浙江省金华市磐安县第二中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学竞赛试题 Word版含答案解析

磐安县第二中学2020学年第一学期月竞赛
高一数学
时间：2020年12月
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．考生答题前，须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．
3．选择题的答案必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．
4．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效．
一、选择题（12题，每题5分，共60分）
1．已知集合false，则下列式子表示正确的有（ ）
①false ②false ③false ④false
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．集合false的非空真子集个数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．下列表示同一个函数的是（ ）
A．false与false B．false与false
C．false与false D．false与false
4．已知false，false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知幂函数false的图象经过false，则false（ ）
A．3 B．false C．false D．1
6．函数false的定义域是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．在下列图象中，二次函数false及指数函数false的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使false与false异号
9．若函数false的值域是false，则函数false的值域是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．当false且false时，函数false的图象一定经过点（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设函数false，则false是（ ）
A．奇函数，且在false上是增函数 B．奇函数，且在false上是减函数
C．偶函数，且在false上是增函数 D．偶函数，且在false上是减函数
12．false是定义在区间false上的奇函数，其图象如图所示：令false，则下列关于函数false的叙述正确的是（ ）
A．若false，则函数false的图象关于原点对称
B．若false，false，则方程false有大于2的实根
C．若false，false，则方程false有两个实根
D．若false，false，则方程false有三个实根
二、填空题（4题，每题5分，共20分）
13．设全集U是实数集R，false，N为函数false的定义域，则图中阴影部分所表示的集合是___________．
14．已知false是定义域为R的奇函数，当false时，false，写出分段函数false的解析式_________．
15．已知对数函数的图象过点false，则false___________．
16．若不等式false对于满足false的一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）
17．求值：
（1）求false的值；
（2）设false，求false的最大值．
18．已知函数false，false．
（1）当false时，写出false的单调递增区间；
（2）当false时，若直线false与函数false的图象交于A，B两点，记false，求false的最大值．
19．设集合false，false，若false，
（1）求集合A；
（2）求实数a的取值范围．
20．已知函数false在区间false上有最小值1和最大值4，设false．
（1）求false的值；
（2）若不等式false在false时恒成立，求实数k的取值范围．
21．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计false，另外，年销售x件B产品时需上交false万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润false，false与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．
22．已知false是定义在false的奇函数，且false，若false，且false，有false恒成立．
（1）判断false在false上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式false的解集；
（3）若false对所有的false，false恒成立，求实数m的取值范围．
磐安县第二中学2020学年第一学期月竞赛
高一数学参考答案
一、选择题（12题，每题5分，共60分）
1．【解答】解：因为false，则false，所以①正确；false，所以②不正确；false，所以③不正确；false，所以④正确；
因此，正确的式子有2个，故答案为：B．
2．【解答】解：false时：false；false时：false；false时：false，
故集合共有3个元素，其非空真子集个数是：false个，故选：C．
3．【解答】解：A．false的定义域为R，false的定义域为false定义域不同，不是同一函数；
B．false的定义域为false，false的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
C．false，false，这两函数的定义域都是false，∴是同一函数，即该选项正确；
D．false与false的定义域和对应法则不同，不是同一函数．
故选：C．
4．【解答】解：∵false，false，false，∴false．故选：A．
5．【解答】解：设幂函数false，它的图象经过false，所以false，∴false
所以幂函数为false，所以false．故选C．
6．【解答】B．
7．【解答】解：根据指数函数false可知a，b同号且不相等，
则二次函数false的对称轴false，可排除B与D；
选项C，false，false，∴false，则指数函数单调递增，故C不正确
故选：A．
8．【解答】B[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]
9．【解答】解：令false，则false，则false，当且仅当false即false时取等号，所以y的最小值为2，故选项为B
10．【解答】解：B．
11．【解答】A[由题意可得，函数false的定义域为false，且false，故false为奇函数．又false，易知false在false上为增函数，故false在false上为增函数．]
12．【解答】解：①若false，false，则函数false不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误；
②当false时，false仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与false相反，若再加b，false，则图象又向下平移false个单位长度，所以false有大于2的实根，所以选项B正确；
③若false，false，则false，其图象由false的图象向上平移2个单位长度，那么false只有1个零点，所以false只有1个实根，所以选项C错误；
④若false，false，则false的图象由false的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即false只有一个实根，所以选项D错误．
故选B．
二、填空题（4题，每题5分，共20分）
13．【解答】解：false或false，
由false，得false，即false，
由图象可知阴影部分对应的集合为false，∴false，
∴false；故答案为：false．
14．【解答】解：∵false是定义域为false的奇函数，∴false，
若false，则false，即当false时，
false，即false，
则false；故答案为：false；
15．【解答】false．
16．【解答】false
三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）
17．【解答】解：（1）原式false
（2）当且仅当false时，取得最大值false．
18．【解答】见作业本52页
19．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；集合．
【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，化简集合A即可；
（2）化简集合B，根据集合的运算性质，把问题转化为讨论a的取值，解对应不等式的问题．
【解答】解：（1）∵false，∴false，
∴false，
故false；
（2）∵false，∴false，
不等式false等价于false，
当false时，false，
∵false，∴false，解得false；
当false时，则false，不满足false；
当false时，则false，满足false；
综上，a的取值范围是：false．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，考查了分类讨论思想与转化法的应用问题，是综合性题目．
20．【解答】（1）函数false，其中false，则其图象开口向上，对称轴方程为false，
∴该函数在区间false上单调递增，
∴false，解得false，
false，解得false．
（2）false，
不等式false等价于false
false，即false，
∴要满足不等式false在false时恒成立，只需满足false
在false时恒成立即可．
设false，
∵false，∴false，∴当false时，false，∴false．
21．【考点】函数最值的应用．
【专题】应用题；作差法．
【分析】（1）利润=年销售收入-固定成本-产品成本-特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润false，false与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；
（2）作差法比较年利润false，false的大小，设确定计相关方案．
【解答】解：（1）false，false，且false
false，false且false
（2）∵false
∴false
∴false为增函数
又false，false
∴false时，生产A产品有最大利润false（万美元）
false，false
∴false时，生产B产品有最大利润460（万美元）
false
false
false
当false时，false
当false时，false
当false时，false
∴当false投资A产品200件可获得最大利润
当false投资B产品100件可获得最大利润
false生产A产品与B产品均可获得最大年利润．
【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．
22．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．
【专题】分类讨论；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数；
（2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可；
（3）问题转化为false，再构造函数并通过分类讨论求范围．
【解答】解：（1）false在false上为增函数，证明如下：
任取false，false满足false，由false为奇函数，
∴false，
又因为false，且false，都有false，
∴false，
∵false，∴false，
所以false在false上为增函数；
（2）原不等式等价于：
false， ①
false， ②
false ③
综合以上三式得，原不等式解集为：false；
（3）false在false递增，则false，
∴false，即false对false恒成立，
记关于a的函数false，false，
问题等价为：false在false上恒成立，
①当false时，false满足，
②当false时，false递增，令false；
③当false时，false递减，令false，
综合以上讨论得，实数m的取值范围为false．
【点评】本题主要考查了抽象函数单调性的判断与证明，对数函数的图象与性质，不等式恒成立问题的解法，属于中档题．