1．2
函数及其表示
1．2.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
[目标]
1.理解函数的概念，明确函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集；3.会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值(或值域)和定义域，培养数学运算核心素养．
[重点]
函数概念的理解及对区间的认识．
[难点]
函数概念和符号y＝f(x)的理解及已知函数解析式求函数定义域的方法.
知识点一 函数的有关概念
[填一填]
1．定义
2．相关名称
(1)自变量是x.
(2)函数的定义域是集合A.
(3)函数的值域是集合{f(x)|x∈A}．
3．函数的记法
集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x)，x∈A.
[答一答]
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．
2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？
提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应．
3．在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？
提示：值域是集合B的子集．
知识点二 区间及有关概念
[填一填]
1．区间的定义
条件：a
结论：
区间
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
符号
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[答一答]
4．数集都能用区间表示吗？
提示：区间是数集的又一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用区间表示．
5．“∞”是一个数吗？
提示：“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数．因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
6．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，A∩B如何表示？
提示：区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立．
A∩B＝(1,2]．
类型一
函数的概念
[例1] 下列对应关系是集合A到集合B的函数的个数是( )
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
⑤A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析]
序号
正误
原因
①
×
集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，故①不是集合A到集合B的函数
②
√
对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故②是集合A到集合B的函数
③
×
集合A中的元素是负数时，没有算术平方根，即在集合B中没有对应的元素，故③不是集合A到集合B的函数
④
√
对于集合A中的任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，故④是集合A到集合B的函数
⑤
×
集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故⑤不是集合A到集合B的函数
?1?判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.
?2?函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中的变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
[变式训练1] 下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是( B )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图
C．A＝R，B＝R,
f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z,
f：x→y＝
解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不一定唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
类型二 函数的图象特征
[例2] 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
[答案] B
[解析] A中，当1判定图形是否是函数的图象的方法：
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内移动直线l；
(3)若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数．例如：
[变式训练2] 下图中的图象能够作为函数y＝f(x)的图象的有( A )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)、(3)、(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象．故选A.
类型三
用区间表示数集
[例3] 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1[分析] 依据区间定义写出集合对应的区间，要注意端点的“取”、“舍”与中括号、小括号的关系．
[解] (1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；
(2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)；
(3){x|－1区间是数集的另一种表示形式，它具有简单、直观的优点，是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.使用时要按要求书写.
[变式训练3] 集合{x|2≤x<5}用区间表示为[2,5)；集合{x|x≤－1，或3类型四 函数的求值问题
[例4] 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[分析] 求函数值，首先注意自变量的取值是否在函数的定义域内，然后才能代入运算；对于复合函数，要注意函数值不同的“身份”，函数值在复合函数中也会充当某些函数定义域内的元素．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝
＋＝＋(a≠－2)，
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝
＝.
?1?已知函数y＝f?x?，f?a?表示当x＝a时f?x?的函数值，是一个常量，而f?x?是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f?a?是f?x?的一个特殊值.
?2?求形如f?g?x??的函数值时，应遵循先内后外的原则.
?3?若是抽象函数求值问题，则一般采用赋值法.
[变式训练4] (1)设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝3，g(2)＝8，f(g(2))＝15.
(2)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝.
解析：(1)f(2)＝2×2－1＝3；g(2)＝3×2＋2＝8；
f(g(2))＝f(8)＝2×8－1＝15.
(2)令3x＋2＝4，得x＝.
又a＝2x＋1＝，∴a＝.
1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( D )
解析：根据函数定义，每一个x值对应唯一的y值，选D.
2．已知函数f(x)＝，则f()＝( D )
A.
B.
C．a
D．3a
解析：f()＝＝3a.
3．集合{x|－1≤x<5，且x≠3}用区间表示为[－1,3)∪(3,5)．
4．已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝5.
解析：∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.
5．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2,
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
——本课须掌握的两大问题
1．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．
2．对符号f(x)的理解
(1)f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等都是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．
(2)函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等．
(3)f(x)与f(a)，a∈A的关系：
f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量．
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1
-第2课时 函数的定义域与值域
[目标]
1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．
[重点]
函数相等的概念，求函数的值域．
[难点]
求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.
知识点一 函数相等
[填一填]
1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．
2．结论：两个函数相等．
[答一答]
1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？
提示：观察下表：
函数
定义域
对应关系
值域
f1(x)＝x
R
x→x
R
f2(x)＝2x
R
x→2x
R
f3(x)＝x2
[0,2]
x→x2
[0,4]
f4(x)＝x2
[－1,2]
x→x2
[0,4]
对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；
对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．
知识点二 函数的定义域
[填一填]
函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．
2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合．
3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合．
4．零(负)指数幂的底数不能为零．
5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．
6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
[答一答]
2．函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为( D )
A．{x|x≥1}
B．{x|x>1}
C．{x|1≤x<2或x>2}
D．{x|12}
解析： 要使函数有意义，则只需
解得12，
所以函数的定义域为{x|12}．故选D.
知识点三 函数的值域
[填一填]
求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：
一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．
[答一答]
3．已知函数y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函数y＝x2的值域是什么？
提示：当x＝0时，y＝0；当x＝±1时，y＝1；当x＝2时，y＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．
类型一 函数相等的判断
[例1] 下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)．
[答案] ③⑤
[解析] ①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应法则不同，f(x)＝，g(x)＝.③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应法则都相同．
讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.
[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？
(1)f(x)＝6x，g(x)＝6；
(2)f(x)＝，g(x)＝x＋3；
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
解：(1)g(x)＝6＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．
(2)f(x)＝＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数．
(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．
类型二 函数的定义域
命题视角1：求具体函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示：
(1)y＝＋；(2)y＝
.
[解] (1)要使函数有意义，
则有?
故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，必须满足解得
故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．
求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.
[变式训练2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；(2)y＝.
解析：(1)由已知得
解得x≤1且x≠－5.
所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．
(2)由已知得解得x≤1且x≠0.
所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．
命题视角2：求抽象函数的定义域
[例3] (1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
[分析] 在对应关系相同的情况下，
f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．
[解] (1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，
即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.
∴f(2x＋1)的定义域是.
(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，
即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.
∴f(x)的定义域是[－1,9]．
因为f?g?x??就是用g?x?代替了f?x?中的x，所以g?x?的取值范围与f?x?中的x的取值范围相同.若已知函数f?x?的定义域为[a，b]，则函数f?g?x??的定义域是指满足不等式a≤g?x?≤b的x的取值范围；而已知f?g?x??的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f?x?的定义域，就是求x∈[a，b]时g?x?的值域.
[变式训练3] 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( B )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4]
D．(0,1)
解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．
类型三 求函数的值域
[例4] 求下列函数的值域．
(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(4)y＝.
[解] (1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6，
∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．
(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.
∴所求函数的值域为[2,11)．
(4)y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠，
∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠}．
根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.?1?对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；?2?对于二次函数，可借助图象求函数的值域；?3?通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.
[变式训练4] 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；
(2)y＝；
(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．
解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，
∴y∈{1,3,7,9}．
(2)∵y＝＝＝1－，
且≠0，
∴函数y＝的值域为{y|y≠1}．
(3)配方，得y＝(x－2)2－4.
∵x∈[1,4]，
∴函数的值域为[－4,0].
1．函数f(x)＝＋的定义域为( A )
A．[－1,2)∪(2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－1,2)
D．[－1，＋∞)
解析：由
解得x≥－1且x≠2.故选A.
2．函数f(x)＝x2＋1(0)的值域是( D )
A．{x|x≥1}
B．{x|x>1}
C．{2,3}
D．{2,5}
解析：∵0，
∴x＝1或x＝2.
∴f(1)＝2，f(2)＝5，
故函数的值域为{2,5}．
3．若函数f(x)与g(x)＝是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．
解析：∵2－≠0，∴x≠6，
又x－2≥0，∴x≥2，
∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．
故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．
4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1解析：因为f(x)的定义域为{x|－1所以－1<2x＋1<1，
解得－15．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)y＝；
(3)y＝x－.
解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－)2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．
——本课须掌握的三大问题
1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．
2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．
3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．
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8
-1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
[目标]
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
[重点]
函数解析式的求法及函数图象的画法．
[难点]
求函数解析式的两种通法．
知识点 函数的表示法
[填一填]
函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
[答一答]
1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？
提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．
2．函数的三种表示方法各有什么优点？
提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；
图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；
列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．
3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．
提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：
类型一 列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.
[分析] 这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
[答案] 1 1
[解析] 由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.
[变式训练1] (1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.
(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则g(f(2))＝1；f(g(2))＝3.
解析：∵f(2)＝3，g(2)＝2，∴g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(2))＝f(2)＝3.
类型二 图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[分析] ???观察,图象
.
[解] (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
作函数图象应注意：?1?在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；
?2?图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
?3?要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
[变式训练2] 作出下列函数图象，并求其值域：
(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．
由图象可知，y∈[－5,3)．
类型三 解析法表示函数
[例3] 求函数的解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
[解] (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
所以
解得k＝3，b＝1，或k＝－3，b＝－2.
所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(2)法1：(配凑法)
因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)．
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
法2：(换元法)
令＋1＝t(t≥1)．
则x＝(t－1)2(t≥1)．
所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)f(x)＋2f＝x，令x＝，得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
求函数解析式的方法：
?1?代入法：已知f?x?的解析式，求f[g?x?]的解析式常用代入法.
?2?配凑法：已知f[g?x?]的解析式，求f?x?的解析式时，可先从f[g?x?]的解析式中拼凑出“g?x?”，即把“g?x?”作为整体，再将解析式的两边的g?x?用x代替即可求得f?x?的解析式.
?3?换元法：已知f[g?x?]的解析式，要求f?x?的解析式时，可令t＝g?x?，利用t表示出x，然后代入f[g?x?]中，最后把t换为x即可.注意换元后新元的范围.
?4?待定系数法：已知f?x?的函数类型，求f?x?的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.
[变式训练3] (1)已知f＝，求f(x)；
(2)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．
解：(1)设t＝，则x＝(t≠0)，
代入f＝，
得f(t)＝＝(t≠0)，
故f(x)＝(x≠0)．
(2)由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax＋b(a>0)，
∵f[g(x)]＝4x2－20x＋25，
∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25，
即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，
从而a2＝4,2ab＝－20，b2＝25，
解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R).
1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D )
A．f(x)＝－x
B．f(x)＝x－1
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x＋1
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有所以a＝－1，b＝1，f(x)＝－x＋1.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))＝( B )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式为f(x)＝3x＋2.
解析：解法一：令2x＋1＝t，则x＝.
∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2，∴f(x)＝3x＋2.
解法二：∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，∴f(x)＝3x＋2.
4．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是y＝80x2＋800x,_x∈(0，＋∞)．
解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0，化简为：y＝80x2＋800x，x∈(0，＋∞)．
5．某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．
解：用列表法表示如下：
用图象法表示，如图所示．
用解析法表示为y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
——本课须掌握的三大问题
1．函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
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-第2课时 分段函数
[目标]
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养．
[重点]
分段函数求值、分段函数的图象及应用．
[难点]
对分段函数的理解．
知识点 分段函数
[填一填]
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
[答一答]
1．分段函数的定义域部分可以相交吗？
提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．
2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为[－4,3]．
解析：由题图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2,3]；当x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3].
类型一 分段函数的定义域、值域
[例1] (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
[分析] 分段函数的定义域、值域?各段函数的定义域、值域．
[答案] (1)D (2)(－1,1) (－1,1)
[解析] (1)由于f(x)＝＝故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知定义域为{x|0[变式训练1] 已知函数f(x)＝
则函数的定义域为R，值域为[0,1]．
解析：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
类型二 分段函数求值
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－)))的值．
(2)若f(x)＝2，求x的值．
[分析] 分段考虑求值即可．
(1)先求f(－)，再求f(f(－))，
最后求f(f(f(－)))；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，
分段验证求x.
[解] (1)f(－)＝(－)＋2＝.
∴f(f(－))＝f()＝()2＝，
∴f(f(f(－)))＝f()＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，
其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
?1?分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.?2?多层“f
”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.?3?已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
[变式训练2] (1)已知函数f(x)＝
则f(1)的值为( D )
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( B )
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
解析：(1)因为1>0，所以f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，故选D.
(2)当a≤0时，
由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；
当a>0时，由f(a)＝a2＝4，
得a＝2或a＝－2(舍去)．
∴a＝－4或a＝2.
类型三 分段函数的图象
[例3] 画出下列函数的图象，并写出它们的值域．
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
[分析] 先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
[解] (1)函数y＝的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点?关键点?处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实.
[变式训练3] (1)下列图形是函数y＝
的图象的是( C )
解析：因为f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；
当x<0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有选项C中的图象符合．
(2)已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．
①作出函数f(x)的图象．
②判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．
解：①函数f(x)＝|x－2|(x＋1)，
去绝对值符号得f(x)＝
可得f(x)的图象如图所示．
②直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图：
由图象可知．
当a<0时，有一个交点；
当a＝0时，有两个交点；
当0当a＝时，有两个交点；
当a>时，有一个交点．
综上，当a<0或a>时，有一个交点；
当a＝0或a＝时，有两个交点；
当0
1．已知f(x)＝则f(x)的定义域为( C )
A．R
B．(－∞，1]
C．(－∞，2)
D．(1，＋∞)
2．已知f(x)＝则f()＋f(－)等于( B )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
解析：f()＝2×＝，
f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝×2＝，所以f()＋f(－)＝＋＝4.
3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝2.
解析：由题意知f(0)＝2.又f(2)＝22＋2a，所以22＋2a＝4a，即a＝2.
4．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝－，函数f(x)的值域是[－3，＋∞)．
5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)．
(1)求f[f(0)]的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得f[f(0)]＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，
将与代入，
得
∴∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2∴f(x)＝
——本课须掌握的问题
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
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