选修1—2综合评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的回归直线方程为
＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要( )
A．6.5
h
B．5.5
h
C．3.5
h
D．0.5
h
2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
4．某一个网站针对“是否同意恢复五一长假”进行了随机调查，在参加调查的2
600名男性公民中有1
600名持反对意见，在2
400名女性公民中有1
300人持反对意见，在运用这些数据分析说明“是否同意恢复五一长假”与性别有无关系时，比较适合的方法是( )
A．平均数与方差
B．回归分析
C．独立性检验
D．条件概率
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
6．如图是解决数学问题的思维过程的流程图．
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
7．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a、b均为正实数，则lga＋lgb≥2
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－(＋)≤－2＝－2
8．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归直线方程只可能是( )
A．y＝0.575x－14.9
B．y＝0.572x－13.9
C．y＝0.575x－12.9
D．y＝0.572x－14.9
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
10．如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )
A.
B.
C.
D.
11.1＋2i＋3i2＋…＋2
005i2
004的值是( )
A．－1
000－1
000i
B．－1
002－1
002i
C．1
003－1
002i
D．1
005－1
000i
12．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是b2－4ac>0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论错误的是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b＝________.
14．观察下列等式：
1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．
15．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
合计
工作积极
55
73
128
工作一般
98
52
150
合计
153
125
278
对于该教委的研究项目，根据上述数据，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为态度与工作积极性________关系(填“有”或“无”)．
16．如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)某市环境保护局信访工作流程如下：S1法制科受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示；S2及时转送有关部门办理，督办，如特殊情况不能按期办毕，批准后可延办，办毕反馈；S3信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．根据以上给出该局信访工作流程图．
18．(12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
19.(12分)设Sn，Tn分别为下列表格中两个等差数列{an}，{bn}的前n项和.
n
1
2
3
4
5
6
7
…
an
5
3
1
－1
－3
－5
－7
…
bn
－14
－10
－6
－2
2
6
10
…
(1)请求出S1，S2，S4，S5和T2，T3，T5，T6；
(2)依据上述结果，对于存在正整数k满足ak＋ak＋1＝0的等差数列{an}的前n项和Sn(n≤2k－1)的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．
20．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
21.(12分)观察以下各等式：
tan30°＋tan30°＋tan120°＝tan30°·tan30°·tan120°，
tan60°＋tan60°＋tan60°＝tan60°·tan60°·tan60°，
tan30°＋tan45°＋tan105°＝tan30°·tan45°·tan105°.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并加以证明．
22．(12分)已知关于x的方程＋＝1，其中a、b为实数．
(1)若x＝1－i是该方程的根，求a、b的值；
(2)当>且a>0时，证明该方程没有实数根．选修1—2综合评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的回归直线方程为
＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要( )
A．6.5
h
B．5.5
h
C．3.5
h
D．0.5
h
2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
4．某一个网站针对“是否同意恢复五一长假”进行了随机调查，在参加调查的2
600名男性公民中有1
600名持反对意见，在2
400名女性公民中有1
300人持反对意见，在运用这些数据分析说明“是否同意恢复五一长假”与性别有无关系时，比较适合的方法是( )
A．平均数与方差
B．回归分析
C．独立性检验
D．条件概率
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
6．如图是解决数学问题的思维过程的流程图．
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
7．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a、b均为正实数，则lga＋lgb≥2
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－(＋)≤－2＝－2
8．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归直线方程只可能是( )
A．y＝0.575x－14.9
B．y＝0.572x－13.9
C．y＝0.575x－12.9
D．y＝0.572x－14.9
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
10．如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )
A.
B.
C.
D.
答案
1．A 大约需要0.01×600＋0.5＝6.5(h)．
2．A 因为z1＝z2，所以，
解得m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
3．A ∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z－2i＝＝2＋i.∴z＝2＋3i.故选A.
4．C
5．B ∵a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，因此an＝.
6．A 由已知?结论是综合法；由结论?已知是分析法．
7．D A中推理形式错误；B中，b、c关系不确定；C中lga，lgb的正负不确定．
8．A 可计算得＝140，＝65.6，代入检验可知回归直线方程只可能是y＝0.575x－14.9.
9．C 对于①，可令a＝，b＝，则a＋b＝＋＝>1，a，b都小于1，不合题意；对于②，可令a＝1，b＝1，则a＋b＝2，a，b都等于1，不合题意；对于③，若a，b均不大于1，则a≤1，b≤1，于是有a＋b≤2，这与a＋b>2矛盾，因此符合题意；对于④，可令a＝－2，b＝－2，则a2＋b2＝8>2，a，b都小于1，不合题意；对于⑤，可令a＝－2，b＝－2，则ab＝(－2)×(－2)＝4>1，a，b都小于1，不合题意．故选C.
10．D N＝5，S＝＋＋＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝，故选D.
————————————————————————————
11.1＋2i＋3i2＋…＋2
005i2
004的值是( )
A．－1
000－1
000i
B．－1
002－1
002i
C．1
003－1
002i
D．1
005－1
000i
12．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是b2－4ac>0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论错误的是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b＝________.
14．观察下列等式：
1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．
15．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
合计
工作积极
55
73
128
工作一般
98
52
150
合计
153
125
278
对于该教委的研究项目，根据上述数据，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为态度与工作积极性________关系(填“有”或“无”)．
16．如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)某市环境保护局信访工作流程如下：S1法制科受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示；S2及时转送有关部门办理，督办，如特殊情况不能按期办毕，批准后可延办，办毕反馈；S3信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．根据以上给出该局信访工作流程图．
18．(12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
答案
11．C 令S＝1＋2i＋3i2＋…＋2
005i2
004，①
iS＝i＋2i2＋…＋2
004i2
004＋2
005i2
005，②
①－②，得(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2
004－2
005i2
005，(1－i)S＝1＋－2
005i，
∴S＝，即S＝1
003－1
002i.
12．C 若z是复数，|z|2与z2不一定相等，只有z∈R时成立．方程ax2＋bx＋c＝0有两个实根的条件是Δ＝b2－4ac>0，仅在a，b，c∈R，且a≠0的条件下成立．
13．1
解析：∵＝＝＝i，
∴a＝0，b＝1.
14．1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)
15．有
解析：利用公式得K2的观测值为
k＝≈13.959>10.828，
故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．
16.
解析：设A′，B到△PAC的距离分别为h1，h2，则＝＝＝.
17．解：该局信访工作流程图如下：
18．解：z＝＝
＝＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
∴∴
————————————————————————————
19.(12分)设Sn，Tn分别为下列表格中两个等差数列{an}，{bn}的前n项和.
n
1
2
3
4
5
6
7
…
an
5
3
1
－1
－3
－5
－7
…
bn
－14
－10
－6
－2
2
6
10
…
(1)请求出S1，S2，S4，S5和T2，T3，T5，T6；
(2)依据上述结果，对于存在正整数k满足ak＋ak＋1＝0的等差数列{an}的前n项和Sn(n≤2k－1)的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．
20．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：
＝，
＝－
)
答案
19．解：(1)S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5，
T2＝－24，T3＝－30，T5＝－30，T6＝－24.
(2)对等差数列{an}，
若存在正整数k，使ak＋ak＋1＝0，
则有Sn＝S2k－n(n≤2k－1)．
证明：要证明Sn＝S2k－n(n≤2k－1)，
(若n＝2k－n，显然成立不妨设n<2k－n)
∴只需证明an＋1＋an＋2＋…＋a2k－n＝0，
即证明(2k－n－n)＝0.
∵ak＋ak＋1＝0，
而k＋(k＋1)＝(n＋1)＋(2k－n)，
∴an＋1＋a2k－n＝ak＋ak＋1＝0.
∴Sn＝S2k－n，即结论成立．
20．解：(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，∴
＝0.7，
∴
＝1.05，∴
＝0.7x＋1.05.
回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入线性回归方程，得
＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
————————————————————————————
21.(12分)观察以下各等式：
tan30°＋tan30°＋tan120°＝tan30°·tan30°·tan120°，
tan60°＋tan60°＋tan60°＝tan60°·tan60°·tan60°，
tan30°＋tan45°＋tan105°＝tan30°·tan45°·tan105°.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并加以证明．
22．(12分)已知关于x的方程＋＝1，其中a、b为实数．
(1)若x＝1－i是该方程的根，求a、b的值；
(2)当>且a>0时，证明该方程没有实数根．
答案
21.解：反映一般规律的等式是：若A＋B＋C＝π，则tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
证明：由于tan(A＋B)＝，
∴tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)．
而A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.
于是tanA＋tanB＋tanC
＝tan(π－C)(1－tanAtanB)＋tanC
＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC
＝tanA·tanB·tanC.
故等式成立．
22．解：(1)将x＝1－i代入＋＝1，
化简得(＋)＋(b－)i＝1，
∴解得a＝b＝2.
(2)原方程化为x2－ax＋ab＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab.
∵a>0，∴≤，这与题设>相矛盾．
故原方程无实数根．
