河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期第三次联考（12月）数学试题 Word版含答案

豫南九校2020—2021学年上期第三次联考
高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设直线false与平面false平行，直线false在平面false上，那么（ ）
A．直线false不平行于直线false B．直线false与直线false异面
C．直线false与直线false没有公共点 D．直线false与直线false不垂直
2．已知集合false，false，则false中所含元素的个数为（ ）
A．3 В．6 С．8 D．10
3．下列说法不正确的是（ ）
A．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱
B．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆
C．平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面
D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
4．将下面的展开图恢复成正方体后，false的度数为（ ）
A．22.5° B．45° C．60° D．90°
5．一水平放置的平面四边形false用斜二测画法绘制的直观图false如图所示，其中false，false，false，四边形false的面积为（ ）
A．false B．false C．3 D．false
6．已知函数false，若false，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．函数false在区间false上单调递增，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图），在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟，那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知函数false的图象关于原点对称，且满足false，且当false时，ffalse，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．如图，四棱锥false中，false，false，false和false都是等边三角形，则异面直线false与false所成角的大小为（ ）
A．90° B．75° C．60° D．45°
11．已知奇函数false在false上是增函数，false．若false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如图，在正方体false中，false，false，false分别为棱false，false，false的中点，用过点false，false，false的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）

A B C D
二、填空题（本大题共4小题）
13．正方体false中，与面false的对角线false异面的棱有______条．
14．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为false，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为false，则false的值为______．
15．若函数false在区间false上为减函数，则false的取值范围是______．
16．若正三棱锥false的侧棱长为8，底面边长为4，false，false分别为false，false上的动点（如图），则截面false的周长最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，false是圆锥的顶点，false是圆锥底面圆false的直径，点false在圆锥底面圆false上，false为false的中点．若false为正三角形，且false，设三棱锥false的体积为false，圆锥的体积为false，求false．
18．已知不等式false．
（1）求不等式的解集false；
（2）若当false时，不等式false总成立，求false的取值范围．
19．如图，一个侧棱长为false的直三棱柱false容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱false，false，false，false的中点false，false，false，false．
（1）求证：平面false平面false；
（2）当底面false水平放置时，求液面的高．
20．已知函数false与false，其中false是偶函数．
（1）求实数false的值；
（2）若函数false只有一个零点，求实数false的取值范围．
21．若函数false自变量的取值区间为false时，函数值的取值区间恰为false，就称区间false为false的一个“和谐区间”．已知函数false是定义在false上的奇函数，当false，false．
（1）求false的解析式；
（2）求函数false在false内的“和谐区间”；
（3）若以函数false在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数false的图象，是否存在实数false，使集合false恰含有2个元素．若存在，求出实数false的取值集合；若不存在，说明理由．
22．【选考题】
请考生在模块一、模块二两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
【模块一】
如图，在四棱锥false中，false平面false，四边形false是一个直角梯形，false，false，false．
（1）求证：false平面false；
（2）若false，且false，求三棱锥false的侧面积．
【模块二】
如图所示，三棱柱false的底面是边长为2的正三角形，侧棱false底面false，点false，false分别是棱false，false上的点，点false是线段false上的动点，false．
（1）当点false在何位置时，false平面false？
（2）若false平面false，判断false与false的位置关系，说明理由；并求false与false所成的角的余弦值．
豫南九校2020—2021学年上期第三次联考
高一数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C
【解析】∵直线false与平面false平行，由线面平行的定义可知：直线false与平面false无公共点，又直线false在平面false上，∴直线false与直线false没有公共点，故选C．
2．D
【解析】列举：false，共含10个元素，故选D．
3．D
【解析】A显然正确；B当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确．C．根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确；D．直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是同底面的两个圆锥，因此D不正确，故选D．
4．C
【解析】把图形复原后，连接false，false，false三点恰好构成一个等边三角形，所以false为60°．故选C．
5．В
【解析】平面四边形false的直观图false是直角梯形，其面积为false；根据平面图形与它的直观图面积比为false，计算四边形false的面积为false，故选B．
6．A
【解析】因为false，所以false在定义域false上单调递增，要使false，则false，解得false，故选A．
7．D
【解析】令false，则false，因为false在定义域内是单调递增函数，故false也必为单调递增函数，又false在false上要恒大于零，则有false，解得false．故选D．
8．D
【解析】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以false，所以false，所以false．故选D．
9．C
【解析】因为函数false的图象关于原点对称，所以false为奇函数，所以false，因为false，所以false，
故false；而false，所以由false可得false；而false，解得false．故选C．
10．A
【解析】延长false至false，使false，连接false，false，因为false，false，所以false，false．所以四边形false为平行四边形，所以false．所以false（或其补角）就是异面直线false与false所成的角．在false中，false，false，设false，易知false，在false中，false，false，所以false．因为false是等边三角形，所以false．
因为false，所以false．故选A．
11．C
【解析】因为false是奇函数且在false上是增函数，所以在false时，false，从而false是false上的偶函数，且在false上是增函数，false，false，又false，则false，所以false，即false，所以false，故选C．
12．C
【解析】取false的中点false，连接false，则false为过点false，false，false的平面与正方体的面false的交线．延长false，交false的延长线于点false，连接false，交false于点false，则false为过点false，false，false的平面与正方体的面false的交线．同理，延长false，交false的延长线于点false，连接false，交false于点false，则false为过点false，false，false的平面与正方体的面false的交线．所以过点false，false，false的平面截正方体所得的截面为图中的六边形false．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．故选C．
二、填空题（本大题共4小题）
13．6 14．false 15．false 16．11
13．【解析】如图，在正方体false中，与面false的对角线false异面的棱有false，false，false，false，false，false，共6条．
14．【解析】设圆柱的底面圆的半径为false，则高为false，则圆锥母线长为false，所以false，false，所以false．
15．【解析】令false，
1 当false时，false在false上为减函数，∴false∴false；
2 当false时，false在false上为减函数，此时不成立．
综上所述：false．
16．【解析】正三棱锥false的侧面展开图如图，由平面几何知识可得false，所以false，于是false，所以false．即false，所以false，所以false，又false，可得false．截面false的周长最小值为：false．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】∵false，∴false，
∴false边长为false的正三角形，∴false，
∴false，false，
∴false．
18．【解析】
（1）由已知可得：false，因此，原不等式的解集为false．
（2）令false，则原问题等价false，且false，false，
令false，则当false时，false，可得false，当false时，即当false时，函数false取得最小值，即false，∴false．因此，实数false的取值范围是false．
19．【解析】
（1）证明：因为false，false分别为棱false，false的中点，所以false是false的中位线，所以false．又false平面false，false平面false，所以false平面false．
同理false平面false，又false，false平面false，false平面false，所以平面false平面false．
（2）当直三棱柱false容器的侧面false水平放置时，由（1）可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱false容器的高，即侧棱长false，当底面false水平放置时，设液面的高为false，false的面积为false，
则由已知条件可知，false，且false，所以false．
由于两种状态下液体体积相等，所以false，即false．因此，当底面false水平放置时，液面的高为false．
20．【解析】
（1）∵false是偶函数，∴false，∴false，
∴false∴false，即false对false恒成立，∴false．
（2）∵false只有一个零点，
∴方程false有且只有一个实根，
即方程false有且只有一个实根，
亦即方程false有且只有一个实根，
令false，则方程false有且只有一个正根，
①当false时，false，不合题意；
②当false时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根．
由false，得false或false，
若false，则false不合题意，舍去；若false，则false满足条件．
若方程有两根异号，则false，∴false．
综上所述，实数false的取值范围是false．
21．【解析】
（1）因为false为false上的奇函数，∴false．又当false时，false，所以，当false时，false；∴false．
（2）设false，∵false在false上单调递减，∴false，即false，false是方程false的两个不等正根．
∵false，∴false，∴false在false内的“和谐区间”为false．
（3）设false为false的一个“和谐区间”，则false，∴false，false同号．
当false时，同理可求false在false内的“和谐区间”为false．
∴false．
①当false时，设false，即false，则false在false上单调递增，所以当false，时，false在false内有且只有一个根，此时解得false；
②当false时，设false，即false，false在false上单调递减，所以当false时，false在false内有且只有一个根，此时解得false；
综上可知，当false时，false有两个根，故实数false的取值集合为false．
综上可知，实数false的取值集合为false．（用图象法解答也相应给分）
22．【解析】
【模块一】
（1）证明：如图，设false是false的中点，连接false，设false，则false，因为false，false，易得false，且false，所以false．
又false，由勾股定理得false，因为false平面false，false平面false，所以false．
又因为false，false相交，所以false平面false．
（2）解：设false，由（1）可得false，因为false平面false，所以false．
∵false，∴false，在等腰三角形false中，设false是false的中点，
∴false，由（1）知：false平面false，所以false．
从而false平面false，且false，
由（1）中数据得false，所以false．
∴false，因为false和false为边长为4的等边三角形，false是一个等腰直角三角形，所以false．
【模块二】
（1）方法一：如图所示，取false的中点false，连接false，过点false作false于点false．因为false，false，false平面false，所以false．
又因为false，false，所以false且false，所以四边形false为矩形，false．
因为false平面false，false平面false，故false平面false，此时点false为false的中点．
（2）由（1）知，false与false异面，false就是异面直线false与false所成的角或其补角．易求得false，false，false，所以false，所以false与false所成的角的余弦值为false．
方法二：如图所示，取false的中点false，false的中点false，连接false，false，false．
因为false，所以false且false，所以四边形false为平行四边形，所以false，false，又false，false平面false，false，false平面false，所以false平面false，false平面false，因为false，false，false平面false，所以平面false平面false．又因为false平面false，所以false平面false．故点false即为所求的点false，此时点false为false的中点．
（2）由（1）知，false与false异面，false就是异面直线false与false所成的角或其补角．易求得false，false，false，所以false，所以false与false所成的角的余弦值为false．