安徽省马鞍山第二高级中学2021届高三上学期12月月考理科数学试题 Word版含答案

马鞍山二中2021届高三12月月考
数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，若false，则实数false的取值集合为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设复数false（i是虚数单位），则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知平面false平面false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．数列false为等差数列，false是false的前n项和，若false，则false（ ）
A．0 B．10 C．20 D．25
7．已知实数false满足不等式组false则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．若false，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知O为false所在平面内一点，若false，则false（ ）
A．false B．false C．10 D．5
10．已知函数false的导函数为false，记false，
若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false，函数false的图象可以由函数false的图象先向右平移false个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的false倍得到，若函数false在false上没有零点，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．当false时，不等式false恒成立，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false___________．
14．在等比数列false中，false，则false________．（结果用整数表示）
15．设函数false则使得false成立的x得取值范围是_________．
16．在三棱锥false中，false是边长为3的等边三角形，false，二面角false的大小为false，则此三棱锥的外接球的表面积为_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知等差数列false和递增的等比数列false满足：false，且false．
（I）分别求数列false和false的通项公式；
（Ⅱ）设false表示数列false的前n项和，若对任意的false恒成立，求实数k的取值范围．
18．在锐角false中，内角false所对的边分别为false，已知false．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求false的取值范围．
19．（I）已知false，求证：false；
（Ⅱ）若false，求证：false．
20．四棱锥false中，false为直角梯形，false为false中点，平面false平面false为false上一点，false平面false．
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）若false与底面false所成的角为false．求二面角false的余弦值．
21．已知函数false．
（I）当false时，讨论函数false的单调性；
（Ⅱ）当false时，求证：函数false有两个不相等的零点false，且false．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．在直角坐标系false中，直线false的参数方程为false（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为false．
（Ⅰ）写出直线false的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点false，点false，直线false过点Q且曲线C相交于false两点，设false的中点为M，求false的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数false．
（I）求不等式false的解集；
（Ⅱ）己知关于x的不等式false在false上有解，求实数false的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D【解析】false，当false时，false，符合题意；当false时，false，由false，得false，所以false或false，解得false或false，所以false的值为false，1．故选D．
2．A【解析】false，故选A．
3．A【解析】由平面与平面垂直的性质定理可知，当false时，false，又false，所以false，反之，由false不能推出false，故选A．
4．C【解析】false，故选C．
5．D【解析】底面扇形的面积为false，所以该几何体的体积为false，故选D．
6．A【解析】解法1：设等差数列false的公差为d，则由已知得false，解得false，所以false．
解法2：由false，得false，由false，得false，所以false．
7．A【解析】方法1：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
求得false，令false，则false，平移直线false，当直线false经过点A时，false取得最大值，false；当直线false经过点B时，false取得最小值，false，所以false，故选A．
解法2：目标函数化为false，其几何意义是平面区域内的点到直线false的距离false的false倍．作直线false，由图可知，平面区域内点到该直线距离最小值为0，即false，而点B到该直线最大，即z取得最大值，false．故选A．
8．C【解析】由false，得false，所以false，A不正确；由false，得false，所以B不正确；由false，得false，所以C正确；由false，得false，所以D不正确．故选C．
9．B【解析】由已知得，falsefalse，则O为false的外心．设false，false，垂足分别为false（图略），根据两个向量数量积的几何意义，可知
false，故选B．
10．D【解析】false，
则false，
false，
false，
则false， ，
即false，
则false．故选：D．
11．A【解析】函数false，向右平移false个单位长度，得false，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的false倍得到false，令false，得false，所以false，若函数false在false上没有零点，则需false，所以false，所以false，
若函数false在false上有零点，则false，
当false时，得false，解得false，
当false时，得false，解得false，
综上：函数false在false上有零点时，false或false，
所以函数false在false上没有零点，false，所以false的取值范围是false．故选：A
12．C【解析】当false时，不等式false对任意false恒成立；
当false时，不等式可化为false，令false，则false，所以false在false上单调递增，false；
当false时，不等式可化为false，令false，
则false，
当false时，false；当false时，false，
false在false上单调递减，在false上单调递增，
false，综上，实数false的取值范围是false．
二、填空题
13．false【解析】false．
14．【解析】由题意在等比数列false中，可解得false，则false，
则false，
两式相减可得false，则false，则原式false．
15．false【解析】分类讨论法：当false时，false，即false，解得false；当false时，false，不合题意；当false时，false，即false，解得false．
综上，原不等式的解集为false．
数形结合法：分别作出函数false和false的图象，根据图象可知，不等式的解集为false．
16．false【解析】由题意得false，得到false，取false中点为false中点为M，得到false为二面角false的平面角，由题意可知false，设三角形false的外心为false，则false，球心为过点M的面false的垂线与过点false的面false的垂线的交点，在四边形false中，可求出false，所以false，所以球的表面积false．
三、解答题
17．解：（I）由题意，设等差数列false的公差为d，等比数列false的公比为q，
由false，得false，消去d，得false，解得false或false，
∵数列false是递增数列，false不合题意，舍去．
false，
所以false；false． 6分
（Ⅱ）由（1）知，false，
由false得false，
设false，则false，
当false；当false；
由数列false的单调可得，false
所以false． 12分
18．解：（I）由false，
根据正弦定理，有false，
即有false，
则有false，又false，所以，false． 6分
（Ⅱ）由（1），false，则false，又false为锐角三角形，
所以，false且false，
所以false，于是false，
则false，
又false，所以，false的取值范围是false． 12分
19．（I）证明：设false，由对数定义，得
false，则false，所以false．
所以false成立． 5分
（Ⅱ）由false，得false．
要证明false，只要证false，即证false．
令false，则只要证当false时，false恒成立．
令false，则false，
所以false在false上单调递增，所以false，
即false成立，从而原不等式成立． 12分
20．（Ⅰ）证明：连接false交false与G，连接false，
false平面false平面false，平面false平面false，
又E为false的中点，false为false的中点，则false，
得false．
false为false的中点，
false，且false，∴四边形false为平行四边形，
false，
又false平面false，平面false平面false，平面false平面false，
false平面false，又false平面false，
∴平面false平面false． 6分
（Ⅱ）解：连接false为false的中点，false，
又false平面false，平面false平面false，平面false平面false，
false底面false，又false， 7分
以F为坐标原点，分别以false所在直线为false轴建立空间直角坐标系，
设false，
取平面false的法向量false，
false，即false，解得false． 9分
设平面false的法向量为false，则false，即false，
令false，得false，所以false， 11分
因为二面角false钝角，所以二面角false的余弦值为false． 12分
21．（I）当false时，false，则false，
令false，得false或false．
当false时，false，所以false在false上单调递减；
当false时，false，所以false在false上单调递增；
当false时，false，所以false在false上单调递减，
故false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增． 5分
（Ⅱ）证明：由题意，得false，其中false．
由false得false，由false得false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减，
false，
∴函数false有两个不同的零点false． 7分
不妨设false．
要证false，即证false，
因为false，且false在false上是增函数，
所以false，又false，所以，只要证false．
由false及false，
得false，
令false，
则false．
false，
false时，false，即false在false上单调递减，
false，且false，
false，即false，故false得证． 12分
22．（Ⅰ）由直线false的参数方程消去t，得false的普通方程为false，
由false，得false，
所以曲线C的直角坐标方程为false； 5分
（Ⅱ）点P在false上，所以false，所以false，
所以false的参数方程为false，（t为参数）代入false中，得false．
设false所对应的参数分别为false．
则false，所以false． 10分
23．（I）不等式false，即false，
等价于false或false或false
解得：false，
所以原不等式的解集为false． 5分
（Ⅱ）当false时，不等式false，即false，
所以false在false上有解，
即false在false上有解，
所以false． 10分