华东师大版七年级数学上册2.2 数轴-同步讲义

2.2 数轴知识点总结与例题讲解
一．本节知识点
（1）数轴的定义及其画法.
（2）在数轴上表示有理数.
（3）在数轴上比较有理数的大小.
二、本节题型
（1）在数轴上表示数并比较大小.
（2）数轴上两点之间的距离.
（3）数轴上点的移动.
三、知识点讲解
知识点一 数轴的定义及其画法
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴的画法 一画、二取、三选、四标.
（1）一画 画直线,先画一条水平的直线;
（2）二取 取原点,通常原点画在中间的位置.当负数的个数较多时,选取原点时靠右些;当正数的个数较多时,选取原点时靠左些;
（3）三选 选正方向,通常选择直线向右的方向为正方向,并标上箭头;
（4）四标 标数,选取适当的长度作为单位长度,原点上标0,原点向左依次标数为;原点向右依次标数为1 , 2 , 3 , ….
对数轴的理解
（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线.
（2）数轴的三要素: 原点、正方向和单位长度.
（3）画数轴时,原点位置的选取和单位长度的大小可以任意选取.
（4）画数轴时,三要素缺一不可.
（5）数轴要画成一条直线,不要画成一条线段或射线.
（6）在数轴上标上箭头表示正方向.
（7）在同一条数轴上,单位长度的大小要统一.
知识点二、在数轴上表示有理数
数轴是数形结合的工具,所有的有理数都可以用数轴上的点表示.正有理数用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示,零用原点表示.
注意 数轴上的点不都表示有理数.
知识点三、在数轴上比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
有理数的大小比较法则 正数都大于零,负数都小于0,正数大于负数.
利用数轴比较有理数的大小的步骤:
（1）画数轴;
（2）把要比较大小的数在数轴上表示出来;
（3）根据数轴上“右边的数总比左边的数大”确定大小.
简记为:画数轴、定顺序、定大小.
注意 利用数轴比较数的大小,与点的位置有关,所以在画点时不能出错.
四、题型讲解
题型一 在数轴上表示数并比较大小
例1. 把下列各数在数轴上表示出来,并按照从小到大的顺序用“<”号连结起来.
, , 3. 5 , 0 , 0. 5 , , 2 .
分析:利用数轴比较数的大小的方法简记为:画数轴、定顺序、定大小.在数轴上画出点的准确位置是正确解决问题的关键.
解:把以上各数在数轴上表示出来如图所示.
由数轴可知:.
题型二 数轴上两点之间的距离
数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数.
例2. 若数轴上表示和3的两点分别是点A和点B,则点A和点B之间的距离是【 】
（A） （B） （C）2 （D）4
解:方法一:如图所示.
由数轴可知,点A到原点的距离为1,点B到原点的距离为3,所以点A和点B之间的距离为4,选择【 D 】.
方法二:点A和点B之间的距离是.
例3. 数轴上与表示的点距离3个单位长度的点表示的数为_________.
分析:本题为易错题,有两种可能的结果:一是该点在表示的点的左边,二是该点在表示的点的右边.
解:分为两种情况:
当该点在表示的点的左边时,该点表示的数为;
当该点在表示的点的右边时,该点表示的数为2.
综上所述,该点表示的数为或2.
题型三 数轴上点的移动
例4. 点P从数轴上原点开始,向右移动2个单位,再向左移动5个单位,此时点P表示的数是_________.
分析:为防止出错,应画出数轴,在数轴上找到点P移动的最终位置,从而确定点P所表示的数.
解:.
例5. 已知A、B是数轴上点,如果点A表示2,将点A向左移动4个单位长度,再向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是_________.
解: 5.
例6. 数轴上的一点由+3出发,向左移动4个单位,又向右移动5个单位,两次移动后,这一点所表示的数是_________.
解:第一次移动后,这一点表示的数是,第二次移动后,这一点表示的数是+4,所以两次移动后,这一点表示的数是+4.
例7. 数轴上点A和点B表示的数分别为和2,把点A向右移动_________个单位长度,可以使点A到点B的距离是2.【 】
（A）2或4 （B）4或6 （C）6或8 （D）4或8
分析:本题为易错题,学生往往只想到其中一种情况,而忽视问题的另外一种情况.本题中平移点A后,点A可能在点B的左侧,也可能在点B的右侧,所以要分为两种情况进行研究.
解:与点B距离2个单位长度的点有两个,这两个点表示的数分别为0和4,所以分为两种情况:
当点A向右移动到原点时,移动的单位长度为4;
当点A向右移动到表示4的点时,移动的单位长度为8.
综上所述,点A向右移动的单位长度为4或8,选择【 D 】.
综合题型
例8. 操作与探索
（1）如图所示,写出数轴上点A、B、C、D表示的数;
（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数:;
（3）如图所示,观察数轴,回答下列问题:
①大于并且小于3的整数有哪几个?
②在数轴上到表示的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么?
分析:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.第（1）问考查的是根据数轴上的点确定表示的数,要明确用数轴上的点表示数的方法和特点;第（2）问考查数轴的画法,数轴的画法简记为:一画、二取、三选、四标;第（3）问注意分类讨论.
解:（1）点A、B、C、D表示的数分别是:;
（2）如图所示;
（3）①整数有:,共5个; ②或1.