2020秋北师大版九年级数学上册第一章
1.2矩形的性质与判定 假期同步测试
一
．
选择题
1．（2019?无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
2．（2019?朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
3．（2018?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
4．（2019?广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（ ）
A．4
B．4
C．10
D．8
5.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC
6.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是不是矩形,他们各自做了如下检测.检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是( )
A.甲量得窗框两组对边分别相等
B.乙量得窗框的对角线相等
C.丙量得窗框的一组邻边相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
7.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°
C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BD D.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD
8.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(
)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
9.
如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝(
)
A．2
B．3
C．
D．
10.
如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
△AFD≌△DCE
B．AF=AD
C．AB=AF
D．BE=AD﹣DF
二．填空题
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是 .(写出一种情况即可)?
12．（2018?株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 2.5 ．
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= .?
14．（2019?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是
．
15．（2019?兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于
．
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
17.
如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________
cm．
18.
矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
三．解答题
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．
20.已知:O是矩形ABCD对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH为矩形.
21．（2019?宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
22.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由.
23．（2019?大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
24.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.
(1)求证:AF=DC;
(2)当AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形?并说明理由.
25.
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．2020秋北师大版九年级数学上册第一章
1.2矩形的性质与判定 假期同步测试
一
．
选择题
1．（2019?无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
2．（2019?朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
A．5
B．6
C．10
D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE＝，AC＝6，
∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5，
故选：A．
3．（2018?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．18
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
4．（2019?广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（ ）
A．4
B．4
C．10
D．8
【解答】解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故选：A．
5.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC
【解答】选C.
可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
故选C.
6.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是不是矩形,他们各自做了如下检测.检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是( )
A.甲量得窗框两组对边分别相等
B.乙量得窗框的对角线相等
C.丙量得窗框的一组邻边相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
【解答】 选D.
A.两组对边相等可以为正方形,平行四边形,菱形,矩形等,所以甲错误;
B.对角线相等的图形有正方形,矩形等,所以乙错误;
C.邻边相等的图形有正方形,菱形,所以丙错误;
D.根据矩形的判定知D正确.
故选D.
7.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°
C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BD D.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD
【解答】 ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴A能判定四边形ABCD为矩形;
∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴B能判定四边形ABCD为矩形;
∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥DC,
∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∴C不能判定四边形ABCD为矩形;
∵∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴AD∥BC.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴D能判定四边形ABCD为矩形.
故选C.
8.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(
)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
【解答】 选B；
【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.
9.
如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝(
)
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C；
【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝
AE×BE＋BE×（BE－AE）＝8.
10.
如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
△AFD≌△DCE
B．AF=AD
C．AB=AF
D．BE=AD﹣DF
【答案】B.
【解析】（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，
∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；
（B）∵∠ADF不一定等于30°，
∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；
（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，
由矩形ABCD，可得AB=CD，
∴AB=AF，故（C）正确；
（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，
由矩形ABCD，可得BC=AD，
又∵BE=BC﹣EC，
∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；
故选B
二．填空题
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是 .(写出一种情况即可)?
答案 ∠A=90°或∠B=90°或AD=BC或AB∥CD(写出一个即可)
解析 根据三个角是直角的四边形是矩形添加条件∠A=90°或∠B=90°;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件AD=BC或AB∥CD.
12．（2018?株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 2.5 ．
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，BO=DO=BD，
∴OD=BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ=DO=2.5．
故答案为：2.5．
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= .?
答案 75°
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,
∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,
∵BO=BE,∴AB=BO=OA,
∴△BAO是等边三角形,∴∠ABO=60°,
∴∠OBE=90°-60°=30°,又∵OB=BE,
∴∠BOE=∠BEO=×(180°-30°)=75°.
14．（2019?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 673 ．
【解答】解：如图
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2019÷6＝336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次
故答案为673
15．（2019?兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于 3 ．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
由作图知，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
过E作EF⊥AC于F，
∴EF＝BE＝1，
∴AC＝2CF＝2，
∴AB＝，BC＝3，
∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝3，
故答案为：3．
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
【答案】
【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，.
17.
如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________
cm．
【答案】8；
【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴
AC＝2AO＝2AB＝8．
18.
矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
【答案】30或10；
【解析】∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x?4x=36，
解得：x=3（负舍），
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x?4x=36，
解得：x=（负舍），
即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；
故答案为：30或10
三．解答题
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE．
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．
在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，
由勾股定理知，DE===5，
∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．
20.已知:O是矩形ABCD对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH为矩形.
证明 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=BO=CO=DO,
∵AE=BF=CG=DH,∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∵OE+OG=FO+OH,即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
21．（2019?宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4﹣＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝﹣＝1，
∴EF＝＝＝．
22.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由.
解析 (1)AE∥BF,AE=BF.
理由:∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC,
∴△ABC≌△FEC,
∴AB=FE(全等三角形的对应边相等),
∠ABC=∠FEC(全等三角形的对应角相等),
∴AB∥FE(内错角相等,两直线平行),
∴四边形ABFE为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
∴AE∥BF,AE=BF(平行四边形的对边平行且相等).
(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE为矩形.
理由:∵∠ACB=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,∴AC=BC,
结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF,
∴AF=BE,∴四边形ABFE是矩形.
23．（2019?大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠MAB＝∠NCD．
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴EO＝FO，AO＝CO，
∴O为EF、AC中点．
∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，
∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，
∴AG的长为1或4．
24.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.
(1)求证:AF=DC;
(2)当AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形?并说明理由.
解析 (1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,
∵E为AD的中点,∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.
(2)当AD=CF时,四边形AFDC是矩形.理由如下:
由(1)得:AF=DC,又∵AF∥DC,
∴四边形AFDC是平行四边形,
又∵AD=CF,
∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
25.
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD是矩形．
