河北省衡水市景县第二中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、填空题
1.如图,要使,还需添加一个条件是_____________(填上适当的一个条件即可).
2.如图,△ABC≌△ADE,∠EAC=25°,则∠BAD=_______°.
3.若直角三角形的斜边长为 10 cm,则斜边上的中线长为_____cm.
4.在等腰三角形中,它的两边长分别为和则它的周长为______________.
5.如图所示,已知为的垂直平分线,则的度数为________________.
6.若直角三角形的两直角边长分别为,,则斜边的长为__________.
7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”,记作.若则该等腰三角形的顶角为_______________.
8.如图,在△ABC中,BD是边AC上的高,CE平分∠ACB,交BD于点E,DE=2,BC=5,则△BCE的面积为__.
9.如图,AD是△ABC的中线,且∠ADC=60°,BC=4,把△ADC沿直线AD折叠后,点C落在点C'的位置上.则B C'=_____________.
10.如图,点P为∠AOB内任一点,E,F分别为点P关于OA,OB的对称点.若∠AOB=30°,则∠E+∠F=_____°.
11.如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,D均落在格点上,则∠BAC+∠ACD=_____°.
12.如图,四边形中,是对角线,是等边三角形,若,则______________________.
二、单选题
13.下列图形不一定是轴对称图形的是( )
A.线段 B.角 C.等腰三角形 D.直角三角形
14.下列条件中,不能判断的是( )
A. B.
C. D.
15.如图,已知△ABC(AB<BC<AC),用尺规在AC上确定一点P,使PB+PC=AC,则下列选项中,一定符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
16.如图,在中,和的平分线交于点,过点作交于交于,若则线段的长为( )
A. B. C. D.
17.一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下,倒下部分与地面成夹角,这棵大树在折断前的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
18.如图,在中,,点分别在上,且将沿所在的直线折叠得到(点在四边形内),连接则( )
A. B. C. D.
三、解答题
19.已知:如图,.
(1)求证:;
(2)求证:.
20.如图,已知及点两点,求作一点,使得点到射线的距离相等,且点Р到点的距离也相等(要求尺规作图,不写作法,并保留作图痕迹).
21.如图,在中,,过的中点作,,垂足分别为点、.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
22.如图,于于为上一点,.
(1)求证:;
(2)试探究线段与的数量和位置关系,并说明理由.
23.已知如图,.求四边形的面积.
24.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B在小正方形的顶点上.??
(1)在直线l上找一点C,使它到A,B两点的距离相等;
(2)在(1)的基础上画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;
(3)在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出),使PA+PB的长最短,这个最短长度的平方值是 .
25.如图,四边形中,平分.试说明:
(1);
(2),求.
26.(材料学习)
小学里已经学过:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形称为梯形,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰.
如图(1),在等腰三角形纸片上,画底边的平行线可得到一个梯形.由可知,于是,又,从而.
定义:像梯形,两腰相等的梯形称为等腰梯形.
几何语言:如图(1),在梯形中,,梯形是等腰梯形.
如果把图(1)的等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠,那么与重合,由于,可知点与点重合,如图()2,于是.由此,我们可以得到如下结论:
(1)等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴,
(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等,
(3)等腰梯形的对角线相等.
(探究归纳)
利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系,我们还可以研究:具备什么条件的梯形是等腰梯形?
(1)如图(3),在梯形中,,求证:梯形是等腰梯形;
归纳提炼1﹔通过(1)的证明可知: _的梯形是等腰梯形;
(2)如图(4),在梯形中,,求证:梯形是等腰梯形.
归纳提炼2:通过(2)证明可知:_ _的梯形是等腰梯形;
27.勾股定理是一个基本的几何定理,尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫做一组“勾股数”.如:等等都是勾股数.
(探究1)
(1)如果是一组勾股数,即满足,则为正整数)也是一组勾股数.如;是一组勾股数,则__ _也是一组勾股数;
(2)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数)是一组勾股数,证明满足以上公式的是一组勾股数;
(3)值得自豪的是,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中, 书中提到:当,为正整数,时,构成一组勾股数;请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ .
(探究2)
观察;…,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从起就没有间断过,并且勾为时股,弦;勾为时,股,弦;
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾为7,则股___ _;弦___ _;
(2)如果用且为奇数)表示勾,请用含有的式子表示股和弦,则股___ ;弦__ _;
(3)观察;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从起也没有间断过.
_;
请你直接用为偶数且)的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ;和弦的长_ _.
28.倍长中线的思想在丁倍长某条线段(被延长的线段要满足两个条件:线段一个端点是图中一条线段的中点;线段与这条线段不共线),然后进行连接,构造三角形全等,再进一步将某些线段进行等量代换,再证明全等或其他的结论,从而解决问题.
(应用举例)如图(1),已知:为的中线,求证:.
简证:如图(2),延长到,使得,连接,易证,得 ,在中, ,.
(问题解决)
(1)如图(3),在中,是边上的中线,是上一点,且,延长交于,求证:.
(2)如图(4),在中,是边的中点,分别在边上,,若,求的长.
(3)如图(5),是的中线,,且,请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ .
参考答案
1.∠CAB=∠DAB或BC=BD或∠C=∠D(答案不唯一,填写其中一个即可)
【分析】
根据ASA即可判断可以添加∠CAB=∠DAB.
【详解】
添加一个条件是∠CAB=∠DAB.(答案不唯一)
理由:∵∠CBA=∠DBA,∠CAB=∠DAB,
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△ABD(ASA)
故答案为:∠CAB=∠DAB(答案不唯一)
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法:ASA、SAS、AAS
2.25°
【分析】
根据全等三角形对应角相等可以得到∠CAB=∠EAD,然后两个相等的角减去同一个∠EAB即可得到∠CAE=∠BAD,从而得到结论.
【详解】
解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠BAD,
即:∠BAD=∠EAC=25°,
故答案为25.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质,属于基础题,相对比较简单,
3.5
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可得出.
【详解】
∵直角三角形斜边长为10cm
∴斜边上的中线长为5cm
故答案为5.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线定理,具体内容为:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.17
【分析】
分情况讨论:腰长为3cm,底为7cm;腰长为7cm,底为3cm,先判断是否构成三角形,再计算周长.
【详解】
当腰长为3cm,底为7cm,3+3<7,不能构成三角形;
当腰长为7cm,底为3cm,能构成三角形,周长:7+7+3=17(cm),
故答案为:17.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质,三角形的三边关系,“分类讨论”的数学思想是关键.
5.70°
【分析】
根据线段垂直平分线得出AC=OC,求出∠A=35°,再由∠ACB=∠A+∠O求出即可.
【详解】
解:∵∠O=35°,CD为OA的垂直平分线,
∴AC=OC,
∴∠A=∠O=35°,
∴∠ACB=∠A+∠O=70°,
故答案为:70°.
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质和线段垂直平分线的应用,关键是求出∠A的度数.
6.5
【分析】
直接根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方进行计算.
【详解】
根据勾股定理,得
斜边的长= (cm).
故答案为:5.
【点睛】
此题考查勾股定理,解题关键在于掌握运算法则.
7.108°
【分析】
根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【详解】
解:∵k=3,
∴设顶角=3x°,则底角=x°,
由三角形的内角和定理可知:x+x+3x=180°,
∴x=36°,
∴该等腰三角形的顶角为3×36°=108°,
故答案为:108°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键.
8.5
【分析】
作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.
【详解】
解:作EF⊥BC于F,
∵CE平分∠ACB,BD⊥AC,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCEBC?EF5×2=5.
故答案为:5.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积,作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.
9.2
【分析】
根据折叠前后角相等可知∠C'DB=60°,再根据AD是△ABC的中线得出C'D=BD,则△C'DB为等边三角形,所以C'B=2.
【详解】
∵把△ADC沿AD对折,点C落在点C′,
∴△ACD≌△AC′D,
∴∠ADC=∠ADC′=60°,DC=DC′.
∴∠CDC′=120°.
∴∠BDC′=60°.
又∵AD为△ABC的中线,BC=4,
∴BD=CD=BC=2,
∴BD=DC′=2,即三角形BDC′为等边三角形.
∴C'B=2.
【点睛】
本题考查了翻折变换的知识点,解题的关键是熟练的掌握与运用翻折变换的相关知识.
10.150
【分析】
连接OP,根据轴对称的性质得到,再利用四边形的内角和是计算可得答案.
【详解】
解:如图,连接OP,
E,F分别为点P关于OA,OB的对称点
故答案为150.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质,四边形的内角和性质,证得,解本题的关键.
11.90
【分析】
证明△DCE≌△ABD(SAS),得∠CDE=∠DAB,根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论.
【详解】
在△DCE和△ABD中,
∵,
∴△DCE≌△ABD(SAS),
∴∠CDE=∠DAB,
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°,
∴∠AFD=90°,
∴∠BAC+∠ACD=90°,
故答案为90.
【点睛】
本题网格型问题,考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系,本题构建全等三角形是关键.
12.10
【分析】
以CD为边向外作出等边△DCE,连接AE,证明△ACE≌△BCD,进而得到AE=BD=26,CD=DE=24,∠ADE=90°,进而由勾股定理在Rt△ADE中即可求出AD的长.
【详解】
解:如下图所示:以CD为边向外作出等边△DCE,连接AE,
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=60°+∠ACD,∠ACD=∠DCE+∠ACD=60°+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACD,
在△ACE和△BCD中:,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE=26,
又△CDE为等边三角形,∴CD=DE=24,∠CDE=60°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°,
再Rt△ADE中,,
故答案为:10.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定,勾股定理求线段长,本题的关键是能作出以CD为边的等边三角形,将已知条件中分散的边转移到同一个三角形中求解,难度较大.
13.D
【分析】
根据轴对称图形的概念求解.
【详解】
①线段是轴对称图形,它关于他的垂直平分线对称;
②角是是轴对称图形,它关于他的角平分线对称;
③等腰三角形是是轴对称图形,它关于他的顶角的角平分线对称;
④直角三角形不一定是是轴对称图形.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念,解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.
14.B
【分析】
根据各个选项和全等三角形的判定方法可以解答本题.
【详解】
A、AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F,根据AAS可以判定△ABC≌△DEF,故选项A不符合题意;
B、AB=DE,∠A=∠D,BC=EF,根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF,故选项B符合题意;
C、AC=DF,BC=EF,∠C=∠F,根据SSA可以判定△ABC≌△DEF,故选项C不符合题意;
D、AB=DE,BC=EF,AC=DF,根据SSS可以判定△ABC≌△DEF,故选项D不符合题意;
故选B.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定,解题关键在于掌握全等三角形的判定定理.
15.C
【分析】
利用PA+PC=AC,PB+PC=AC得到PA=PB,则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上,于是可判断C正确.
【详解】
解:∵点P在AC上,
∴PA+PC=AC,
而PB+PC=AC,
∴PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P.
故选:C.
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图:结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题.
16.A
【分析】
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D,∠MBD=∠DBC,∠DCN=∠DCB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBD=∠MDB,∠NDC=∠DCN,然后即可求得结论.
【详解】
解:∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D,
∴∠MBD=∠DBC,∠DCN=∠DCB,
∵MN∥BC,
∴∠DBC=∠MDB,∠NDC=∠DCB,
∴∠MBD=∠MDB,∠NDC=∠DCN,
∴BM=MD,DN=CN,
∴MN=MD+DN,
即MN=BM+CN.
∵BM+CN=8
∴MN=8,
故选:A.
【点睛】
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握.此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形.
17.B
【分析】
如图,由于倒下部分与地面成30°夹角,所以∠BAC=30°,由此得到AB=2CB,而离地面5米处折断倒下,即BC=6米,所以得到AB=12米,然后即可求出这棵大树在折断前的高度.
【详解】
解:如图,∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,
∴AB=2CB,
而BC=6米,
∴AB=12米,
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=18米,
故选B.
【点睛】
本题利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题,解题关键是善于观察题目的信息,利用信息解决问题.
18.A
【分析】
根据折叠的性质和勾股定理可以得到解答.
【详解】
解:如图,过F作FG⊥AC于G,则在RT△EGF中,∠GEF=180°-2∠CED=60°,
∴∠GFE=90°-∠GEF=30°,
∴GE=,FG=,
∴AG=AC-CE-GE=5-2-1=2,
∴在RT△AGF中,,
故选A.
【点睛】
本题考查三角形的折叠,熟练掌握折叠和直角三角形的性质及勾股定理的应用是解题关键.
19.(1)详见解析;(2)详见解析
【分析】
(1)根据平行线的性质可得:∠A=∠C,根据线段的和差可得AF=CE,根据全等三角形的判定可得:△ADF≌△CBE,继而即可求证结论;
(2)根据全等三角形的性质可得∠AFD=∠CEB,继而可得:∠DFE=∠BEC,根据平行线的判定即可求证结论.
【详解】
证明:
即
在和中,
.
,
.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定及其性质,解题的关键是证得△ADF≌△CBE.
20.详见解析
【分析】
分别作CD的垂直平分线和∠AOB的平分线OE,两线交点即为所求作 .
【详解】
解:如图,
(1)连结CD,作CD的垂直平分线,设为l;
(2)作∠AOB的平分线OE,与l交点设为P,
由题意可知,P点即为所求作.
【点睛】
本题考查角平分线和垂直平分线的绘制,熟练掌握有关作法及其依据是解题关键.
21.(1)证明见解析;(2)=80°
【分析】
(1)利用已知条件和等腰三角形的性质证明,根据全等三角形的性质即可证明;
(2)根据三角形内角和定理得∠B=50°,所以∠C=50°,在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】
解:(1)证明:∵点D为BC的中点,
∴BD=CD,
∵,,
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中,
∴,
∴.
(2)∵
∴∠B=180°-(∠BDE+∠BED)=50°,
∴∠C=50°,
在△ABC中,=180°-(∠B+∠C)=80°,
故=80°.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键.
22.(1)详见解析;(2)且,详见解析
【分析】
(1)由全等三角形的判定方法SAS即可求证结论;
(2)根据全等三角形的性质和三角形内角和即可求解.
【详解】
解:于于,
在与中
.
且
理由:
,
即
且.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法及其性质,三角形内角和,解题的关键是利用:SAS证得三角形全等.
23.
【分析】
连结AC,可以得到△ABC为直角三角形,分别算出△ACD和△ABC的面积,则△ABC的面积减去△ACD的面积即为所求面积.
【详解】
解:连接
在中,
即,
为直角三角形,
即
【点睛】
本题考查三角形面积的综合运用,熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题关键 .
24.(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)20.
【详解】
试题分析:(1)作线段AB的垂直平分线与直线l相交于点C,则点C就是随求的点;
(2)作A、B关于直线的对称点,连接即可得到结论;
(3)连接BA′交直线l于点P,连接PA,PB,则PA+PB=BA′最短,根据勾股定理计算即可.
试题解析:解:(1)答案如图;
(2)答案如图;
(3)连接BA′交直线l于点P,连接PA,PB,则PA+PB=BA′最短, =20.故答案为20.
25.(1)详见解析;(2)3
【分析】
(1)根据角平分线的性质可得到CE=CF,根据余角的性质可得到∠EBC=∠D,已知CE⊥AB,CF⊥AD,从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF.
(2)已知EC=CF,AC=AC,则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF,最后证得AB+DF=AF即可.
【详解】
证明:平分,
在与中,
;
在与中,
,
,
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质;证明线段相等往往通过三角形全等来证明,还要运用相等的线段进行转移,这是很重要的方法,注意掌握.
26.(1)详见解析;在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(2)梯形是等腰梯形;归纳通过(2)的证明可知:对角线相等的梯形是等腰梯形;
【分析】
(1)分别延长交于点,由平行线的性质可得:∠EAD=∠B,∠EDA=∠C,根据已知条件和等角代换可得:∠EAD=∠EDA,由等角对等边的性质可得:EA=ED,根据线段和差可得AB=CD,进而即可求证结论;
(2)过点作的平行线交的延长线于点,易证,由全等三角形的性质和等量代换可得:DE=BD,根据等边对等角的性质和等角代换可得:∠DBC=∠ACB,进而由全等三角形的判定可证△ACB≌△DBC,进而可得:AB=CD,进而即可求证结论.
【详解】
解:
(1)如图(1),分别延长交于点,
在梯形中,
,
,
梯形是等腰梯形;
归纳提炼1:通过(1)的证明可知:
在同底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
(2)如图(2),过点作的平行线交的延长线于点,
易证,
可证得,
梯形是等腰梯形;
归纳提炼1:通过(2)的证明可知:
对角线相等的梯形是等腰梯形;
【点睛】
本题主要考查等腰梯形的判定,涉及到全等三角形的判定和性质、等边对等角的性质及等角对等边的性质、等量代换及等角代换,解题的关键是综合利用所学知识证得AB=CD.
27.探究1(1)6,8,10;(2)详见解析;(3);探究2(1),;(2),;(3)①80,②,弦
【分析】
探究1:(1)根据勾股定理,令k=2即可求解(答案不唯一);
(2)根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证;
(3)根据勾股定理逆定理计算,证明结论,根据题意写出勾股数;
探究2:(1)根据规律即求解;
(2)如果勾用n(n≥3,且n为奇数)表示时,则股=,弦=;
(3)根据规律可得股比弦小2,根据规律可得,如果是符合同样规律的一组勾股数,为偶数且),根据所给3组数据找出规律即可得结论.
【详解】
探究1:(1)6,8,10(答案不唯一);·
(2)证明:
,
,
满足以上公式的是一组勾股数;
(3)∵=
∴满足以上公式的是一组勾股数;
当时,,
∴构成一组勾股数.(答案不唯一)
探究2:(1)依据规律可得,如果勾为,
则股,
弦,
(2)如果勾用,且为奇数)表示时,
则股,
弦
(3)①b=80.
②根据规律可得,如果是符合同样规律的一组勾股数,为偶数且),
则另一条直角边
弦
【点睛】
本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理,数字类规律问题,掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键.
28.;(1)详见解析;(2)5;(3),
【分析】
【应用举例】由全等的性质可得AB=EC,由三角形三边关系可得AC+CE>AE,即AB+AC>2AD;
故答案为EC,AE;
【问题解决】(1)由题意不难得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC,
∴有AF=EF;
(2)延长ED到G,使DG=ED,连结CG、FG,不难得到EF=FG,另同(1)有△BDE≌△CDG,所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°,CG=BE=3,由勾股定理可得FG即EF的长;
(3)由全等三角形的性质可以得到解答.
【详解】
【应用举例】
【问题解决】
如图延长到,
使得
连接
易证
得,
.
如图,延长到,
使得
连接
易证
得,
垂直平分
即
在中,,
,理由如下:
如图3,延长AD到G,使AD=DG,延长DA交EF于P,连结BG,则不难得到△BGD≌△CAD,
∴BG=AC,∠GBD=∠ACD,∠DGB=∠DAC,
又AF=AC,∴BG=AF,
∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF,
∴在△ABG和△EAF中,,
∴△ABG≌△EAF,
∴EF=AG=2AD,∠EFA=∠DGB=∠DAC,
∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°,
∴∠EFA+∠PAF=90°,∴∠APF=90°,
∴EF⊥AD .
【点睛】
本题考查全等三角形的综合运用,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 .