江苏省镇江第一高中2021届高三上学期12月阶段性考试数学试题 Word版含答案

镇江市第一中学高三12月份月考
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．己知复数false，false为z的共轭复数，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知向量false，false，且false与false的夹角为false，则false（ ）
A．false B．2 C．1 D．false
4．“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若双曲线false的离心率为false，则false（ ）
A．false B．false C．4 D．false
6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥false的每个顶点都在球O的球面上，false底面BCD，false，且false，false，利用张衡的结论可得球O的表面积为（ ）
A．30 B．false C．33 D．false
7．已知false是定义在R上的奇函数，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知等差数列false，false的前n项和分别为false和false，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．将函数false的图象向左平移false个单位长度，得到函数false的图象，给出下列关于false的结论，中正确的是（ ）
A．它的图象关于直线false对称；
B．它的最小正周期为false；
C．它的图象关于点false对称；
D．它在false上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ）
10．若false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false的定义域为false，则（ ）
A．false为奇函数 B．false在false上单调递增
C．false恰有4个极大值点 D．false有且仅有4个极值点
12．如图所示，false是由具有公共边的两块直角三角板（false和false）组成的三角形，其中false，false，现将false沿斜边AC翻折成false（false不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和BD的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是（ ）
A．在线段BD上存在一定点E，使得EN的长度为定值；
B．点N在某个球面上运动；
C．存在某个位置，使得直线AD与DM所成角为false；
D．对于任意位置，二面角false始终大于二面角false

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数false，则false___________．
14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，己知每个零件质检合格的概率为false，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X，则随机变量X的方差false___________．
15．已知false，false，且false，则false的最小值是___________．
l6．已知MN是边长为false的等边false的外接圆的一条动弦，false，P为false的边上的动点，则false的最小值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①false，②false，③false，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知false的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_________，且a，b，c成等差数列，则false是否为等边三角形？若是，写出证明：若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设等差数列false的公差为2，等比数列false的公比为2，且false，false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）求数列false的前n项和false．
19．在四棱锥false中，false是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，false，false，false，false．
（1）证明：false．
（2）求二面角false的余弦值．

20．某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是false，false．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元：若A工序出现故障，则生产成本增加2万元：若B工序出现故障，则生产成本增加3万元：若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是false，false．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元：若a工序出现故障，则生产成本增加8万元：若b工序出现故障，则生产成本增加5万元：若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元．
（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由．
21．已知O为坐标原点，false，false，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为false．记点G的轨迹为曲线C．
（1）若射线false与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：false．
（2）直线false与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点．试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由．
22．己知函数false．
（1）当false，false时，判断函数false在区间false内的单调性；
（2）已知曲线false在点false处的切线方程为false．判断方程false在区间false上解的个数，并说明理由．
2020年镇江市第一中学高三12月份月考
数学试题答案
一、单选选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
A
D
B
C
A
二、多项选择题
题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
BD
ABD
三、填空题
13．5 14．false 15．false 16．false
四、解答题
17．解析：
若选择①false，
证明：则由余弦降幂公式可得false，
即false，
由false可得false，
又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，
则false，false，
由余弦定理可知false，
代入可得false，即false，
则false，化简可得false，
即false，又因为false，
所以false为等边三角形．
若选择②则false，则false，false，下同选①的情形
若选择③则false，化简得false，解得false，下同选①的情形
18．解析
（1）因为false，false，所以false，false，
依题意可得，false，false，
故false；
（2）由（1）可知，false，
故false
false．
19．解析：
（1）证明：连接BD，
∵在四棱锥false中，false是边长为2的等边三角形，
底面ABCD为直角梯形，false，false，false，false．
∴false，
∴false，false，
∴false，false，
∵false，∴false平面ABCD，
∵false平面ABCD，∴false．
（2）解：∵false，∴false，
以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

则false，false，false，false，
false，false，false，
设平面ABP的法向量false，
则false，取false，得false，
设平面PBC的法向量false，
则false，取false，得false，
设二面角false的平面角为false，
则二面角false的余弦值为：false．
20．解析：
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为false．
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为false（万元），则false的可能取值为0，2，3，5．
false，
false，
false，
false，
所以false万元；
故选生产线①的生产成本期望值为false （万元）．
若选生产线②，设增加的生产成本为false（万元），则false的可能取值为0，8，5，13．
false，
false，
false，
false，
所以false，
故选生产线②的生产成本期望值为false（万元），
故应选生产线②．
21．解析：
（1）设点false，因为false，即false，
整理得点G的轨迹方程为false，
联立方程组false，解得false且false，
所以false，所以false．
（2）设false，则false，
所以直线AM的方程为false，
令false，解得false，
同理可得false
假设定点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则false，
即false，又由false，
可得false，所以false，
即在x轴上存在定点false，使得以PO为直径的圆恒过点T．
22．解析：
（1）当false，false时，false，
因为false，所以false，false，
所以false，所以false在区间false内单调递减；
（2）false，由false，解得false，
又由点false处的切线方程为false．得false，所以false，
所以方程false可化为false．
①当false时，false，
由false得false；
②当false时，false，符合题意；
③当false时，令false，则false，
令false，则false
当false时，false，false单调递增，
所以false，所以false，所以false单调递减，
所以因为false，false，
所以false有且仅有一解．
当false时，false，false单调递减，
且false，false，所以存在false使得false，
且false时，false，false时，false
所以false在false时单调递减，false单调递增，
因为false，所以false无解．
同理可得当false时，存在false使得false，
且false在false时单调递增，false单调递减，
因为false，false，所以false有2解．
综上false在区间false上共有3解．