第二章单元评估卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质；
②由正方形、矩形的内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；
③三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°；
④小李某次数学模块考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
2．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是奇数
B．假设a，b，c都不是奇数
C．假设a，b，c至多有一个奇数
D．假设a，b，c至多有两个奇数
3．因为奇函数的图象关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝是奇函数(小前提)，所以函数f(x)的图象关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
4．已知函数f(x)＝5x，则f(2
015)的末四位数字为( )
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
5．已知函数f(x)＝，计算f(0)＋f(1)，f(2)＋f(－1)的值，可归纳其一般性的结论是( )
A．f＋f＝
B．f(－x)＋f(x＋1)＝
C．f(－x)＋f(x－1)＝
D．f(－x)＋f(x＋1)＝
6．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
7．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
015等于( )
A.
B．－1
C．2
D．3
8．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C.
D.f(1)
9．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，……，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2
B．Sn＝n3
C．Sn＝n4
D．Sn＝n(n＋1)
10.在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4a6>a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b4＋b8
C．b4＋b7>b5＋b8
D．b4＋b711．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2
012项与5的差，即a2
012－5＝( )
A．2
018×2
012
B．2
018×2
011
C．1
009×2
012
D．1
009×2
011
12．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为________．
14．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
15．已知两个圆：(x＋1)2＋(y－2)2＝4 ①与(x＋2)2＋(y－3)2＝4 ②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，可得到一般性的命题为________．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<.
18．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N
)，若Tn＝a1＋5a2＋52a3＋…＋5n－1an，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．
19.(12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
20．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，且a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，且a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
21.(12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
22．(12分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．
(1)证明数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．第二章单元评估卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质；
②由正方形、矩形的内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；
③三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°；
④小李某次数学模块考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
2．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是奇数
B．假设a，b，c都不是奇数
C．假设a，b，c至多有一个奇数
D．假设a，b，c至多有两个奇数
3．因为奇函数的图象关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝是奇函数(小前提)，所以函数f(x)的图象关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
4．已知函数f(x)＝5x，则f(2
015)的末四位数字为( )
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
5．已知函数f(x)＝，计算f(0)＋f(1)，f(2)＋f(－1)的值，可归纳其一般性的结论是( )
A．f＋f＝
B．f(－x)＋f(x＋1)＝
C．f(－x)＋f(x－1)＝
D．f(－x)＋f(x＋1)＝
6．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
7．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
015等于( )
A.
B．－1
C．2
D．3
8．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C.
D.f(1)
9．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，……，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2
B．Sn＝n3
C．Sn＝n4
D．Sn＝n(n＋1)
答案
1．B 本题主要考查对合情推理(归纳推理、类比推理)的判断．①是类比推理，②③是归纳推理．故选B.
2．B 本题主要考查反证法的应用．命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.
3．B 本题主要考查演绎推理的三段论与分段函数的综合应用．因为f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错，故选B.
4．D 本题主要考查归纳推理的应用．因为f(5)＝55＝3
125的末四位数字为3
125，f(6)＝56＝15
625的末四位数字为5
625，f(7)＝57＝78
125的末四位数字为8
125，f(8)＝58＝390
625的末四位数字为0
625，f(9)＝59＝1
953
125的末四位数字为3
125，故周期T＝4.又由于2
015＝502×4＋7，因此f(2
015)的末四位数字与f(7)的末四位数字相同，即f(2
015)的末四位数字是8
125.故选D.
5．D 本题主要考查归纳推理等知识．∵f(x)＝，∴f(0)＋f(1)＝＋＝－1＋＝，f(－1)＋f(2)＝＋＝＋＝，可归纳：f(－x)＋f(x＋1)＝.事实上，f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋＝＝.故选D.
6．C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
7．B ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N
，k∈N
)．
∴a2
015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
8．C f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)
?
f(n)＝nf(1)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)
f(1)＝f(1)．所以A，D正确．
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝f，所以B也正确．故选C.
9．B ∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；
∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
————————————————————————————
10.在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4a6>a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8
D．b4＋b711．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2
012项与5的差，即a2
012－5＝( )
A．2
018×2
012
B．2
018×2
011
C．1
009×2
012
D．1
009×2
011
12．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为________．
14．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
15．已知两个圆：(x＋1)2＋(y－2)2＝4 ①与(x＋2)2＋(y－3)2＝4 ②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，可得到一般性的命题为________．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<.
18．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N
)，若Tn＝a1＋5a2＋52a3＋…＋5n－1an，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．
答案
10.A b5＋b7－b4－b8＝b4(q＋q3－1－q4)
＝b4(q－1)(1－q3)＝－b4(q－1)2(1＋q＋q2)
＝－b4(q－1)2.
∵bn>0，q>1，
∴－b4(q－1)2·<0，
∴b4＋b8>b5＋b7.
11．D 由已知可得a2－a1＝4
a3－a2＝5
a4－a3＝6
……
a2
012－a2
011＝2
014.
以上各式相加得
a2
012－a1＝＝1
009×2
011.
∵a1＝5，∴a2
012－5＝1
009×2
011.
12．C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
13．在三棱锥A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
14．f(2n)>
解析：观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)，不等式右侧分别为，k＝1,2，…，所以f(2n)>(n≥2)．
15．两个圆的方程分别为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ①和(x－c)2＋(y－d)2＝r2②，其中a≠c或b≠d，r>0，则①式减去②式可得两圆的对称轴方程
解析：本题主要考查归纳推理的应用．观察到已知两个圆的半径相等，且两圆的圆心位置不同，故可归纳出其一般性的命题．
16．A
解析：根据甲、乙、丙说的可列表得
A
B
C
甲
√
×
√
乙
√
×
×
丙
√
17.证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0.
要证明原不等式成立，只需证明即(a－c)(2a＋c)>0，
因为a－c>0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b>0，
所以(a－c)(2a＋c)>0成立，故原不等式成立．
18．解：因为Tn＝a1＋5a2＋52a3＋…＋5n－1an， ①
所以5Tn＝5a1＋52a2＋53a3＋…＋5n－1an－1＋5nan， ②
①＋②，得6Tn＝a1＋5(a1＋a2)＋52(a2＋a3)＋…＋5n－1(an－1＋an)＋5nan＝1＋5×＋52×2＋…＋5n－1×n－1＋5nan＝n＋5nan，所以6Tn－5nan＝n，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
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19.(12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
20．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，且a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，且a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
答案
19．证明：假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，
则a＋b＋c<3.
∵a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3，且x为实数，
∴22＋3≥3，
即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c<3矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
∴a，b，c中至少有一个不小于1.
20．(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，则a＋a＋…＋a≥.
(2)证明：构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.
因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
从而证得a＋a＋…＋a≥.
————————————————————————————
21.(12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
22．(12分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．
(1)证明数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
答案
21.解：(1)<
.证明如下：
要证
<
，只需证<.
∵a，b，c>0，∴只需证b2∵，，成等差数列，∴＝＋≥2
，
∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明：法1：假设角B是钝角，则cosB<0.
由余弦定理得，
cosB＝≥>>0，
这与cosB<0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法2：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b>a，b>c，所以>>0，>>0，则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
22．解：(1)由已知，当n≥2时，＝1，
又Sn＝b1＋b2＋…＋bn，所以＝1，即＝1，所以－＝，
又S1＝b1＝a1＝1.
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知＝1＋(n－1)＝，
即Sn＝.
所以当n≥2时，
bn＝Sn－Sn－1＝－＝－.
因此bn＝
(2)设数表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.
因为1＋2＋…＋12＝＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，
因此a81＝b13·q2＝－.
又b13＝－，所以q＝2.
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
则S＝＝－·
＝(1－2k)(k≥3)．