(共25张PPT)
学习目标
自主预习
不共线
基底
分解式
相同
零向量
相反
×
√
×
课前练习
探究点2
用基底表示向量
探究点3
直线的向量参数方程的应用
则C的轨迹是什么图形？简单说明理由
当堂检测
课堂小结：
1.梳理了本节课的基础知识，熟练向量基本定理的应用；
2.三点共线问题的一般性结论，以及如何运用一般性结论解题.
目
录
考点
学习目标
核心素养
共线向量基本定理掌握共线向量基本定理/数学抽象
数学运算
数学抽象、
平面向量基本定理理解平面向量基本定理
数学运算
数学建模、
向量的应用两定理的熟练应用
逻辑推理
预习教材P152
9的内容,思考以下问题
共线向量基本定理是怎样表述的
2.用向量证明
线有哪些方法
3.平面向量基本定理的内容是什么
如何定义平面向量基底
实数与直线上的向量建立了什么关系
共线向量基本定理
如果a≠0
a,则存在唯一的实数2,使得
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知,如果A
不同的点,则它们共线的充要条件是
①判断正误(正确的打“√”,错误
(1)一个平面
对不共线的向量可作为表示该平面内所有向
的基底()
(2)若
是同一平面内两个不共线向量,则1e1+2e2(41,A2为
实数可以表示该平面内所有向量.()
(3)若ae
cede,la
d
例2]如图,在平行四边形ABC
对角线
试用基底a,b表
例3]已知平面内两定点A,B,对该平面内任一动点C,总
OC=304+(1-3)OB(∈R,点O为直线AB外的一点(共18张PPT)
6.2.1向量基本定理
【自主预习】
【课堂探究】
【课后拓展】
【学习目标】
1.能利用向量共线得到向量等式，能利用向量的表达式得到向量的关系。
2.能利用基底表示向量。利用基底建立向量间的关系.
【学习目标】
【自主预习
】
知识点
一
共线向量基本定理
(1)定义
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得_______
(2)几点说明
①b＝λa时，通常称为b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有______.
③如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：______________
知识点
二
平面向量基本定理
(1)定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得__________
(2)几点说明
①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果c＝xa＋yb＝ua＋vb，那么___________
②当x≠0或y≠0时，必有___________也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是__________________
(3)基底与向量的分解
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组________此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为__________________．
【课堂探究
】
在之前的学习中我们已经知道，当存在实数λ，使得b=λa时，b//a．那么，这个结论反过来是否成立呢？
【导入新课】
共线向量基本定理
共线向量基本定理：
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
【尝试与发现1】
尝试与发现2
平面向量基本定理：
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa＋yb．
【问题1】给定向量a，b，定理中的实数对（x，y）如何找到？
【问题2】如何用共线向量定理证明x，y是唯一的？
基底的概念：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
典型例题
典型例题
典型例题
1.共线向量基本定理
2.共面向量基本定理
【课堂小结】
【评价反馈】
课后作业：
书面作业：156页练习A2,3
课后作业：156页练习A1，练习B(共21张PPT)
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
你能想到些什么？
1.【导入新课】
2.【讲授新课】
3.【评价反馈】
4.【课堂小结】
5.【布置作业】
课标要求
素养要求
1.理解直线上向量的坐标的定义.
2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系.
3.会求数轴上两点之间的距离及中点坐标.
通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养.
1.【导入新课】
我们在必修第一册上已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2).
1.直线上向量的坐标
对于直线l上的任意一个向量a，一定存在
的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标.此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且：当x>0时，a的方向与e的方向
；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向
.
0的坐标是零，单位向量e的坐标是1
单位向量
相同
相反
解 (1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，
∴a的坐标为2，b的坐标为－3.
【训练1】 如图所示，求出向量a，b的坐标.
解 因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2.
规律方法 为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
(1)将向量用单位向量表示出来；
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
解 (1)a－b的坐标为－3－4＝－7.
(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18.
解 设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8.
解 (1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，∴xC＝xA±10，
∴xC＝－12或8.
解析 向量不能比较大小，故A不正确.
答案 A
3.【评价反馈】
2.数轴上的向量a的模为1，则a的坐标为( )
A.1
B.－1
C.±1
D.不能确定
解析 设a的坐标为x，
∵|a|＝1，∴|xe|＝|x||e|＝|x|＝1，∴x＝±1.
答案 C
3.数轴上点A(－3)关于点M(2)的对称点为B(x)，则x＝________.
答案 7
4.已知a，b是直线上的向量，a的坐标为1，且|3a－2b|＝1，求b的坐标.
解 设b的坐标为x，则|3×1－2x|＝1，即3－2x＝±1，
∴x＝1或x＝2，即向量b的坐标为1或2.
4.【课堂小结】
1.通过学习直线上向量的坐标及其运算，提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.
2.掌握求直线上向量坐标的两种方法，能熟练地进行直线上向量坐标的线性运算.
3.能运用数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式求距离或确定点的坐标.
5.【布置作业】
层次一：基础达标案
层次二：能力提升案
思考探究：创新猜想（多选题）(共18张PPT)
直线上向量的坐标及其运算
6.2.2
学习目标
数学学科核心素养
1.理解直线上向量的坐标的概念，会求直线上向量的坐标；
2.理解直线上向量坐标的运算，会求直线上向量的加、减、数乘的坐标运算；
3.会用数轴上两点间的距离公式和中点坐标公式解决实际问题。
1.通过本节例1、例2的学习提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养；
2.通过本节例3的学习培养学生的创新意识和应用意识。
一
二
一、直线上向量的坐标
1.填空.
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标.
2.怎样理解a=xe?
提示:x既能刻画向量a的模,也能刻画a的方向
(1)|a|=|xe|=|x|;
(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a=0;当x<0时,a的方向与e的方向相反.
一
二
二、直线上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)已知两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则
①a+b的坐标为x1+x2;
②ua+vb的坐标为ux1+vx2;
③ua-vb的坐标为ux1-vx2.
(2)数轴上两点间的距离公式
(3)中点坐标公式
探究一
探究二
探究三
当堂检测
概念的辨析问题
例1.下列命题正确的个数有( )
(1)向量的长度大于0;(2)数轴上离原点越远的点表示的数越
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A
解析:向量的长度为0,非零向量的长度大于0,故向量的长度大于或等于0,所以(1)错误;离原点远但在负半数轴上的点表示的数是绝对值较大的负数,该数较小,所以(2)错误;在数轴上标出三点A、B、C,可知
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟数轴和向量的概念是以后学习直角坐标系和学习平面向量、空间向量的基础,需要了解得比较清楚,本题考查的概念中,尤以(3)不容易理解,注意把类似等式和点的位置联系起来理解,另外注意向量相加时,两向量的首尾字母相同时,才可以把向量的和用一个向量表示.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1.以下结论错误的为( )
A.0在数轴上表示的点是原点
B.一千万分之一在数轴上的对应的点是不存在的
C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴
D.在数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等
答案:B
解析:数轴上的点的集合与实数集之间是一一对应的,任何一个实数都可以在数轴上找到对应点,因此B错误.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
数轴上基本公式的应用
例2.已知数轴上有A,B两点,A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3.
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和.
解:∵A与原点的距离为3,∴A(3)或A(-3),
当A(3)时,∵A、B距离为1,
(2)满足条件的所有B到原点距离和为S=2+4+4+2=12.
反思感悟本题要注意区别距离和向量的坐标概念,由A到原点的距离为3,不能只得到A点坐标为3,还有可能其坐标为-3.从而相应的B点的坐标也有两种情况,注意不要漏解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2.已知A,B,C是数轴上任意三点,
(1)若A(4),B(-2),求AB中点的坐标;
探究一
探究二
探究三
当堂检测
直线上向量坐标运算的实际应用
例3：在平面直角坐标系xoy中，已知A（3,2），B（1,0），C（-2,0）
试在x轴上确定点D的坐标，使
？
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟:解决本题的的关键是：将平面直角坐标系中问题转化成数轴上的问题，借助于本节的公式来解决问题。
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3：解关于x的方程：
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3：解关于x的方程：
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-6,则|AB|=
( )
A.3
B.6
C.9
D.4
答案:C
解析:|AB|=|3-(-6)|=9.
2.在数轴上,与点M(-1)的距离是4的点的坐标为 .?
答案:3或-5
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.在数轴上求一点P,使它到点A(-8)的距离是它到点B(-4)的距离的2倍.
解:设点P的坐标为P(x),则d(P,A)=2d(P,B),
即|x+8|=2|x+4|,
即|x+8|=|2x+8|,
即x+8=±(2x+8).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知|x-1|<1,求实数x的取值范围.
解:方法一:因为|x0-1|表示点A(x0)与点B(1)之间的距离,
所以当|AB|=1时,得A(2)或A'(0),
使|AB|<1的点C(x)在点A'(0)和点A(2)之间,
如图所示,所以0方法二:①当x-1>0,即x>1时,x-1<1,
所以x<2,所以1②当x-1=0,即x=1时,0<1,满足关系|x-1|<1,所以x=1.
③当x-1<0,即x<1时,-(x-1)<1,
所以-x+1<1,所以x>0,所以0由①②③得01.构建思维脉络；
（向量数字化，实现向量的数字运算.）
2.画知识网络图；
3.掌握两种数学思想.
（分类讨论和数形结合）
课堂小结
1.完成课本P160练习A和练习B；
2.完成学案课后拓展.
布置作业：(共17张PPT)
6.2.3
平面向量的坐标及其运算
第1课时
平面向量的坐标、平面向量的运算与坐标的关系
第2课时
距离公式与中点坐标公式、向量平行的坐标表示
第1课时
平面向量的坐标、平面向量的运算与坐标的关系
【学习目标】
1.平面向量的坐标的定义；
2.平面向量的坐标的求法；
3.平面向量直角坐标在向量相等和线性运算中的应用.
探究一：
1.正交基底：
2.正交分解：
如果平面向量的基底
中，
，就称这组基底为正交基底.
在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
由上图可以看出，
？
引入坐标的定义：
一般的，给定平面内两个互相垂直的单位向量
，对于平面内的向
量
，如果
，则称
为向量的坐标，
记作
:
.
（2，2）
（3，-2）
牛刀小试：
图6-2-10中
的坐标为
，
的坐标为
探究二：
在平面直角坐标系中，如何确定向量的坐标呢？请同学们自行阅读课本第161页，并完成下题：
图中，
=
，
=
，
=
，
=
（4，2）
（-3，-1）
（1，0）
（0，1）
解:因为
的始点在原点，所以由
的终点坐标知
=（5，-1）
又因为
，所以
=（-4，1）.
小结：1.如果平面上一点A的坐标为（x,y），那么向量
对应的坐标也为
，
即
=
；反之，这一结论也成立.
2.为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
①
②
（x,y）
（x,y）
将向量用正交单位向量
，
表示出来，读出向量的坐标.（探究一）
将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标，即向量的坐标.（探究二）
.
.
课后作业：
层次一:课本166页练习A1、2、3
层次二:课本166页练习B
1，习题6-2A，5(共20张PPT)
6.2.3平面向量的坐标及其运算（一）
当前新肺炎全球流行，牵动了大家的心，影响了大家的学习，如图２离青州Ｏ比较近的Ａ、Ｂ两处有确诊病例，Ａ、Ｂ相对于Ｏ的位置怎么表示，离我们多远呢？Ａ、Ｂ之间的关系呢？
“数无形,少直观;形无数,难入微。”
华罗庚先生说
1．平面向量的坐标表示
2
.平面上向量的运算与坐标的关系
3
.平面向量坐标运算的应用
问题1 类比两个向量平行的定义，能尝试给出两个向量垂直的定义吗？
１.向量的垂直
联想向量的平行得到
如果平面上两个非零向量所在的直线互相垂直，我们就说平面向量与垂直，记作
为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直
情景问题
生成概念
练习：写出下列哪些向量是垂直的
有更简单的形式表示上面两个向量？
（2,2）,(3,-2)
(1,0)
(0,1)
向量a
(0,0)
一一对应
坐标（x,y)
小组合作探研一
当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点怎么办
结论
1.将向量用单位向量表示出来
2.将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标
动手操作
形成感知
典例精讲
请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a，b，c，d所对应的点A，B，C，D.
跟踪练习１
1.将向量用单位向量表示出来
2.将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标
规律总结
为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
小组合作探研二
我们能不能得到向量加减与数乘的一般公式呢？
通过本节课的学习，你有什么收获？（知识层面，思想方法层面）
课堂小结
总结升华
1、知识层面：两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则和向量的模的公式．
2、思想方法层面：通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养.：
１阅读课本，结合学案，进行知识整理，形成系统.必做题A组１，２，３，选做题B组３.
２查阅资料，了解更多向量的发展与应用.
课后巩固
拓展深化
“数无形,少直观;形无数,难入微。”
华罗庚先生说(共15张PPT)
6.2.3
平面向量的坐标及其运算
第1课时
平面向量的坐标、平面向量的运算与坐标的关系
第2课时
距离公式与中点坐标公式、向量平行的坐标表示
第2课时
距离公式、中点坐标公式、向量平行的坐标表示
【学习目标】
1.理解平面向量的坐标概念；
2.掌握向量的坐标运算；
3.通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；
4.通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理能力；
5.借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.
1.
2.
3.
.
课堂小结：
1.两点之间的距离公式，中点坐标公式，注意体会向量在数学学习中的作用；
2.向量共线的坐标表示，以及共线条件在证明题中的作用.
课后作业：
层次一:课本第166页练习A，4，5；练习B,2，4，
层次二:课本第167页习题6-2A，4，5，习题6-2B，4
目
录
所以,AB
探
知向量的始点A(
(x2,yv2),能否直接写出向量的
请学生回答并总结
的坐标就是它的终点与始点的对应
减
题2:根据向量模的
算
对于上式,你还能发现
你能求平面内两
的距离
发现平面内两点A(x1,y1)与B(x2,y2)之间距离
BI=AB
问题
(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的终点为M(x,y),根据前面所学知
对于上式,你能发现线段的
样表
例4已知4
求线段AB的
分点P,O的坐
解:OM
B
因为AB=(13)-(-2)=(3,2)
又因为P=AB,设P(x,y)
A
所以xy)-(-2,1)=(32)
所以xy)=1=+(-2.1)
同理可得,Q
变式训练
已知平行四边形ABCD的顶点A(2,1),B(-1,3),
C(3,4),则顶点D的坐标是
分析试题:设出点D,利用向量的坐标的求法
解
求出两个向量的坐标,再利用向量相等的坐标
关系列出方程组,求出点的坐标。根据题意,
由于平行四边形ABCD的顶点A(2,1),B(-1,3),
C(3,4),则可知
AB=DC∴.(1,2)=(3-x4-y).x=2.y=2
答案为(2,2
探究
线向量基本定
?
课本第165
归纳出向量平
表
设a=(x1,y1)b=(x2,y2
例5已知AB=(2,5a=(1y)AB∥a求的值
解:因为AB∥a所以×5=2×y,解得=(共18张PPT)
6.2.3平面向量的坐标及其运算(二）
1.
平面直角坐标系内两点之间距离公式、
中点坐标公式的应用
2.
向量共线的判定
3.利用向量共线求参数
1.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式.
2.掌握向量平行的坐标表示.
3.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养.
4.通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算，数形结合素养.
学习目标：
情景问题
引入新课
如图已知，A(x1，y1)，B(x2，y2)是坐标系内的两点.
问题1 你能用什么方法求出AB?
问题2 怎样求出AB中点C的坐标(x，y)?
小组讨论，合作探究，学生展示成果
动手操作推导公式
探究一
平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式.
探究二
平面向量共线的坐标表示
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
问题1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程．
问题2 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.请你写出证明过程．
问题3 若b=0，前两个问题中的结论成立吗？
2.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?___________________.
对任意平面向量都成立
x2y1＝x1y2
理性认识
概括公式
题型一 平面直角坐标系内两点之间距离公式、中点坐标公式的应用
【例1】 已知A(－2，1)，B(1，3).
(1)求AB的中点M的坐标；
(2)求线段AB两个三等分点P，Q的坐标，并计算PQ.
典例剖析
规律方法 利用两个公式时，关键是确定线段两个端点的坐标.
【训练1】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2，1)，B(2，2)，C(3，6)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：
(1)AB，AD；
(2)D点的坐标.
解 (1)由两点间距离公式，得
又因为AD＝BC，所以
规律方法 此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
【跟踪训练2】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
规律方法 由向量共线求参数的值的方法
当堂检测
1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A.1
B.－1
C.4
D.－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
答案 D
答案 D
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是________.
4.给定两个向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值.
解 ∵a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，
通过本节课的学习，你有什么收获？（知识层面，思想方法层面）
课堂小结
总结升华
1、知识层面：
平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，向量平行的坐标表示
2、思想方法层面：
提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.
课后巩固
拓展深化
阅读课本，结合学案，进行知识整理，
形成系统：
必做题A组，选做题B组.
形与数这两者并不是互相割裂的，早在产生数
学的萌芽时期，就通过长度、面积与体积的度
量而把形与数联系了起来。
——吴文俊
