ是三个集合A，B，C的并集在U中的补集，
因此Ⅷ＝?U(A∪B∪C)．
利用Venn图可以将抽象的问题转化为具体的图形，具有简单、直观的特点.
[变式训练3] 已知I为全集，集合M，N?I,
若M∩N＝N，则( C )
A．?IM??IN
B．M??IN
C．?IM??IN
D．M??IN
解析：根据条件画出Venn图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．
类型三 集合在实际问题中的应用
[例4] 2019年初，某市政府对水、电提价召开听证会，如记“对水提价”为事件A，“对电提价”为事件B.现向100名市民调查其对A，B两事件的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的市民人数比对A，B都赞成的市民人数的多1人．问：对A，B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？
[解] 赞成A的人数为100×＝60，赞成B的人数为60＋3＝63.
如图所示，设对事件A，B都赞成的市民人数为x，则对A，B都不赞成的市民人数为＋1.
依题意，可得(60－x)＋(63－x)＋x＋＋1＝100，解得x＝36，即对A，B两事件都赞成的市民有36人，对A，B两事件都不赞成的市民有13人．
利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.
[变式训练4] 某班共有学生30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，求喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数．
解：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜欢篮球运动的学生}，B＝{喜欢乒乓球运动的学生}，设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15－x，喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以15－x＝15－3＝12，即喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为12.
1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：∵A＝{x|－35}，∴A∩(?RB)＝{x|－32．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( D )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0解析：∵U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．
∴?U(A∪B)＝{x|03．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x解析：∵?UA＝{x|x<1，或x≥2}．∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为{4,6}．
解析：题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)＝{3,4,6}∩{2,4,5,6}＝{4,6}．
5．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1∴A∩B＝{x|－13}．
又P＝，
∴(?UB)∪P＝.
又?UP＝，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1——本课须掌握的两大问题
1．在进行集合间的基本运算时，除了紧扣定义和性质，还要注意以下方法与技巧：
(1)进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(?UA)∩B时，先求出?UA，再求交集；求?U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．
(3)若所给集合是有限集，可先把集合中的元素一一列举出来，然后再结合交集、并集、补集的定义求解．另外，此类问题在解答过程中常常借助Venn图来求解．若所给集合是无限集(数集)，在进行运算时常借助数轴，把已知集合表示在同一数轴上，再根据交集、并集、补集的定义求解，解题过程中要注意端点问题．
2．解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言．涉及交叉有限集的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便．
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