人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质（共43张ppt）

人教版八年级数学上册 12.3 角平分线 的性质
12.3.1 角平分线的性质
会用尺规作一个已知角的平分线；
掌握角平分线的性质，并会简单应用。
学习目标
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
我的长度
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
C
A
D
B
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
探究1：
E
角的平分线的作法
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？

Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
作下面两个角的角平分线
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________

PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
结论：
C
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
D
P
E
A
O
B
C
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断：
练习
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
A
C
D
B
E
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
例题讲解
E
解：∵OC平分∠ AOB
∠ C=900，DE ⊥ AB（已知）
∴ DC= DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ BC＝8,BD＝5
∴ DC=BC－BD=3
∴DE=3
答：点D到AB的距离为3
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
F
G
M
N
例题讲解
A
B
C
P
E
D
F
M
N
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，且AB=10。
求：△DBE的周长。
C
A
B
D
E
综合应用
解：∵ AD平分∠BAC
∠C=90°, DE⊥AB (已知）
∴ CD=DE (角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=AD （公共边）
CD=DE (已证）
∴ Rt△ACD≌Rt△AED （HL）
∴ AC=AE （全等三角形的对应边相等）
∵ AC=BC （已知）
∴ BC=AE （等量代换）
∴ C△DBE=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。
证明： ∵ AD平分∠BAC (已知）
∴ ∠1=∠2 (角平分线的定义）
∵ PE∥AB ,PF∥AC (已知）
∴ ∠1=∠3， ∠2=∠4 (两直线平行，同位角相等）
∴ ∠3=∠4 (等量代换）
过点D作DG⊥PE, DH⊥PF，垂足分别为G、H
∴ DG=DH (角平分线上的点到角两边的距离相等）
即点D到PE和PF的距离相等
如图， △ABC中，AD为∠BAC的平分线，P是AD上一点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.
求证：点D到PE和PF的距离相等。
G
综合应用
H
1
2
3
4
证明： ∵ OC平分∠AOB (已知） PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD=PE (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∠1=∠2 (角平分线的定义）
△POD与△POE为Rt△
在Rt△POD和Rt△POE中
0P=0P （公共边）
PD=PE (已证）
∴ Rt△POD≌Rt△P0E （HL）
∴ OD=OE （全等三角形的对应边相等）
在△FOD和△FOE中
OD = OE
∠1=∠2
OF=0F
∴ △FOD≌△FOE （SAS）
∴ DF=EF （全等三角形的对应边相等）
如图， 0C为∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D、E， F是0C上一点，连接DF、EF. 求证：DF=EF。
综合应用
D
P
1
2
E
G
证明： ∵ AD平分∠BAC (已知）
DE⊥AB, DF⊥AC
∴ DE=DF (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∠1=∠2 (角平分线的定义）
△ADE 与△ADF为Rt△
在Rt△ADE和Rt△ADF中
AD=AD （公共边）
DE=DF (已证）
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF （HL）
∴ AE=AF （全等三角形的对应边相等）
在△AGE和△AGF中
AE = AF
∠1=∠2
AG=AG
∴ △AGE≌△AGF （SAS）

如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F， EF与AD相交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。
拓广探索
2
1
∵ ∠AGE+∠AGF=1800（平角的定义）
∴ ∠AGE=900
∴AD⊥EF （垂直的的定义）
◆这节课我们学习了哪些知识？
小 结
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE (角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
E
D
O
A
B
P
C
几何语言:
人教版八年级数学上册 12.3 角平分线 的性质
12.3.2 角平分线的判定
掌握角平分线的判定定理的内容；
会用角平分线的性质和判定证明。
学习目标
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
知识回顾
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
不必再证全等
O
D
E
P
A
C
B
反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？
P
思考
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上
P
C
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
　∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
　 PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
　∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
C
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）
总结
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳、比较
X
应用角平分线性质定理的逆定理
A
B
O
Q
M
N
　　1．判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
X
应用角平分线性质定理的逆定理
A
B
O
Q
M
N
　　 1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
√
应用角平分线性质定理的逆定理
A
B
O
Q
M
N
1．判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )

已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
例题讲解
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
证明：∵ BD⊥AM CE ⊥AN(已知）
∴ ∠FDC= ∠FEB(垂直的定义）
在△ FDC 和△FEB中
∠FDC= ∠FEB （已证）
∠CFD= ∠BFE （对顶角相等）
CF=BF (已知）
∴ △FDC≌△FEB （AAS）
∴ EF=DF （全等三角形的对应边相等）
∴ OA平分 ∠ MAN（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
　　 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
思考
D
C
S
解：作夹角的角
平分线OC，
截取OD=2.5cm ,
D即为所求。
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题
如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
课堂练习
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上　　　
FH⊥AD， FM⊥BC
FG⊥AE， FM⊥BC
证明：（1）∵S △DCE =S △DBF ，CE=BF （已知）
∴ DH=DG (等底等高，面积相等）
∵ DH⊥AB, DG⊥AC
∴ AD平分∠BAC(到角两边距离相等的点在角的平分线上
（2） ∠BAC+ ∠HDG=1800 (四边形内角和等于3600）
在Rt△DHF和Rt△DGC中
DF=DC （已知）
DH=DG (已证）
∴ Rt△DHF≌Rt△DGC （HL）
∴ ∠1=∠2 （全等三角形的对应角相等）
∴ ∠BAC+∠FDC=1800 （等量代换）
综合应用
1
2
如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF, DF=DC, △DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证:(1) AD平分∠BAC (2)∠FDC与 ∠BAC 互补.
证明： 过点作MN ⊥AD，垂足为N
∵ MD平分∠ADC ∠C=900(已知）
∴ MC=MN (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ M是BC的中点(已知）
∴ BM=CM (中点的定义）
∴ BM=MN (等量代换）
∵ ∠B=900 (已知）
∴ AM平分∠BAD (到角两边距离相等的点在角的平分线上）
拓广探索
如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。 求证：AM平分∠DAB
D
A
B
C
M
N
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
课堂小结