江苏启东汇龙中学2021届高三数学周练十一（Word含答案解析）

启东市汇龙中学2021届高三数学
一轮复习
汇龙中学2021届高三数学周练十一
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
?若全集，集合，，则
A.
B.
C.
D.
?“”是“直线与直线垂直”的
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为
A.
B.
C.
D.
任意复数i为虚数单位都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为
A.
B.
C.
D.
已知函数，且，则
A.
B.
2
C.
3
D.
?已知函数的最小正周期为，则函数的一个对称中心可以是
A.
B.
C.
D.
?已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是
A.
B.
C.
D.
?已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为
A.
5050
B.
4041
C.
4040
D.
2020
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
?已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是
A.
当时，曲线C为椭圆，其焦距为
B.
当时，曲线C为双曲线，其离心率为
C.
存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D.
当时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆相切
?已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D.
?如图，正方形的边长为1，E，F分别是，的中点，交EF于D，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有?
?
A.
平面EFG
B.
设线段SF的中点为H，则平面SGE
C.
四面体的体积为
D.
四面体的外接球的表面积为
?某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是
A.
函数在区间上单调递增
B.
函数的图象是中心对称图形
C.
函数的值域是
D.
方程无实数解
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
?抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__．
?已知，则__．
?已知函数为自然对数的底数的图象恒过定点A，
则点A的坐标为__；
若在点A处的切线方程，则__．
?已知，设；数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为__．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
?从这两个条件中任选一个，补充在下面条件中的横线处，然后解答给出的问题，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知函数，其中________．
求函数的最小正周期；
当时，求函数的最大值和最小值．
?已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，．
证明：当时；
若是与的等比中项，求数列的前n项和．
?如图，三棱锥中，平面ABC，，，，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．
证明：平面平面PBC；
证明：平面ABC；
求二面角的正弦值．
中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞．
看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如表表格：
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
若该大学体重超重人数y与月份变量月份变量x依次为1，2，3，4，具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率．若，B队员控制球的次数为X，求；
附1：回归方中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
附2：参考数据：．
?已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．
求椭圆C的标准方程；
若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，．
证明：；
若，设直线DM过点，直线DN过点，证明：为定值．
?已知函数，．
若，证明：当时，；
若是的极大值点，求正实数a的取值范围．
汇龙中学2021届高三数学周练十一
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
?若全集，集合，，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集事的交，补集混合运算，考查函数的定义域和值域，是容易题，
可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．
【解答】
，，
，．
故选：C．
?“”是“直线与直线垂直”的
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．
根据必要条件、充分条件与充要条件的定义结合两条直线垂直的判定判断即可．
【解答】
时，直线的斜率为1，的斜率为；
这两直线垂直；
直线l：与直线m：垂直，
则：；
解得；
“直线l：与直线m：垂直“可得到““；
综上得““是““直线l：与直线m：垂直”充要条件?．
故选A．
要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，
从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组的方法有，
按性别依比例分层随机抽样，
则女生有4人，男生有2人，选法有，
组成此课外兴趣小组的概率为，
故选A．
本题是一个古典概型，从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组的方法有，按性别依比例分层随机抽样，得到女生有4人，男生有2人，选法有，根据古典概型概率公式得到结果．
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．
任意复数i为虚数单位都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数，然后根据复数的三角形式，求出z的辐角主值．
【解答】
，
，
，．
故z的辐角主值为，
故选：D．
已知函数，且，则
A.
B.
2
C.
3
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查求分段函数的函数值属于基础题．
根据自变量所在的区间对应求其函数值即可．
【解答】
由题意得，
．
解得．
故选A．
?已知函数的最小正周期为，则函数的一个对称中心可以是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质及三角恒等变换，由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用周期公式可求，进而根据正弦函数的对称中心即可求解．
【解答】?
解：
，
，，
，
令，，解得，，
可得当时，函数的对称中心是：．
故选B．
?已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件求出，结合不等式的关系，逐一判断即可．
本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，函数的单调性，属于中档题．
【解答】
因为，由得，
所以，，A错误；
，B错误；
，为减函数，，所以，C错误；
，D正确；
故选D．
?已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为
A.
5050
B.
4041
C.
4040
D.
2020
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的零点，把握住函数零点的定义是解决本题的关键．
易得在上有4个零点，又在区间共1010个周期，共个零点；
又函数的定义域为R上的奇函数，故即可求解；
【解答】
是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，
在上有4个零点，
又在区间共1010个周期，共个零点；
又函数的定义域为R上的奇函数，故
故则在区间上的零点个数为4041；
故选B
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
?已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是
A.
当时，曲线C为椭圆，其焦距为
B.
当时，曲线C为双曲线，其离心率为
C.
存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D.
当时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆相切
【答案】ABD
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是椭圆和双曲线的定义与性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离．
根据相关知识对选项逐一判断即可得出答案．
【解答】
对于A：当时，曲线C的方程为，所以曲线C表示椭圆，由，所以，所以焦距为，故A正确；
对于B：当时，曲线C的方程为，所以曲线C为双曲线，其中，
所以，所以离心率，故B正确；
对于C：要使曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，此不等式组无解，所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，故C错误；
对于D：当时，曲线C的方程为，所以曲线C为双曲线，其渐近线方程为，圆的圆心为，半径，
所以渐近线到圆心的距离为，所以渐近线与圆相切，故D正确，
故选ABD．
?已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形的面积公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
直接利用向量的线性运算的应用，三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】
已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，所以A，P，C三点共线．点P为线段AC的三等分点，
由于，所以A，B，Q三点共线，且B为线段AQ的中点，
如图所示：
所以
不平行，故选项A错误．
根据三角形法则：．
的面积为3，所以，则，，
且，
所以．
故选：BD．
?如图，正方形的边长为1，E，F分别是，的中点，交EF于D，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有?
?
A.
平面EFG
B.
设线段SF的中点为H，则平面SGE
C.
四面体的体积为
D.
四面体的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定定理，线面平行的判定，以及三棱锥的体积和球的表面积，考查了空间想象能力，属于中档题．
对于A，在折叠过程中，始终有，，即，，由线面垂直的判定定理，即可给出正确的选择．
对于B，利用中位线的性质证得线线平行，进而可证得线面平行．
对于由于平面EFG，易求的面积，可求出四面体的体积；
对于D，四面体的外接球的表面积可转化为长宽高分别为的长方体的外接球进行求解即可．
【解答】
解：正方形折成一个四面体如图所示：
对于A，在折叠过程中，
始终有，，
即，，又，GE、平面GEF，
所以平面EFG，故A正确．
对于B，连接HD，如图，
，
因为D，H分别为EF，SF的中点，故，又平面SGE，平面SGE，
故平面SGE，故B正确．
对于C，由于平面EFG，且，
故，故C错；
对于D，四面体的外接球即是长宽高分别为的长方体的外接球，
故球的直径，半径，
所以球的表面积，故D正确．
故选ABD．
?某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是
A.
函数在区间上单调递增
B.
函数的图象是中心对称图形
C.
函数的值域是
D.
方程无实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了函数表达式的几何意义，函数图象的性质，函数的单调性与最值，属于中档题．
函数，如图表示点到点的距离与到点的距离之和；结合图形可知，在处，取得最小值，进而判断函数值域和单调性，利用函数关于对称判断B，利用值域判断D．
【解答】
解：函数
如图表示点到点的距离与到点的距离之和，
B点关于x轴对称点为，
则，
直线AC交x轴与点，
则函数在区间上单调递增，A正确，
函数的值域为，C正确，
因为，
，
则，
即函数关于直线对称，函数的图象不是中心对称图形，故B错误；
设，则方程，等价为，
即，
所以，或．
因为函数，
所以当或时，不成立，所以方程无解，故D正确；
故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
?抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__．
【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．
由题意可得，抛物线方程，由抛物线的定义可得点A到该抛物线焦点的距离等于点A到准线的距离，由此求得结果?
【解答】由于抛物线过圆的圆心，
故，，
则抛物线，其准线为，
以及抛物线的定义可得点A到该抛物线焦点F的距离等于点A到准线的距离，
故点A到该抛物线焦点F的距离是．
故答案为5．
?已知，则__．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式，属于基础题．
由同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式，可得答案．
【解答】
因为，
则
．
故答案为．
?已知函数为自然对数的底数的图象恒过定点A，
则点A的坐标为__；
若在点A处的切线方程，则__．
【答案】；
【解析】由函数，知当时，无论a取何值，，
故恒过定点；
由函数，得，
在点A处的切线斜率，
在点A处的切线方程，
，．
故答案为：；．
?已知，设；数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为__．
【答案】11
【解析】
【分析】
先根据二项式的性质得到；进而得到数列是首项为，公比为的等比数列；求出，进而得到结论．
【解答】
因为，
令可得：；
；
；
数列是首项为，公比为的等比数列；
故；
时
即的最小整数值为11；
故答案为：11．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
?从这两个条件中任选一个，补充在下面条件中的横线处，然后解答给出的问题，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知函数，其中________．
求函数的最小正周期；
当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】解：选，因为
，
故函数的周期
由可知，
因为，所以，
当即时，函数取得最小值，
当即时，函数取得最大值．
选，因为
，
故函数的周期
由可知，
因为，所以，
当即时，函数取得最大值2，
当即时，函数取得最大值．
【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；
由可知，或者，根据已知角x的范围，然后结合正弦型函数的性质即可求解．
?已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，．
证明：当时；
若是与的等比中项，求数列的前n项和．
【答案】证明：，，两式相减得：，
，即，
数列的各项均为正数，
当时，；
解：由得：，，
是与的等比中项，
，即，
解得又，
，，从而对恒成立．
数列是首项、公差均为1的等差数列，
，，
，
又，
由可得：，
．
?如图，三棱锥中，平面ABC，，，，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．
证明：平面平面PBC；
证明：平面ABC；
求二面角的正弦值．
【答案】解：在中，由余弦定理得，
即，解得，，则，．
因为平面ABC，平面ABC，所以．
，PA、平面PAB，平面PAB．
平面PBC，平面平面PAB；
证法一：过点F作交AB于点M，取AC的中点N，连接MN、EN．
点E为CD的中点，N为AC的中点，，．
又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，，且，
，，且，
所以四边形MFEN为平行四边形，，
平面ABC，平面ABC，平面ABC；
法二：取AD中点G，连接GE、GF，
?
、E分别为AD、CD的中点，．
平面ABC，平面ABC，平面ABC．
为AD的中点，D为PA的中点，，则，
，即，，．
平面ABC，平面ABC，平面ABC．
因为，GE、平面GEF，所以平面平面ABC，
平面GEF，所以平面ABC；
过点B作，垂足为H，在平面BCD内过点B作，垂足为O，
平面ABC，平面ABC，，
，，PA、平面PAC，平面PAC，
平面PAC，，
，，BO、平面BOH，平面BOH．
平面BOH，，则为二面角的平面角，
由等面积法可得，
平面PAB，平面PAB，，
在中，，，，
由等面积法得，则．
因此，二面角的正弦值为．
【解析】【试题解析】
本题考查平面与平面垂直的证明、直线与平面平行的证明，以及二面角正弦值的求解，考查推理论证能力与计算能力，题目较难．
利用余弦定理计算出，由勾股定理可得出，再由平面ABC，可得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面PAB，然后利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面平面PBC；
证法一：过点F作交AB于点M，取AC的中点N，连接MN、EN，证明四边形MFEN为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面ABC；
证法二：取AD中点G，连接GE、GF，证明平面平面ABC，即可得出平面ABC；
过点B作，垂足为H，在直角中过点B作，垂足为O，证明出平面BOH，可知二面角的平面角为，计算出中的BO和BH，然后利用锐角三角函数的定义求出即可．
中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞．
看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如表表格：
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
若该大学体重超重人数y与月份变量月份变量x依次为1，2，3，4，具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率．若，B队员控制球的次数为X，求；
附1：回归方中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
附2：参考数据：．
【答案】设线性回归方程为：，
由已知可得：，，
，，
线性回归方程为：，
令，可得，
又，故．
故可以预测从第7月份开始该大学体重超标人数降至10人以下．
的可能取值为0，1，2，
，，
，
．
?已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．
求椭圆C的标准方程；
若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，．
证明：；
若，设直线DM过点，直线DN过点，证明：为定值．
【答案】设椭圆的半焦距为c，由题意可得，
所以，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以可设双曲线与椭圆C在第一象限的交点为，所以，即，
因为P在椭圆上，所以，即，
由可得，，
所以椭圆C的方程为；
证明：由题意可得M，N关于原点对称，可设，，，
因为D，M在椭圆上，所以，，所以，，
所以；
证明：可设，，因为，，所以，，
因为直线DM过点，直线DN过点，
所以直线，，
由可得，所以；
由可得，所以，
所以，
所以为定值．
?已知函数，．
若，证明：当时，；
若是的极大值点，求正实数a的取值范围．
【答案】证明：由题知，
令，则，
若，当时，，
在上单调递增，
，
在上单调递增，
；
若，由知，在上单调递增，
因此不可能是的极大值点；
若，令，
当时，，
即在上单调递增，
又，
存在，使得，
当时，，
在上单调递减，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综上，当是的极大值点时，．
20