2.1有理数-华东师大版七年级数学上册同步讲义（含答案）

2.1 有理数知识点总结与例题讲解
一．本节知识点
（1）相反意义的量.
（2）正数和负数.
（3）有理数的概念及其分类.
二、本节题型
（1）判断具有相反意义的量.
（2）正数和负数的识别.
（3）用正数和负数表示具有相反意义的量.
（4）有理数的概念及分类.
三、知识点讲解
知识点一 相反意义的量
相反意义的量必须满足以下两个条件:
（1）是同类量;
（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.
注意: 具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量.
知识点二 正数和负数
用正数和负数表示具有相反意义的量.做法是:先规定其中一种意义为正,那么与它相反的意义为负.
用正数、负数表示具有相反意义的量的三个特性:
（1）任意性 哪种意义的量为正,可以任意选择.
（2）成对性 具有相反意义的量是成对出现的.
（3）不等性 具有相反意义的两个量,其数据可以不相等.
注意:
（1）正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略.
（2）正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.
零既不是正数,也不是负数.
知识点三 有理数的概念及其分类
整数和分数统称为有理数.
整数分为正整数、零和负整数.分数分为正分数和负分数.
正整数和零统称为自然数,又叫非负整数.
有限小数和无限循环小数都属于分数.
,或按正、负分类为:
有理数可以细分为五类,即正整数、正分数、零、负整数和负分数.
零既不是正数,也不是负数,但零是整数.
补充概念 非负数:0和正数统称为非负数;非正数:0和负数统称为非正数.
四、题型讲解
题型一 判断具有相反意义的量
相反意义的量必须满足以下两个条件:
（1）是同类量;
（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.
注意: 具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量.
例1. 下列选项中,具有相反意义的量的是【 】
（A）收入25元与支出30元 （B）上升7米和后退9米
（C）卖出12千克与盈利50元 （D）向东走14米和向北走20米
分析:（A）中,收入与支出是具有相反意义的量,符合题意;（B）中,上升的相反意义是下降,后退的相反意义是前进,不符合题意;（C）中,卖出的相反意义是买进,盈利的相反意义是亏损,不符合题意;（D）中,向东走的相反意义是向西走,向北走的相反意义是向南走,不符合题意.
解: 由分析可知,选择【 A 】.
例2. 仔细思考以下各组量:
①胜二局与负三局;②气温上升3℃与气温下降3℃;③盈利5万元与支出6万元;④增加10%与减少20%.其中具有相反意义的量有【 】
（A）1组 （B）2组 （C）3组 （D）4组
解: 选择【 C 】.
题型二 正数和负数的识别
（1）0即不是正数,也不是负数.
（2）单符号的数据,正数的前面有“+”号或“+”号省略不写;负数的前面有“—”号.
例3. 在中,正数一共有_________个,负数一共有_________个.
分析:0即不是正数,也不是负数.
解:正数为+20% , , +3 ,共有3个;负数为,共有2个.
例4. 下列各数中,哪些数是正数?哪些数是负数?
.
分析: 正数与负数的识别看数据前面的符号,正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略.
特别地,0既不是正数,也不是负数.也就是说,0不能归为正数和负数.
解:正数有:;负数有:.
题型三 用正数和负数表示具有相反意义的量
例5. 如果向东走8千米记作+8千米,向西走5千米记作千米,那么下列各数分别表示什么?
（1）+4千米; （2）千米; （3）0千米.
分析: 正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.
解:（1）+4千米表示向东走4千米;
（2）千米表示向西走3.5千米;
（3）0千米表示原地不动.
例6. 如果芳芳同学向东走20米,记作+20米,那么米表示芳芳【 】
（A）向东走30米 （B）向东走50米
（C）向西走30米 （D）向西走米
分析:向东走与向西走具有相反意义,若规定其中一个为正,则另一个为负.上题中,规定向东走的距离为正数,则向西走的距离为负数.即米表示芳芳向西走30米.注意,不能说成是向西走米.
解: 选择【 C 】.
例7. 若身高以163 cm为基准,甲的身高为168 cm,记为+5 cm,则:
（1）乙的身高为157 cm,记为_________;
（2）丙的身高为_________cm,记为+9 cm;
（3）丁的身高为163 cm,记为_________.
解:（1）cm; （2）172 ; （3）0 cm.
例8. 如果一个乒乓球的质量比标准质量重0. 02克,记作+0. 02克,那么克表示____________________.
解: 克表示比标准质量轻0. 03克.
题型四 有理数的概念及分类
例8. 在4 , , 0. 16666… , ,中,分数有【 】
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
分析:本题考查分数的定义和分类.有限小数和无限循环小数都属于分数.分数按数的正负可分为正分数和负分数.
解: 分数有:, 0. 16666… , ,,共有4个,选择答案【 D 】.
例9. 下列说法正确的有【 】
①一个有理数不是正数就是负数;②0是整数,但不是自然数;③0不是正数,也不是负数;④0表示没有.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
分析:本题主要考查对有理数0的认识,容易出错:
（1）0即不是正数,也不是负数,但0是整数.
（2）0和正整数统称为自然数,又叫非负整数.
显然,①、②说法错误.在实际中,0不再仅仅表示“没有”,故④说法错误,只有③说法正确.
解: 选择【 A 】.
例10. 在数、5%、、、3.1415926、0、、、2018中,负有理数有_________个,负分数有_________个,整数有_________个.
分析:（1）有理数按正负可分为正有理数、0和负有理数.
（2）有限小数和无限循环小数都属于分数.
（3）分数按正负可分为正分数和负分数.
（3）整数分为正整数、0和负整数.
（4）要特别注意,都不是有理数.
解: 负有理数有:、、,共有3个;
负分数有:、,共有2个;
整数有:、0、2018,共有3个.