人教版数学九年级上册课件：24.1.2.1-垂径定理（20张）

24.1.2 垂径定理
过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．
圆心在线段AB的垂直平分线上．
各圆心的分布有什么特点?
与线段AB有什么关系？
新课导入
大胆猜想
A
B
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
圆是轴对称图形吗？
探究
沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，对称轴两边的图形可以互相重合
圆是轴对称图形．
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
圆有哪些对称轴？
O
O
A
B
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
下图是轴对称图形吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴．
∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
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叠合法
D
O
A
B
E
C
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方法一
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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全等法
D
O
A
B
E
C
方法二
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
知识要点
D
O
A
B
E
C
垂径定理
几何语言：
∵CD是⊙O的直径， CD⊥AB．
∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
4． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
√
?
?
?
√
随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形．
4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
cm
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．　　　　　　
cm
6． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．
解:连接OC．
●O
C
D
E
F
┗
7． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
．
A
E
B
O
8． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O