河北省涿州市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题（ Word版，附答案解析）

河北省涿州市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ 　）
A． B． C． D．
2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两段M、N的距离．如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　 　）
A．线段OP
B．线段OQ
C．线段PQ
D．线段PN
4．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
5．氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米，用科学记数法表示0.00000000529是（ ）
A．5.29×10-8 B．5.29×10-9 C．5.29×10-10 D．5.29×109
6．因式分解的结果是（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x-4)
C． D．
7．下列分式中，属于最简分式的是（　 　）
A． B． C． D．
8．一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．能把一个三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，这条线一定是这个三角形的一条（ ）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．一条边的垂直平分线
10．若分式的值为0，则x的值为　　
A．3 B． C．3或 D．0
11．如图，一定全等的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．②与③ D．以上答案都不对
12．如图，把边长为12的等边三角形纸板剪去三个小等边三角形，得到正六边形，则剪去的小等边三角形的边长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定≌，则添加的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
14．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”.
小明的做法：原式；
小亮的做法：原式；
小芳的做法：原式．
其中正确的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
15．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
二、填空题
16．如图，∠CBD＝100°，∠A＝20°，则∠C＝_____°．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为_____．
18．把x3－6x2+9x分解因式的结果是______________．
19．有两根小棒分别长2厘米和4厘米．要围成一个等腰三角形，第三根小棒的长度应该是____厘米．
20．观察下列各式：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4
………
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．当n为正整数，且n≥2时，请你猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝______________．
三、解答题
21．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AB=AC．
23．先化简，然后a在﹣1、0、2、3四个数中选一个合适的数代入求值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A（﹣3，1），B（﹣2，3），C（2，1），直线l上各点的横坐标都为1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
（2）请直接写出点A′、B′、C′的坐标；
（3）若点M在△ABC内部，直接写出点M（a，b）关于直线l对称点M′的坐标．
25．从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．
（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；
（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　　；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是　　；
（2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？说出你的理由；
（3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．求BC的长；
（4）点Q是BC边上的一个动点，在直线MN上是否存在点P，使PB+PQ的和最小？若存在请标出点P的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】
四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形．
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
2．D
【分析】
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用.．
3．C
【分析】
利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
【详解】
解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
4．B
【解析】
试题分析：完全平方公式: a2±2ab+b2= (a±b)2,由题,∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16,故选B．
考点：完全平方公式.
5．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000000529＝5.29×10?9，
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．B
【解析】
试题分析：=（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=（x+2）（x﹣4）．故选B．
考点：因式分解-运用公式法．
7．D
【分析】
根据最简分式的定义即可判断．
【详解】
解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选：D
【点睛】
本题主要考查的是最简分式的定义，正确的掌握最简分式的定义是解题的关键．
8．B
【分析】
根据多边形的内角和公式、外角和即可得．
【详解】
设这个多边形的边数是，
因为任意多边形的外角和都等于，
所以，
解得，
即这个多边形的边数是4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
9．C
【分析】
根据中线的性质即可求解．
【详解】
解：三角形的一条中线将三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，
故选：C
【点睛】
本题主要考查的是中线的性质，正确的掌握中线的性质是解题的关键．
10．A
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3．
故选A．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
11．B
【分析】
根据ASA进行判断即可．
【详解】
在三角形①和三角形③中∠B=∠D，BC=DE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
12．D
【分析】
由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，由原等边三角形的边长可知得到剪去的小正三角的边长.
【详解】
如图，
∵六边形BCEFHI是正六边形，
∴BC=CE=EF=FH=HI=BC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=120°，
∴∠7=∠8=∠9=∠10=∠11=∠12=60°，
∴△ABI≌△DEC≌△GHF，且都是等边三角形，
∴AB=BC=CD=12÷3=4.
?故选D
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质与判定，正六边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定定理是解题的关键.
13．A
【分析】
根据题意可得，对顶角相等即，再根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．
【详解】
A．，它们的夹角是，不是，
∴无法判定≌，故本选项符合.
B．在≌中，
，
∴≌(ASA)，故本选项不符合.
C．在≌中，
，
∴≌(AAS)，故本选项不符合.
D．,
,
在≌中，
，
∴≌(SAS)，故本选项不符合.
故选A.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）.
14．C
【解析】
试题解析：
=
=
=
=
=1．
所以正确的应是小芳．
故选C．
15．B
【分析】
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．
【详解】
∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
16．80
【分析】
根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
是的外角，
，
又，
，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
17．6；
【解析】
分析：根据辅助线做法得出CF⊥AB，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度．
详解：∵根据作图法则可得：CF⊥AB， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8， ∵∠CFB=90°，∠B=60°， ∴BF=BC=2，
∴AF=AB－BF=8－2=6．
点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形．
18．x(x﹣3)2
【分析】
先提取公因式，然后按照完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：x3－6x2+9x
=x（x2-6x+9）
=x(x-3)2
故答案为：x(x-3)2．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握知识点是解题关键．
19．4
【分析】
根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出结果．
【详解】
解：∵要围成一个等腰三角形，
∴有两种可能：2、2、4和2、4、4，
2+2=4，所以2、2、4舍掉，
∴第三根小棒的长度为4，
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查的三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
20．an﹣bn
【分析】
根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（a-b），另一项每一项的次数均为n-1，而且按照字母a的降幂排列，故可得答案．
【详解】
解：由题意，当n=1时，有（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；当n=2时，有（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；当n=3时，有（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；所以得到（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．
故答案为：an﹣bn．
【点睛】
本题的考点是归纳推理，主要考查信息的处理，关键是根据所给信息，可知两因式中，一项为（a-b），另一项每一项的次数均为n-1，而且按照字母a的降幂排列．
21．（1）﹣1；（2）7ab﹣2a2；（3） ；（4）
【分析】
（1）按照零指数幂和负指数幂法则计算，再求和即可；
（2）用括号内各项分别和相除即可；
（3）先进行乘方运算，再用乘法分配律计算；
（4）分别进行多项式乘法和运用完全平方公式，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】
本题考查了零指数幂、负指数幂和整式的乘除法运算，解答关键是按照相关法则进行计算．
22．证明见解析.
【分析】
已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质定理可得DE=DF，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得∠B=∠C，由等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
【详解】
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
【点睛】
本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，比较综合，难度适中．
23．，-2
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
当a=2时，原式各分母均有意义，所以a取2，
把a=2代入，原式= －2．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
24．（1）详见解析；（2）A′（5，1）、B′（4，3）、C′（0，1）；（3）（﹣a+2，b）
【分析】
（1）利用网格图的特点及轴对称的性质，分别确定A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′，然后依次连接即可；
（2）直接利用网格图即可在坐标系中确定点A′、B′、C′的坐标；
（3）比较点A、B、C和点A′、B′、C′的坐标规律即可得出M′的坐标．
【详解】
解：（1）如图：△A′B′C′即为所求，
（2）A′（5，1）、B′（4，3）、C′（0，1）；
（3）M′的坐标（﹣a+2，b）．
【点睛】
此题主要考查轴对称的性质，正确理解关于轴对称的点的坐标特点是解题关键．
25．（1）270（2）他能在开会之前到达
【分析】
（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解；
（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．
【详解】
（1）设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，
根据题意得，＝2，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的根，
则3x＝3×90＝270．
答：高速列车平均速度为每小时270千米；
（2）405÷270＝1.5，
则坐车共需要1.5+1.5＝3（小时），
王老师到达会议地点的时间为13点40．
故他能在开会之前到达．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．（1）50°；70°；（2）∠NMA＝2∠B﹣90°，详见解析；（3）8cm；（4）存在，详见解析
【分析】
（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）与（1）的方法相同，先求出∠A，然后根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（3）根据MN垂直平分AB，可得MB＝MA， 根据△MBC的周长是18cm， 即可求出答案；
（4）过点A做AQ⊥BC于Q，与直线MN相交于于点P，连接PB根据MN垂直平分AB，可得PA=PB，又点A到BC的最短距离就是AQ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°?2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°?∠A＝90°?（180°?2∠B）＝2∠B?90°＝50°；
②∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°?2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°?∠A＝90°?（180°?2∠B）＝2∠B?90°＝70°
故答案为： 50°；70°；
（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）
＝2∠B﹣90°；
（3）如图1：
∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是18cm，
∴AC+BC＝18cm，
∵AB＝10cm
∴BC＝8cm；
（4）存在，如图2，过点A做AQ⊥BC于Q，与直线MN相交于于点P，点P即为所求．
理由：连接PB，∵MN垂直平分AB，
∴PA=PB，又点A到BC的最短距离就是AQ，而AQ=PB+PQ，
∴此时PB+PQ的和最小．
【点睛】
本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，最短距离问题，掌握这些知识点是解题关键．