陕西省榆林市第十二中学2021届高三上学期第三次月考（12月）数学(理)试题 Word版含答案解析

榆林市第十二中学2020-2021学年第一学期高三年级
第三次质量检测理数试题
试卷满分：150分（Ⅰ卷60分，Ⅱ卷90分）
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数false为纯虚数的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．false展开式false的系数为（ ）
A．-10 B．10 C．-30 D．30
4．设数列false的前n项和为false，且falsefalse，则false（ ）
A．-7 B．-3 C．3 D．7
5．函数false（false且false）与false在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．向量false，false满足false，false，且false，则false在false方向上的投影为（ ）
A．false B．-1 C．false D．1
7．抛物线false的准线被圆false截得的线段长为（ ）
A．4 B．false C．false D．2
8．函数false（false，false）的图象如图所示，为了得到false的图象，则只将false的图象（ ）
A．左移false个单位 B．右移false个单位
C．左移false个单位 D．右移false个单位
9．一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．已知定义在R上的偶函数false在false上单调递增，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．已知点false，false分别是双曲线false（false，false）的左、右焦点，过点false且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若false是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．设函数false在false上的导函数为false，false在false上的导函数为false，若在false上false恒成立，则称函数false在false上为“凸函数”.已知false在false上为“凸函数”，则实数p的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13．若幂函数false的图象过点false，则曲线false在点false处的切线方程为______.
14．已知角false终边上一点false，则false________.
15．口袋中有形状，大小都相同的6只球，其中一只白球，2只红球，3只黄球，从袋中随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______.
16．将正三棱锥false置于水平反射镜面上，得“倒影三棱锥”false如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有_________.
①false平面false；
②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；
③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则false；
④若false，则false的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心
三、解答题（第一题10分，其余各题12分，共70分）
17．false的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知false.
（1）求A； （2）若false，false的面积为false，求a.
18．数列false的前n项和为false，false，点false在直线false（false）.
（1）求证：数列false是等差数列，并求false的通项公式；
（2）若数列false满足false，求数列false的前n项和false.
19．在四棱锥false中，底面false是正方形，false平面false，false，E是false的中点.
（1）求证：平面false平面false；
（2）求二面角false的大小；
（3）试判断false所在直线与平面false是否平行，并说明理由.
20．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成false，false，false，false，false，false六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.
非读书之星
读书之星
总计
男
女
10
55
总计
（1）求p和n的值；
（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的false列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？
（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望false.
附：false，其中false.
false
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）已知椭圆false（false）的左、右焦点分别是false，false，点false在椭圆上，且false．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点false且不过点P的直线l交椭圆于A，B两点，求证：直线false与false的斜率之和为定值．
22．（12分）已知函数false，false.
（1）当false时，若false在false上的最大值为10，求实数b的值；
（2）若对任意false，都有false恒成立，求实数a的取值范围.
高三理数参考答案
1．A
解：由false，得false，所以false，
由false，得false，解得false，所以false，
所以false.
2．C
由题意知m，false，
以false表示事件空间中的基本事件，
其中m是抛掷第一颗骰子时向上的点数，n是抛掷第二颗骰子时向上的点数，
则事件空间的基本事件总数为false个，
而false为纯虚数
则false，由于false，false，则false，
符合条件的基本事件有false，false，false，false，false，false共六个，
由古典概型的概率计算公式得false.
即复数false为纯虚数的概率为false.
3．A
false的通项公式为false，
因为false。
所以含false的项为：falsefalse，
false展开式false的系数为-10.
4．A
解：当false时，false，得false，
当false时，由false得false，两式相减得
false，即false，所以false，
所以数列false是以false为首项，2为公比的等比数列，
所以false，所以false，所以false.
5．C
解：当false时，false为增函数，false开口向上，对称轴false，
排除B，D；当false时，false为减函数，false开口向下，对称轴false，排除A，故选：C.
6．B
因为false，false，false，
所以false在false方向上的投影为false．
7．B
因为抛物线false的准线方程为false，
圆false整理得false，则圆心坐标为false，半径为false，
则圆心到直线false的距离为false，
因此false被圆false截得的弦长为false.
8．A
由图像观察可知，false，
所以false，则false，所以false，
根据图像过点false，所以false，则false，所以false，
函数false，
因此把false图像向左平移false个单位即得到false的函数图像.
9．C
四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故false.
10．D
∵偶函数false在false上单调递增，
∴函数false在false上单调递减，
∵false，false，
又false，false，∴false，false
∴false，∴false，
11．D
由题意知，若如下图示，则false，false，
∴false，false，
令false，则有false，
false是锐角三角形，有false，得false
∴false，而false可知：false的范围false
12．C
∵false，∴false，∴false，
∵false在false上为“凸函数”，
∴false在false上恒成立，即false在false上恒成立，
令false，false，∴false，
∴false在false上单调递增，∴false，
∴false，即false.
13．false
设false，将false代入，false，解得false，
∴false，则false，∴false，
则切线方程为false，即false.
14．false
由已知可得false，false，则false.
15．false
由题得“摸出两只球颜色相同”的概率为false.故“摸出两只球颜色不同”的概率为false.
16．①④
由“倒影三棱锥”的几何特征可知false平面false，①正确；
当P，A，B，C在同一球面上时，若false的外接圆不是球的最大圆，
则点false不在该球面上，②错误；
若该“倒影三棱锥”存在外接球，
则三棱锥false的外接球的半径与等边三角形false外接圆的半径相等，设其为false，
则false，false，
则false，③错误；
由③的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为false的中心，
即false的中点，④正确.
故正确的说法有①④.
17．（1）false（2）false
（1）∵false．
由正弦定理得false，即false，
∴false，∵false，∴false．
（2）∵false，∴false，
因为false，所以false
∴false，即false．
18．（1）证明见解析，false；（2）false.
（Ⅰ）false，则有：false数列false是以3为首项，1为公差的等差数列故false，∴false.
∴当false时，false，当false时，false，当false时也成立．
∴false
（Ⅱ）∵false，∴false，
∵false
∴false
∴false
∴false
false
解得：false
19．（1）证明见解析 （2）false （3）false与平面false不平行，详见解析
（1）证明：∵false是正方形，∴false
∵false平面false，false平面false，∴false
∵falsefalse，false平面false∴false平面false
又∵false平面false∴平面false平面false
（2）∵false平面false，false，false平面false
∴false，false
又∵false是正方形∴false∴false，false，false两两垂直
∴以false为原点如图建系，设false
∴false，false，false，false，false，false
∴false，false
又∵false平面false
∴平面false的法向量false
设平面false的法向量false
则false，false
∴false
令false，得false，false，∴false
∴false
∴二面角false的大小为false
（3）∵false，false，false
又false，false平面false，∴false平面false
∴平面false的法向量为false
又∵false
∴false与false不垂直，∴false与平面false不平行
20．（1）false，false；（2）填表见解析；没有；（3）false人.
（1）false，解得：false，
所以false.
（2）因为false，所以“读书之星”有false，
从而false列联表如下图所示：
非读书之星
读书之星
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将false列联表中的数据代入公式计算得false，
因为false，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为false.
由题意可知false，所以false（人）.
21．（1）false；（2）证明见解析.
解:（1）根据点false在椭圆false上，得false．
由false，得false．
因为false，所以false，
所以椭圆的标准方程为false．
（2）若直线false的斜率不存在，则直线false的方程为false，与椭圆只有一个交点，不符合题意．
若直线false的斜率存在，设点false，false，直线l：false（false，false），
根据点false在直线false上，得false．
把false代入false，得false，
则false，false．
由false，false知，false，则false，false均不为0，
则直线false的斜率false，直线false的斜率false，false
falsefalse，
因为false，所以false，
即直线false与false的斜率之和为定值．
22．（1）-8；（2）false.
（1）当false时，由false，得false，
令false，得false或false.
当false变化时，false，false在false的变化情况如下表：
false
false
false
false
false
1
false
2
false
false
0
false
0
false
false
false
单调递减
极小值false
单调递增
极大值false
单调递减
false
所以false在false上的最大值为false，得false.
（2）由false，得false，
因为false，false且等号不能同时取得，
所以false，即false，
所以false恒成立，即false.
令false，false，则false，
当false时，false，false，从而false，
所以false在false上为增函数，所以false，
所以false.