二次函数的图像与性质教案
备课教师
课时
1课时
课型
复习课
教学
目标
1.知识与技能：进一步了解二次函数的概念以及二次函数解析式的表达方法；掌握二次函数的图像与性质；会应用二次函数的图像与性质解决有关的问题。
2.过程与方法：在题组训练的过程中，引导学生总结出运用了哪些二次函数的相关知识进行解题，培养学生的归纳总结能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中的应用。
3.情感态度与价值观：培养学生把已有知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。
教学重
难
点
教学重点：梳理所学过的二次函数图像及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系。
教学难点：运用数形结合的数学思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
教
法
讲授法
学法指导
启发法
教具准备
三角板、多媒体
学具准备
教学流程
基础知识回顾
1.二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠
0)的函数，叫做二次函数.
注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数.
2.二次函数的表达式
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
（3）交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
注：其中x1、x2分别是二次函数的两个根.
二次函数图像的平移
二次函数的图象与性质
课堂练习
（一）求抛物线的顶点、对称轴、最值
1
.
抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为
．
2．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
方法归纳：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
（二）二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
3.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图1所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
图1
图2
4.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（
）
A.y=x2
B.y=x-1
C.y=x
D.y=-3x2
（三）二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
5.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图2所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
方法归纳：可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
总结：二次函数y=ax2+bx+c图象与a、b、c的关系
（四）抛物线的几何变换
6.
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移
2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
7.若抛物线
y=－7(x+4)2－1平移得到
y=－7x2，则可能（
）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
（五）二次函数表达式的确定
8.
已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值最小为10,当x=1时,函数值为14,求这个二次函数的解析式.
9.已知二次函数的顶点为（-2,1），并且在该函数的图像上有一点（1，-8），求此二次函数的解析式.
归纳：用待定系数法解二次函数解析式的基本步骤
设出二次函数的解析式；
根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于的a,b,c方程组；
解方程组得到a,b,c的值；
把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
口诀：一设、二代、三解、四还原.
（六）二次函数与实际问题（利润问题）
10.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
三、课堂小结
1.通过今天的学习，你的收获是什么？
2.掌握了哪些解决问题的方法？
3.你还有什么疑问？
板书设计
二次函数的图像与性质
——复习课
二次函数的图像（开口向上、向下）二次函数的图象及其性质——复习课说课稿
各位领导，老师：
大家好！今天我说课的内容是人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》的第一节内容——二次函数的图像与性质的复习课。
在此之前，学生已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质。本节课是对二次函数图像及其性质的相关知识的复习与总结和综合运用，是对后续研究二次函数图像变换的基础。
下面进行我的说课内容：
1.说教材
函数的知识贯穿于整个初等数学体系之中，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为以后学习一元二次不等式等奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数关系式的求法、二次函数的实际应用。在复习二次函数的基础知识时，要注重待定系数法、函数思想、数形结合思想的应用。
2.说教学目标
（1）知识与技能：
进一步了解二次函数的概念以及二次函数解析式的表达方法；掌握二次函数的图像与性质；会应用二次函数的图像与性质解决有关的问题。
过程与方法：
在题组训练的过程中，引导学生总结出运用了哪些二次函数的相关知识进行解题，培养学生的归纳总结能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中的应用。
情感态度与价值观：
培养学生把已有知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。
3.说教学重点、难点
重点：梳理所学过的二次函数图像及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系。
难点：运用数形结合的数学思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
4.说学情
（1）初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的概念、图像及性质等基本知识。
（2）学生的分析、理解能力较学习新课时有所提高。
（3）学生的计算能力较差，做题时耗时过长。
（4）学生能力差异较大，两极分化明显。
5.说教学方法
基于本节课的特点是复习总结所学过的知识及其综合运用，应着重采用复习与总结的教学方法与手段，即利用任务驱动进行复习总结，构建二次函数图像及其性质的综合化、网络化、结构化。通过提问思考、归纳总结、综合运用等形式对二次函数图像及其性质的相关知识和基本解题方法进行有针对性的、系统性的、综合性的教学。
学法指导：让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。
最后，我来具体谈一谈本节课的教学过程。
说教学过程
（1）引入课题
首先向学生展示了三维学习目标，并找同学朗读，随后让学生回忆一下二次函数的图像与性质都有什么内容，由此引入本节课的课题——二次函数的图像与性质复习课。
回顾旧知
此部分内容共分为4点，分别从二次函数的概念、二次函数的三种表达式、二次函数图像的平移以及二次函数的图像与性质（通过图表的形式，对二次函数的一般式与顶点式的图像与性质进行复习，其中包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性等）进行知识点的全方位复习，采用填空的形式叫学生进行回答。在此过程中，要强调二次函数中的二次项系数a≠0。
做习题
在学生回答完复习的知识点之后，给学生10-15分钟的时间做习题,在此同时教师对学生进行指导，学生写题完毕后小组进行讨论，会得学生给不会的学生进行讲解。
讲解习题
一共10个习题，其中关于求抛物线的顶点、对称轴、最值的习题2个；关于二次函数的图像与性质及函数值的大小比较的习题2个；关于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系的习题1个（难题）；关于抛物线的几何变换的习题2个；关于利用待定系数法求二次函数的解析式的习题2道；关于二次函数与实际问题（利润问题）1道（大题）。
在讲解习题的过程中，找学生回答问题，并询问解此题运用了哪些二次函数的知识，并在每种题型结束之后进行归纳总结。
课堂小结
让学生对下面三个问题进行讨论并向全班学生汇报：
①通过今天的学习，你的收获是什么？
②掌握了哪些解决问题的方法？
③你还有什么疑问？
以上是我的说课内容。(共24张PPT)
第二十二章
二次函数
二次函数的图像与性质复习课
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
本节内容是人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》的第一节内容——二次函数的图像与性质的复习课。
在此之前，学生已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质。本节课是对二次函数图像及其性质的相关知识的复习与总结和综合运用，是对后续研究二次函数图像变换的基础。
本节课中的教学重点是梳理所学过的二次函数图像及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系；教学难点是运用数形结合的数学思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
学习目标
1.进一步了解二次函数的概念以及二次函数解析式的表达方法；掌握二次函数的图像与性质；会应用二次函数的图像与性质解决有关的问题。
2.在题组训练的过程中，引导学生总结出运用了哪些二次函数的相关知识进行解题，培养学生的归纳总结能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中的应用。
3.培养学生把已有知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。
要点梳理
一般地，形如
(a，b，c是常数，
__)的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a
≠0
[注意]
(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
1.二次函数的概念
2.二次函数的表达式
y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
(1)一般式法：
(2)顶点式法：
(3)交点式法：
注：其中x1、x2分别是二次函数的两个根.
3.二次函数图像的平移
y＝ax2
左、右平移
上、下平移
y＝-ax2
写成一般形式
沿x轴翻折
左加右减
上加下减
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
方向
对称轴
顶点坐标
最值
a＞0
a＜0
增减性
a＞0
a＜0
4.二次函数的图象与性质：
a＞0
开口向上
a
＜
0
开口向下
x=h
(h
,
k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边,x↗
y↘;在对称轴右边,
x↗
y↗
在对称轴左边,x↗
y↗;在对称轴右边,
x↗
y↘
y最小=
y最大=
考点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
考点讲练
1
.
抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
，
，
则顶点坐标为(1,2)．
(1,2)
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
2．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C
针对训练
考点二
二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
3.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵x1.
故选B.
B
x1
x2
针对训练
4.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（
）
A.
y=
B.y=x-1
C.
D.y=-3x2
D
针对训练
考点三
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与
系数a，b，c的关系
5.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
解析：（1）由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
（2）由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
（3）由图像上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
（4）由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.
方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
字母符号
图象的特征
a＞0
开口__________
a＜0
开口__________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号
对称轴在y轴的____侧
a、b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过____点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
归纳：二次函数y=ax2+bx+c图象与a、b、c的关系
原
考点四
抛物线的几何变换
6.
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移
2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(
)
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝
(x－4)2－2.故选B.
B
7.若抛物线
y=－7(x+4)2－1平移得到
y=－7x2，则可能（
）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
针对训练
考点五
二次函数表达式的确定
8.
已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值最小为10,当x=1时,函数值为18,求这个二次函数的解析式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为y＝a(x+1)2+10,
由题意得：
解得,
a=2.
∴所求的二次函数为y＝2(x+1)2+10，即y=2x2+2x+12
把（1,18）代入得：a(1+1)2+10＝18
①设出二次函数的解析式.
②根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于的a,b,c方程组.
③解方程组得到a,b,c的值.
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
用待定系数法解二次函数解析式的基本步骤
归纳：一设
二代
三解
四还原
9.已知二次函数的顶点为（-2,1），并且在该函数的图像上有一点（1，-8），求此二次函数的解析式.
解:?
设这个二次函数的表达式是y=a(x+2)2+1
针对训练
再把点（1，-8）代入得：
a(1+2)2+1=-8，
解得
a=-1.
∴该二次函数解析式是y=-(x+2)2+1，即y=-x2-4x-3.
10.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
能力提升
解：(1)设y=kx+b，根据题意，得
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
课堂小结
1.通过今天的学习，你的收获是什么？
2.掌握了哪些解决问题的方法？
3.你还有什么疑问？
