2020秋北师大版九年级数学上册第一章
1.3正方形的性质与判定 假期同步测试
一
．
选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则结论:①AB=BC=CD=DA;
②AO=BO=CO=DO;③AC⊥BD中,正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解答】解： 正方形的四条边都相等,对角线相等且互相垂直平分,因此正确的是①②③,
故选D.
3.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连接BE、AF相交于点G,则下列结论中不正确的是( )
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE
【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABF=∠C=90°,AB=BC,
∵BF=CE,∴△ABF≌△BCE,
∴AF=BE(A正确),
∠BAF=∠CBE,∠BFA=∠BEC(C错误).
∵∠BAF+∠DAF=90°,∠BAF+∠BFA=90°,
∴∠DAF=∠BFA,
∴∠DAF=∠BEC(B正确).
∵∠BAF=∠CBE,∠BAF+∠AFB=90°,
∴∠CBE+∠AFB=90°,∴AG⊥BE(D正确).
故选C.
4.
在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．无穷多个
【解答】解：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
故选D.
5.如图,从下列四个条件:①AB=BC,②AC⊥BD,③∠ABC=90°,④AC=BD中选两个作为补充条件,使?ABCD成为正方形,下列四种选法中错误的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
【解答】解： A.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
当AC⊥BD时,菱形ABCD不一定是正方形,故此选项错误,符合题意;
B.∵四边形ABCD是平行四边形,
当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;
C.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;
D.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意.
故选A.
6．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD，AB⊥CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD∥BC
【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形ABCD是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（ ）
A．15°
B．35°
C．45°
D．55°
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故选：C．
8.
如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．8
【解答】解：如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，DE＝4．
故选：C．
9．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（ ）
A．（﹣6，2）
B．（0，2）
C．（2，0）
D．（2，2）
【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），
∴D（﹣3，2），
∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），
故选：B．
10．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
二．填空题
11.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是 .?
【解答】解： 是平行四边形又是菱形,也是矩形的图形是正方形.
故答案为： 正方形．
12．如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠BAE的度数是 75° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，DE＝DC，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°；
故答案为：75°．
13.
如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.
【解答】解：因为ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，
又因为DE⊥、BF⊥，
根据AAS易证△AFB≌△AED，
所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长＝7．
故答案为：EF的长＝7．
14.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部分的面积是 .?
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=CO,∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴S△AEO=S△CFO,
∴S△DEO+S△CFO=S△DEO+S△AEO=S△AOD,
∵S正方形ABCD=42=16,∴S△AOD=4,
故答案为：阴影部分的面积为4.
15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 （﹣1，5） ．
【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为
（﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
16．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为 15°或45° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，
∴∠ADE＝45°，
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，
∴△AE′M为等边三角形，
∴∠E′AM＝60°，
∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AD＝AE′，
∴∠ADE′＝15°，
故答案为：15°或45°．
17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 8 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，
故答案为：8．
18．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为 ①②③ ．
【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM=BE，
∴AB=EM=AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM=HM，故②正确；
当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，
∴∠ADM=45°﹣15°=30°，
∴Rt△ADM中，DM=2AM，
即DM=2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC=45°，
∴∠CHM＞135°，故③正确；
故答案为：①②③．
三．解答题
19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE＝OF．
20.
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？
【解答】解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（﹣，1）.
21.
如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．
∴∠ADE＝∠BCE＝30°．
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE．
（2）∵△ADE≌△BCE，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE．
∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠AFB．
∵AD＝CD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，
∴∠AFB＝75°．
22.如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,请找出和BE相等的线段,并证明你的结论.
【解答】 AF=BE.
证明∵CE⊥BF,垂足为M,
∴∠MBC+∠MCB=90°,又∵∠ABC=90°,∴∠BEC+∠MCB=90°,
∴∠MBC=∠BEC,
又∵AD∥BC,∴∠MBC=∠AFB,
∴∠AFB=∠BEC,
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中,
∴Rt△BAF≌Rt△CBE(AAS),∴AF=BE.
23．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，
∴GH=，且GH∥BC，
∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=．
24．（2019?内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝5．
25.如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连接EF.
(1)求证:2EF=CD;
(2)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是矩形;?
(3)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是菱形,并证明你的结论;?
(4)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是正方形.?
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点F为AC,BD的中点,
又∵E是BC的中点,
∴EF为△DBC的中位线,
∴2EF=CD.
(2)EF⊥BC.
理由:∵EF为△DBC的中位线,EF⊥BC,
∴CD⊥BC,即∠BCD=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
故答案为EF⊥BC.
(3)BC=2EF.
理由:∵点E为BC的中点,且BC=2EF,
∴EF=BE=EC,
∴∠EBF=∠BFE,∠EFC=∠ECF,
又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°,
∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°,
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为BC=2EF.
(4)EF⊥BC且BC=2EF.2020秋北师大版九年级数学上册第一章
1.3正方形的性质与判定 假期同步测试
一
．
选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则结论:①AB=BC=CD=DA;
②AO=BO=CO=DO;③AC⊥BD中,正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连接BE、AF相交于点G,则下列结论中不正确的是( )
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE
4.
在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．无穷多个
5.如图,从下列四个条件:①AB=BC,②AC⊥BD,③∠ABC=90°,④AC=BD中选两个作为补充条件,使?ABCD成为正方形,下列四种选法中错误的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
6．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD，AB⊥CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD∥BC
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（ ）
A．15°
B．35°
C．45°
D．55°
8.
如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．8
9．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（ ）
A．（﹣6，2）
B．（0，2）
C．（2，0）
D．（2，2）
10．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是 .?
12．如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠BAE的度数是
．
13.
如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.
14.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部分的面积是 .?
15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为
．
16．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为
．
17．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是
．
18．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为
．
三．解答题
19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
20.
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？
21.
如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
22.如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,请找出和BE相等的线段,并证明你的结论.
23．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
24．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
25.如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连接EF.
(1)求证:2EF=CD;
(2)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是矩形;?
(3)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是菱形,并证明你的结论;?
(4)当EF与BC满足 时,四边形ABCD是正方形.?
