《抛物线及其标准方程》说课
各位老师，大家好！
我今天说课的题目是《抛物线及其标准方程》，本节是人教版高二数学选修2-1第二章第四节，本节共分为2课时，这是第一课时。从内容上看，这一节与前面的椭圆、双曲线的知识结构相同，研究方法为学生所熟悉，学生的自主探究活动具备良好的基础；从数学思想上讲，它始终贯穿着数形结合、化归、函数与方程的思想。今天我就从教材、教法、学法以及教学过程四个方面说一说我对这节课的理解。
1 教学设计
1.1 教学内容分析
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。
随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e=1的特例。另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。
讲解时采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。本课第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要，学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。由椭圆、双曲线、抛物线的定义可以看出，它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离之比为常数e的点的轨迹，随着e的变化，轨迹的图形发生变化，既可从中得到圆锥曲线的统一定义，又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。在由抛物线的定义导出它的标准方程时，可先让学生考虑怎样选择坐标系，在导出方程的过程中，设焦点到准线的距离是p，这就是抛物线方程中参数p的几何意义，所以p的值永远大于0。
1.2 数学情境的创设
围绕新课改的精神，我设置了以下的数学情境：
前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的共同特点？
与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。
1.3 教学目标
根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是：
⑴知识教学目标：①掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义
②会推导抛物线的标准方程
③能够利用给定的条件球抛物线的标准方程。
⑵能力训练目标：通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，能使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
⑶德育渗透目标：通过提问、讨论、思考解答等教学活动，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。
2 教学过程
2.1 创设情境
师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？
生：与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。
（通过几何画板的演示，由e的变化揭示课题，通过研究e的值，得到抛物线，再观察抛物线的点满足的条件，由学生归纳抛物线的定义，生动、直观。）
2.2 探索研究
1、 实验、演示，观察猜想。
几何画板课件演示：
学生观察 ① 动点M到焦点F的距离|MF|与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。
探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。
2、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
3、 求抛物线的标准方程。
师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？
先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法，视频展台展出。
y2＝2px－p2(p＞0) y2＝2px＋p2(p＞0) y2＝2px (p＞0)
师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。
生：将方程y2＝2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。
师：很好！我们把方程y2＝2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0),准线方程是x＝。
强调：① p的几何意义；
② 已知抛物线的标准方程y2＝2px （p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；
③ 已知抛物线的焦点F（p/2 ，0）或准线方程x＝－p/2 （p>0），迅速写出其标准方程。
4、 讨论四种位置上的抛物线标准方程
标准方程 图形 焦点坐标 准线方程
【注意】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出
①方程的一次项决定焦点的位置。
②一次项系数的符号决定开口方向。
反思应用
例1、（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程。
（3）已知抛物线的准线方程是y=3，求它的标准方程．
【点拨】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。注意图形在解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。
2.4 归纳总结
⑴抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系；
⑵理解p的几何意义，即焦点到准线的距离，p>0；
⑶掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。
数学思想方法：
坐标法、数形结合、待定系数法、定义法
教学设计说明
本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学中，要时时注意与前两种曲线进行对比，求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的，我充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。
教学手段
通过图片的形象展示及信息技术应用，在本节课的概念形成过程中起到非常重要的作用，为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台相关的实验材料可向学生预先布置，做好准备，使课堂紧凑有序。
二、设计评价
数学教育不仅要重视基础知识、基本技能的落实，而且要重视学生能力的培养，特别是学生的创新精神和实践能力。
纵观整个教学过程，我不断为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过恰当的问题设置，启发学生参与到问题中进行思考探究，学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，从而培养学生的创新精神和实践能力。
本节课我的设计理念遵循三条原则，以学生为主体，以合作探究为手段，以能力提高为目的。教学过程中充分关注学生能否积极主动的参与知识探索，能否应用适当的语言表达自己的思想，交流自己的学习体验.学生通过自主探究，合作交流，体味合作学习的快乐，体味冥思苦想后的豁然开朗，体味逻辑思维的严谨美。
设计理念
古语云：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。新课标也强调教学要突出学生的主体作用，本节课的设计围绕“画法”展开，从条件的熟悉，曲线的出现，参数的引入均与此密切相关，强调学生动手、动脑，以画法为载体，使学生的探究活动贯穿本节课的始终，不但学会，而且会学。(共19张PPT)
抛物线及其标准方程
复习回顾与探究：
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e= 的点的轨迹
椭圆
双曲线
H
H
＞1，
0< <1
=1时动点的轨迹是什么图形？
抛物线的定义
l
F
M
H
M到定点F的距离等于
到定直线的距离
抛物线标准方程
y
x
o
y
x
o
l
F
M
H
(x,y)
建系
设点
列式
化简
l
F
M
H
(x,y)
( P ,0)
( ,0)
K
知识应用
例题1：（1）已知抛物线的标准方程是 ，
求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点F(0,-2)，求它的标准方程
(3)已知抛物线准线方程为 ，求它的标准方程
变式训练
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是x=2；
⑶焦点到准线的距离是8．
当堂检测
根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F（3，0）；
(2)准线方程是x=1/4；
(3)焦点到准线的距离是2；
求下列抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)y2=28x;
(2)4x2=y;
(3)y2+x=0;
或 或
或
焦点
准线
焦点
准线
焦点（7，0），准线
课
堂
小
结
抛物线的定义
抛物线四种形式的标准方程
抛物线的定义及其标准方程的简单应用
课
堂
小
结
数形结合的思想
待定系数法
分类讨论的思想
已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
x
y
o
(-4,-2)
内容拓展
相关训练
抛物线经过点（2,8）求它的标准方程
作业：
教材P67页练习
预习抛物线的几何性质
l
F
K
M
H
y
x
o
(x,y)
x=-
( ,0)
抛物线标准方程
焦点坐标：
准线方程：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
F
l
l
F
F
l
l
F
抛物线的标准方程
抛物线 y = ax2 (a<0) 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
抛物线 y = ax2 (a≠0) 的焦点坐标是__________.准线方程是________.
当堂检测
抛物线 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
抛物线 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
抛物线 y2 = 2px ( p>0 ) 上一点M到焦点的距离是 a ( ),则点M到准线的距离是_____, 点 M的横坐标是__________.
抛物线的准线方程是x = －4, 则它的标准方程为_________. 焦点坐标为________.
y2 = 16x
(4, 0)
变式训练
a
抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是____________.
思考
已知直线l:x=2,点F(-2,0).
(1)到点F的距离与到直线l的距离之比为1的动点M的轨迹方程是__________.
(2)到点F的距离与到直线l的距离之比为2的动点M的轨迹方程是__________.高二数学选修2-1
§2.4.1抛物线及其标准方程导学案
姓名： 班级： 组名:
【学习目标】
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
【重点难点】
▲重点：抛物线的几何图形
▲难点：抛物线的定义、标准方程
【学法指导】
以自学为主，教师讲授为辅
【自学内容】
复习1：点与定点F(3,0)的距离和它到定直线x=的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？
复习2：点与定点F(5,0)的距离和它到定直线x=3的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？
题讨论】
探究1：若一个动点M（x，y)到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？如何才能做出满足条件的M点得轨迹呢？
知识点一：抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 ．
定点到定直线的距离为 （）．
知识点二：抛物线的标准方程
建系 设点 列式 化简
建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
试试：
抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ；
抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ．
【自我展示】
例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
【变式训练】
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是x=2；
⑶焦点到准线的距离是8
【内容拓展】：已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
【相关练习】：
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F（3，0）；
(2)准线方程是x=1/4；
(3)焦点到准线的距离是2；
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)y2=28x; (2)4x2=y; (3)2y2+x=0;
（4）抛物线y2 + 8x=0 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
（5）抛物线y=2x2 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
（6）抛物线 y = ax2 (a<0) 的焦点坐标是_________,准线方程是________.
（7）抛物线 y = ax2 (a≠0) 的焦点坐标是__________.准线方程是________
【当堂检测】
【1】抛物线的准线方程是x = －4, 则它的标准方程为_________. 焦点坐标为________
【2】抛物线 y2 = 2px ( p>0 ) 上一点M到焦点的距离是 a ( a> ),则点M到准线的距离是_____, 点 M的横坐标是__________.
【3】抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是____________.高二数学选修2-1
§2.4.1 抛物线及其标准方程
学 科 数 学 授课班级 2年5班
授课人 刘国梁 日 期 2011年11月15日
教学目标 知识与技能 掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义会推导抛物线的标准方程能够利用给定的条件球抛物线的标准方程
过程与方法 通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，能使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想
情感、态度与价值观 通过提问、讨论、思考解答等教学活动，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。
重点 抛物线的定义及其标准方程
难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
教学过程 教学方法和设计意图
创设情境 类比联想，提出课题师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的共同特点是什么？ 生：与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？ 迁移引导，设置悬念
探索研究一、概念探究二、标准方程的探究 实验、演示，观察猜想1、几何画板课件演示：学生观察 ① 动点M到焦点F的距离|MF|与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。
探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。2、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.3、 求抛物线的标准方程。师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法： y2＝2px－p2(p＞0)y2＝2px＋p2(p＞0)y2＝2px (p＞0)（可能出现三种可能）师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。生：将方程y2＝2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。师：很好！我们把方程y2＝2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0),准线方程是x＝强调：① p的几何意义；
② 已知抛物线的标准方程y2＝2px （p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；
③ 已知抛物线的焦点F（，0）或准线方程x＝（p>0），迅速写出其标准方程。4、讨论四种位置上的抛物线标准方程
利用几何画板，展示准线与焦点的四个不同的位置关系，由学生说出标准方程，焦点坐标及准线方程【注意】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出①方程的一次项决定焦点的位置。②一次项系数的符号决定开口方向。 实验材料向学生提前布置，教师在介绍此画法时先不提抛物线，把重点放在介绍这种画法所满足的条件——到定点F的距离等于到定直线L的距离，说明这样画出的曲线满足e=1
引导探究，得出方程学生讨论建系方法，教师巡视，总结不同的方案。提出问题“谁才是最恰当的建系方案呢？请同学自行验证“ 相比之下,那个方程更为件简洁 【探究结论】方案3即为最恰当的建系方法,所得方程为这种曲线的标准方程。总结四种形式抛物线标准方程，使本节的知识系统化
例题讲解 实践探索，形成能力例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．（3）已知抛物线的准线方程是y=3，求它的标准方程． 巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。注意图形在解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。
课堂练习 练习巩固，加深理解根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是x=2；⑶焦点到准线的距离是8 师生共同评改
能力提升内容拓展 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是F（3，0）；(2)准线方程是x=1/4；(3)焦点到准线的距离是2；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程(1)y2=28x; (2)4x2=y; (3)2y2+x=0;已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程 此题对学生思维水平要求较高，针对学生素质的差异，使学有余力的同学有所提高，从而达到“拔尖”的目的
课堂小结 教学内容1,抛物线的定义2，抛物线的标准方程3，标准方程的应用数学思想：数形结合思想分类讨论的思想解题方法：待定系数法
本课作业 教材P64页习题预习抛物线的几何性质
板书设计
标准方程 图形 焦点 准线
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4高二数学选修2-1
§2.4.1抛物线及其标准方程导学案
组名: 高二数学 主备人： 刘国梁 姓名： 班级：
【学习目标】
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
【重点难点】
▲重点：抛物线的几何图形、定义、标准方程
▲难点：抛物线的定义、标准方程
【学法指导】
以自学为主，教师讲授为辅
【自学内容】
复习1：点与定点F(3,0)的距离和它到定直线x=的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？
复习2：点与定点F(5,0)的距离和它到定直线x=3的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？
【问题讨论】
探究1：若一个动点M（x，y)到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？如何才能做出满足条件的M点得轨迹呢？
知识点一：抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 ．
定点到定直线的距离为 （）．
知识点二：抛物线的标准方程
建立适当的坐标系，得到抛物线的标准方程
焦点坐标：
准线方程：
焦点坐标：
准线方程：
抛物线方程的四种形式及其对应的标准方程：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（p>0)
【自我展示】
例1
（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
已知抛物线的准线方程是y=3，求它的标准方程．
【变式训练】
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是x=2；⑶焦点到准线的距离是8
【当堂检测】
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F（3，0）；
(2)准线方程是x=1/4；
(3)焦点到准线的距离是2；
【能力提升】
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)y2=28x; (2)4x2=y; (3)2y2+x=0;
【内容拓展】：已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
【变式训练】：已知抛物线经过点（2，8）求它的标准方程
【课堂小结】：
本节课我们学到了什么：
内容：
数学思想：
解题方法：
【学习反思】
本节课我的收获是：
我还存在的疑问是：
