2021年浙江省普通高校学业水平测试 专项复习：三角函数大题汇编

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学考三角函数大题汇编
1．在锐角中，内角对边的边长分别是，且,
（Ⅰ）求角；　　
（Ⅱ）若边，的面积等于，
求边长和.
【答案】（I）；（II）.
解：（Ⅰ）由及正弦定理得，
得.
因为是锐角三角形，.
（Ⅱ）由面积公式得.
所以，得.
由余弦定理得.所以.
2．已知
（1）
求的值
（2）求的值
【答案】（1）0；
(2)
-1.
解：因为
所以,，
（1）;
(2)
3．已知函数
（1）求其最小正周期；
（2）当时，求其最值及相应的值
（3）试求不等式的解集
【答案】（1）T=；（2）；（3）
解：函数
.
(1)函数的最小正周期：；
(2)；
所以，
所以函数；
(3)因为，即，
所以，
，
可得，k∈Z
所以不等式的解集为：
4．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)；
(2).
解：（1）因为，所以，于是
（2）因为，故
所以中.
5．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
解：，，
；
（1）
；
（2）
.
6．在ABC中，a、b是方程x2－2x+2=0的两根，且2cos(A+B)=－1.
(1)求角C的度数；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积.
【答案】(1)60°；(2)c=；(3).
解：（1）∵2cos（A+B）＝﹣1，A+B+C＝180°，∴2cos（180°﹣C）＝﹣1，
∴cos（180°﹣C）＝﹣．∴cosC＝，∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.
（2）∵a、b是方程x2﹣2+2＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝2
由余弦定理可知cosC＝，∴c＝.
（3）S△ABC＝absinC．
7．在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】
（1）；（2）
解：（1）
，由余弦定理可得
,
,
（2）.
8．已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
【答案】函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
解：（1）
所以
又
所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而
所以
所以
所以
=.
9．设α为锐角，已知sinα=．
（1）求cosα的值；
（2）求cos（α+）的值．
【答案】（1）（2）
解：（1）∵α为锐角，且，∴，综上所述，结论是：．
（2）=．
综上所述，结论是：．
10．已知sinα=，α∈（0，）．
（1）求tanα的值；
（2）求cos（α+）的值．
【答案】（1）（2）
解：（1）∵α∈（0，）．
∴cosα＞0，
∴cos==，
∴tan=，
（2）cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣=；（或求出角
11．已知函数f（x）=sinxcos（π+x）+cosxsin（π+x）+sin（+x）cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x为何值时，f（x）有最大值？
【答案】（1）T=（2）x=时，
f（x）有最大值1+
解：∵f（x）=sinxcos（π+x）+cosxsin（π+x）+sin（+x）cosx
=sin2x+cos2x=1．
（1）f（x）的最小正周期T=；
（2）当sin2x=﹣1，即2x=﹣，x=时，
f（x）有最大值1+．
12．已知向量=（2cos
x，sin
x），=（cos
x，﹣2cos
x）．
（1）设函数f求f（x）的解析式
（2）求f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）（2）
解：（1）由题意得，向量=（2cos
x，sin
x），=（cos
x，﹣2cos
x），
∴f（x）==2cos2x﹣2sinxcosx
=1+cos2x﹣sin2x=，
则f（x）=；
（2）由得，
，
∴f（x）的单调增区间是．
13．已知向量，，.
（1）当时，求下列的坐标；
（2）若函数，问：为何值时，取得最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时，函数有最大值为.
解：（1）由题知：当时，，
∴.
，
∴
当，即时，
函数有最大值为4.
14．已知函数
.
（1）求的最大值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）
的最大值为.
（2），即，，
.
15．已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)恒有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解：
(1)∵
当即
即时单调递增，
∴的单调递增区间为.
(2)∵∴∴
由得
∴∴即.
16．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
解：（1）因
=，因；
（2）对于因，因此
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
【答案】（1）60°；
（2）；
（3）.
（Ⅰ）由.，得，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
（Ⅲ）由题意得
.
因为0＜A＜，
所以.
故所求的取值范围是.
18．在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程的两根，2cos(A+B)=1．
(1)求∠C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)
120°(2)
(3)
解：(1)△ABC中，∵cosC=—cos(A+B)=，解得C=120°.∴C=120°.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=，ab=2，
由余弦定理求得.
(3)△ABC的面积等于=.
19．设平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若函数，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x值．
【答案】（1）1；（2）5
解：（1）由题意知，向量，即，即，
又由．
（2）因为，
故当，即时，有最大值，最大值是5．
20．的内角的对边分别为，已知，.
(1)求的面积；
(2)若,求的值.
【答案】（1）2（2）
解：(1)∵是的内角，即，，∴.
又，∴.
(2)由,
，可得.
由,可得.
∴，解得.
21．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
解：（1）由余弦定理可知.
代入可得
∵,
∴.
（2）由正弦定理,得,
∵,
∴为锐角,
∴.
∴
.
22．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）由，可得，
由，可得：，
由得；
（2），
.
23．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）由正弦定理，得，
所以，
所以.
由余弦定理，得.
又，
所以角；
（2）由（1）得角，由，可得，
由正弦定理，得，可得，可得，
又，
故，
可得.
24．已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值，并写出取最小值时自变量的集合.
【答案】（1）；（2）的最小值为，此时
解：由已知得，
（1）；
（2）由得的最小值为，
此时，即，
则取最小值时自变量的集合为.
25．在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若三角形的面积为，且，求和的值.
【答案】（1），（2）或
解：（1）由余弦定理，
又，
得，
，
因为在三角形中，，
所以.
（2）由三角形面积公式，
将已知及（1）中所求代入公式
可得，
解得，
又，解得或.
26．已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c．
【答案】（1）；（2）.
解：（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，所以．
因为A为锐角，所以．
（2）由，得：．
又的面积为，即．
所以．则．解得．
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